具損失厭惡和損失概率厭惡的報童問題研究

馬德青,胡勁松，姜 偉，陳 良

(1.青島大學商學院,山東 青島 266071；2.青島大學經濟學院,山東 青島 266071)

具損失厭惡和損失概率厭惡的報童問題研究

馬德青1,胡勁松1，姜 偉2，陳 良1

(1.青島大學商學院,山東 青島 266071；2.青島大學經濟學院,山東 青島 266071)

研究了具損失厭惡和損失概率厭惡行為的考慮缺貨成本報童模型。利用訂購量小于和大于最大損失等量訂購量時的隨機利潤分布函數以及隨機獲利和損失的排名函數，獲得了報童的前景值函數，分析了報童的前景值函數性質。結果表明：前景值函數為訂貨量的連續(xù)不可微凹函數，不可微點位于最大損失等量訂購量處；而且僅具損失厭惡或僅具風險中性的報童模型是本模型的特例。解析分析表明：當最優(yōu)訂購量小于最大損失等量訂購量時，最優(yōu)訂購量隨極端獲利和不利結果重視程度的提高而增加；當最優(yōu)訂購量大于最大損失等量訂購量時，最優(yōu)訂購量隨極端獲利結果重視程度的提高而增加，最優(yōu)訂購量隨極端不利結果重視程度的提高而減少。數值結果表明：最優(yōu)訂購量隨非極端獲利和非極端損失結果敏感度的提高而增加；最優(yōu)訂購量隨損失厭惡系數的提高而減少。

報童問題;前景理論;損失厭惡;損失概率厭惡

1 引言

報童模型作為易逝品管理的經典分析模型，國內外學者對其進行了廣泛深入的研究，例如最新的國內研究成果有陳杰等[1]，張永等[2]，陳杰等[3]，但這幾篇文獻都沒有考慮損失厭惡和損失概率厭惡。報童模型的有效性關鍵取決于企業(yè)風險行為的刻畫?，F有研究多從風險結果價值判斷的角度去分析企業(yè)風險行為，而較少從風險結果發(fā)生概率的角度去分析企業(yè)風險行為。事實上，大量行為心理實驗揭示：面對風險決策時，人們不僅存在風險結果價值判斷上的參考依賴效應以及符號依賴效應(或稱損失厭惡)[4-5]，而且還存在風險結果發(fā)生概率上的排名依賴效應[6]和符號依賴效應(或稱損失概率厭惡)[7]。

近來，國內外學者針對報童的損失厭惡行為開展了專題性研究，但針對報童的損失厭惡概率行為缺乏分析模型。在具損失厭惡行為報童問題的專題性研究中，Chweitzer和Cachon[8]和文平[9]究發(fā)現具損失厭惡行為報童的最優(yōu)訂貨量低于風險中性報童的訂貨量。Wang和Webster[10]研究了含缺貨成本的具損失厭惡行為報童問題，發(fā)現缺貨成本較高時具損失厭惡行為報童的訂貨量將高于風險中性報童。隨后，國內外學者圍繞損失厭惡行為，從多角度開展了深化研究。其中，Shen Houcai等[11]研究了定制件采購決策問題中的損失厭惡報童行為。周永務等[12]研究了損失厭惡零售商的廣告費用和訂貨量的聯合決策問題。柳鍵等[13]研究了顧客存在損失厭惡情形時零售商的訂貨和定價策略。Baron等[14]在顧客存在損失厭惡情形時研究了基于隨機參考點的報童訂購決策問題。張鵬等[15]研究了在加法需求和乘法需求兩情形下的損失厭惡行為零售商最優(yōu)決策問題。周艷菊等[16]從心理參考點、損失厭惡系數、風險態(tài)度系數等多個角度研究了兩產品報童問題。Geng Wei等[17]研究了具S型指數效用函數的損失厭惡決策者最優(yōu)行為，發(fā)現損失厭惡決策者訂貨量亦低于風險中性決策者訂貨量。

值得指出的是，近來有關學者將損失厭惡行為納入到供應鏈和供應鏈網絡成員決策制定問題中。其中，針對供應鏈，劉詠梅等[18]研究了風險中性供應商和具有損失厭惡零售商組成供應鏈的彈性數量契約問題；針對供應鏈網絡，胡勁松等[19]針對模糊市場需求研究了中性供應商層和具有損失厭惡零售商層組成的供應鏈網絡的成員均衡策略。上述文獻均為損失厭惡行為的專題性研究，均未涉及損失概率厭惡行為。

近期，胡勁松等[20]針對不考慮缺貨成本的零售商，構建了具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商目標效用函數，研究了具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商的供應鏈網絡均衡問題。當零售商考慮缺貨成本時，由于零售商的利潤函數存在兩個盈虧平衡點，進而可能會破壞具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商目標效用函數的可微性。為此，本文圍繞報童模型，揭示考慮缺貨成本的具損失概率厭惡和損失厭惡行為報童的目標效用函數性質，建立具損失厭惡和損失概率厭惡行為的考慮缺貨成本報童問題分析模型。

2 數學模型

2.1記號與假設

設c為單位產品采購費；h為單位產品存儲費；s為單位產品缺貨費，假設單位產品缺貨費s為有限值；p(>c)為單位產品售價；Q為訂購量。

假設3 報童是損失厭惡者，其價值函數:

式中，u(x)為其基礎效用函數，λ(≥1)為其損失厭惡系數。

損失厭惡系數λ反映了報童的厭惡程度，λ值越大，其損失厭惡程度越高。特別地，當λ=1時，報童的價值函數取基礎效用函數。由于市場隨機需求和單位產品缺貨費的有限性，報童的最大獲利為(p-c)xmax，其最大損失為sxmax∨(h+c)Q。事實上，報童的隨機利潤的取值總為有限區(qū)間[-(sxmax∧(h+c)Q),(p-c)xmax]，所以進一步假設報童的基礎效用函數u(x)=x。

假設4 報童是對極端結果敏感、對非極端結果不敏感的損失概率厭惡行為者。即報童具有如下獲利權重函數w+(r)和損失權重函數w-(l)，參見圖1。

其中，參數r表示獲利排名；參數γ+表示報童對最大獲利的重視程度；參數δ+表示報童對獲利概率的敏感性；各參數滿足γ+，δ+≥0，γ++δ+≤1。參數l表示損失排名；參數γ-表示報童對最大損失的重視程度；參數δ-表示報童對損失概率的敏感性；各參數滿足γ-，δ-≥0,γ-+δ-≤1。

獲利排名參數r和損失排名參數l反映了風險結果的排名依賴效應。參數γ+和γ-反映了最好和最壞極端結果的重視程度，其取值越大，報童對最好和最壞極端越重視。參數δ+和δ-反映了報童對非極端的概率不敏感性傾向。事實上，參數γ+和γ-刻畫了人們在風險價值評價中存在的可能性效應，而參數1-γ+-δ+和1-γ--δ-刻畫了人們在風險價值評價中存在的確定性效應。

所謂損失概率厭惡行為是指相較于獲利的發(fā)生，人們更加重視損失的發(fā)生的一種行為。為此假設γ-≥γ+,即人們重視不利極端結果的發(fā)生，此外假設δ-≥δ+，即相較于非極端獲利人們更重視非極端損失的發(fā)生。事實上，γ-≥γ+和δ-≥δ+反映了人們存在損失決策權重高于獲利決策權重的符號依賴效應。Schmidt和ZanK[7]構造指數τ=w-′(1-r)/w+′(r)=w-′(l)/w+′(r)，并指出：指數τ>1刻畫了人們具有損失概率厭惡行為，系數τ越大，人們的損失概率厭惡程度越高。

圖1 權重函數

2.2隨機利潤和獲利、損失排名

給定訂購量Q，報童的隨機利潤：

(1)

或

(2)

圖2 利潤π與需求x間的關系

記式(2)中利潤函數π1(x)和x2(x)的反函數為：

(3)

式中，x1和x2分別為π1(x)和π2(x)的反函數。

由式(2)得盈虧平衡點：

(4)

2)獲利排名r、最大獲利排名值rmax和損失排名l、最大損失排名值lmax分別為：

和

證明 1)關于累減分布函數G(π)，參見圖2，由等價事件知：

因F(π)+G(π)=1，可得累進分布函數F(π)。因φ(π)=dF(π)/dπ，即：

考慮式(3)，有dx1(π)/dπ=1/(p+h)、dx2(π)/dπ=-1/s代入上式得分布密度函數。

2)獲利排名r、最大獲利排名值rmax和損失排名l、最大損失排名值lmax分別為：

和

證明 1)首先證明累減分布函數G(π)。參見圖2，由等價事件知：

利用F(π)+G(π)=1，得累進分布函數F(π)。因φ(π)=dF(π)/dπ，即：

由式(3)知：dx1(π)/dπ=1/(p+h)、dx2(π)/dπ=-1/s，將其代入上式得分布密度函數。

2.3利潤前景值函數及其性質

基于累計前景理論[5]，給定訂購量Q，隨機利潤的前景值：

(5)

定理1若報童為損失概率厭惡和損失厭惡者，即報童行為參數滿足假設3和4，則其隨機利潤的前景值PT(Q)為：

定理2前景值函數PT(Q)為區(qū)間[0,xmax]上的連續(xù)凹函數。

證明首先證明TP1(Q)函數為區(qū)間[0,Q]上的凹函數。對PT1(Q)微分，可得：

因報童是損失概率厭惡者(δ+<δ-)和損失厭惡者(λ≥1)，即δ+-λδ-<0，故d2PT1(Q)/dQ2<0。

2.4訂購量的確定和特殊情況分析

(6)

或更明確地表示為：

(7)

推論1若報童僅為損失厭惡者(λ≥1)，即其損失概率厭惡系數γ+=0、γ-=0、δ+=1、δ-=1，則其最優(yōu)訂購量滿足：

F(Q*)=

推論2 若報童為風險中性者，即其損失厭惡系數λ=1,且其損失概率厭惡系數γ+=0、γ-=0、δ+=1、δ-=1,則其最優(yōu)訂購量滿足：

3 比較靜態(tài)分析

本節(jié)揭示損失概率厭惡系數對訂購量的影響。我們將內點最優(yōu)性條件寫成隱函數形式：

利用隱函數法則，可得如下比較靜態(tài)結果。

有關行為參數δ+，δ-，λ對最優(yōu)訂購量的影響，我們通過算例揭示。

4 數值算例

表1結果驗證了定理4的結論：隨極端獲利結果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨極端不利結果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量減少。隨缺貨成本的增大，最優(yōu)訂購量增加。表2結果表明：隨獲利敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加，前景值增大；隨損失敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加，但前景值減少；隨損失厭惡系數的提高，最優(yōu)訂購量減少，前景值亦減少。

圖3 前景值函數PT(Q)

5 結論

本文研究了具損失厭惡和損失概率厭惡的雙重行為報童問題。通過定義最大損失等量訂購量，分析了訂購量小于和大于最大損失等量訂購量時隨機利潤的分布及其隨機獲利和損失的排名，構建了其前景值函數，揭示了前景值函數為其訂購量的連續(xù)凹函數但在最大損失等量訂購量處不可微的性質，給出了僅具損失厭惡或風險中性的特例情況的結論，進行了極端結果行為參數的比較靜態(tài)分析。結果表明：最優(yōu)訂購量小于最大損失等量訂購量時，隨極端獲利和極端不利結果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；最優(yōu)訂購量大于最大損失等量訂購量時，隨極端獲利結果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨極端不利結果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量減少。為了探討非極端結果行為參數、損失厭惡參數以及缺貨成本對訂購量的影響，算例結果表明：隨非極端獲利和非極端損失結果敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨損失厭惡系數的提高，最優(yōu)訂購量減少。

表1 損失概率厭惡系數γ+、γ-以及缺貨成本的比較靜態(tài)分析

表2 損失概率厭惡系數δ+、δ-以及損失厭惡系數λ的比較靜態(tài)分析

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Abstract： It is found that the newsboy has loss of disgust and loss of probability aversion characteristics.In the paper,the Newsboy model with loss aversion and probabilistic loss aversion under shortage cost is studied.Using stochastic profit distribution functions and ranking functions when order quantity is less than maximum loss equivalent and order quantity is greater than maximum loss equivalent,its prospect value function is derived,and the nature of prospect value is revealed.The results show that the prospect value function is a continuous and non differentiable convex function,in which non differentiable points is in maximum loss equivalent;and Newsboy models with loss aversion or risk neutral are its special case.The analysis shows that: under the optimal order quantity being less than the maximum loss equivalent,the optimal order quantity increases with the increase of the degree on the extreme gain and unfavorable results.Under the optimal order quantity being greater than the maximum loss equivalent,the optimal order quantity increases with the increase of the degree on the extreme gain,and the optimal order quantity reduces with the degree on the extreme unfavorable results.The numerical results show that the optimal order quantity increases with the increase of the sensitivity of non extreme gain and non extreme loss.With the increase of the loss aversion coefficient,the optimal order quantity decreases.This study is helpful to understand the impact of the behavioral characteristics of newsboy on decision making.

Keywords： newsvendor problem；prospect theory；loss aversion;probability loss aversion

Newsboy Problem with Probabilistic Loss Aversion and Loss Aversion

MADe-qing1,HUJin-song1,JIANGWei2,CHENLiang1

(1.School of Business,Qingdao University,Qingdao 266071,China；2.School of Economics,Qingdao University,Qingdao 266071,China)

F274

A

1003-207(2017)09-0188-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.021

2016-11-23；

2017-02-26

國家自然科學基金資助項目(71371102);國際(地區(qū))合作與交流項目(71311120090)

胡勁松(1966-)，男(漢族)，湖北京山人，青島大學商學院教授，研究方向：行為運營、行為博弈，E-mail:hujinsong@qdu.edu.cn.