巧做平行線求解一類“基底線性表示”問題

福建省泉州市泉州培元中學(xué) 張 琪

巧做平行線求解一類“基底線性表示”問題

福建省泉州市泉州培元中學(xué) 張 琪

向量兼有“數(shù)”和“形”的特點，有與數(shù)的運算不同的運算系統(tǒng)，加上其本身具有的幾何特征，因此向量解題靈活多變，正因為如此，向量這一好用的工具卻反成了學(xué)生學(xué)習(xí)的絆腳石。

【試題再現(xiàn)】

一、問題的提出

筆者在課上用該解答講解后，較多學(xué)生反映該解答較難想到。其實涉及考查向量基底表示的這類問題，學(xué)生普遍覺得比較難，但這類題目所求的往往是基底表示的系數(shù)的值，因此我們換種角度思考，是否可以不分別求出 的值，而把當(dāng)成一個整體把值求出來？

先來看我們熟悉的一個命題：

根據(jù)該結(jié)論，我們知道只要點C在AB直線上，我們不需要計算的值，就可知為1。

借助該結(jié)論，我們可以得到如下推論： 點C是△ 所在平面上的一點，若過點C做直線AB的平行線交直線OA，OB于 兩點，其中，則

圖1

圖2

方法總結(jié)：求“基底線性表示的系數(shù)和”這類考題，我們通過做平行線可把求的值轉(zhuǎn)化為△ 與△ 的相似比的問題。

二、問題的解決

三、推論應(yīng)用

圖3

例2 如圖4，△ 與△ 的面積之比為2∶1，點P是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點（含邊界），且

圖4

例題解析：

例1 如圖5，連接AB，過點C作AB的平行線 交OA延長線于 ，可知解得則

圖5

圖6

圖7

供人以魚，只解一餐，授人以漁，終身受用，我們在介紹方法的同時，應(yīng)該盡量促使學(xué)生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律，獲得成功，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)生動力。