于艷春，李建操，陳衛(wèi)東，路勝卓

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150030; 2. 滁州學(xué)院 地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000; 3.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

有限體積法的實(shí)體結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析

于艷春1，李建操2，陳衛(wèi)東3，路勝卓3

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150030; 2. 滁州學(xué)院 地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000; 3.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

為了提高實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性的計(jì)算效率,本文采用有限體積法研究了實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性問(wèn)題。通過(guò)依據(jù)累積損傷模型對(duì)結(jié)構(gòu)元件的疲勞可靠性進(jìn)行分析，建立了實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析模型，分析了實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞失效機(jī)理和判別方法。本文利用改進(jìn)的分支限界法搜索了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主要失效模式，采用簡(jiǎn)化的疲勞可靠性分析方法計(jì)算了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠度。通過(guò)算例分析，得到的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠度的計(jì)算結(jié)果在簡(jiǎn)單界值法的估算范圍內(nèi)，且隨著疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的增加可靠度不斷減小。該計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)是正確的、符合客觀實(shí)際的，證明了提出方法的正確性，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性分析提供理論基礎(chǔ)。

有限體積法； 疲勞可靠性； 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)； 失效模式； 累積損傷； 分支限界法； 實(shí)體結(jié)構(gòu)； 失效機(jī)理

Abstract：In this study, the finite volume method was adopted to analyze the fatigue reliability of a solid structure system and to optimize its computational efficiency. The fatigue reliability of structural elements was analyzed on the basis of the cumulative damage model. The analytical model of a solid structure system was established, and the fatigue failure mechanism of a solid structure system was analyzed. In addition, the recognition of fatigue failure was explored, and the main failure modes of the structural system were investigated through the improved branch- and- bound method. The fatigue reliability of the structural system was calculated through the simplified fatigue reliability analysis method. The analysis of calculation examples revealed that the fatigue reliability of the structure system is within the estimation range of the simple bound- value method. In addition, reliability continuously decreases with increasing fatigue load cycles. The trend of the calculation results was correct and valid, thus validating the method. The proposed method provides a theoretical basis for the fatigue reliability analysis of structural systems.

Keywords：finite volume method; fatigue reliability; structural system; failure mode; cumulative damage; branch- and- bound method; solid structure; failure mechanism

對(duì)于工程中大多數(shù)結(jié)構(gòu)體系，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)破壞的主要形式是結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的失效破壞。在現(xiàn)實(shí)生活中，有很多結(jié)構(gòu)常年受自然界的各種疲勞載荷的作用，在使用壽命期間內(nèi)的主要失效形式是疲勞失效，因此，研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析意義重大。在國(guó)外，Wirsching等基于S-N曲線疲勞損傷分析方法對(duì)元件的疲勞可靠性進(jìn)行了分析[1]。隨后，Stahl等對(duì)結(jié)構(gòu)元件的疲勞可靠性研究作了更進(jìn)一步的分析討論[2-4]。在國(guó)內(nèi)，還有許多文獻(xiàn)在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析領(lǐng)域做了相關(guān)研究[5-10]。張永蒼研究了在對(duì)稱循環(huán)載荷下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析的基本過(guò)程。董聰?shù)妊芯苛私Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞壽命的可靠性分析的基本理論與計(jì)算方法，提出了分枝- 約界法。綜上，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析比結(jié)構(gòu)元件的可靠性分析發(fā)展的緩慢，這是由于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性分析要比結(jié)構(gòu)元件的疲勞可靠性分析復(fù)雜的多。由于實(shí)際工程中的絕大多數(shù)的結(jié)構(gòu)是靜不定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效形式非常復(fù)雜，如何高效地搜索主要失效模式，同時(shí)考慮各個(gè)失效模式之間的相關(guān)性仍是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析的難點(diǎn)問(wèn)題。大多數(shù)的疲勞可靠性分析主要針對(duì)桁架結(jié)構(gòu)，對(duì)于實(shí)體結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性分析較為少見(jiàn)。因此，本文基于有限體積法對(duì)實(shí)體結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性進(jìn)行了研究。

1 結(jié)構(gòu)元件的疲勞可靠性研究

1.1 S- N曲線法

S-N曲線是表達(dá)載荷應(yīng)力S與疲勞壽命N之間關(guān)系的曲線，在疲勞設(shè)計(jì)分析中，一般采用確定斜率雙對(duì)數(shù)線性模型，S-N曲線的表達(dá)式為

lgN=lgA-mlgS

(1)

或者

NSm=A

(2)

式中：S為選定的應(yīng)力范圍水平，N為在確定的應(yīng)力作用下的疲勞壽命的某一統(tǒng)計(jì)特征值，m和A表示材料的常數(shù)。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷累加到一定程度時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞，即循環(huán)載荷作用的時(shí)間越長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)的疲勞累積損傷值在不斷地增大。因此將累積損傷D(n)作為基本參數(shù)，則其安全余量方程為

MD=D(n)-Dc≤0

(3)

式中：D(n)為累積損傷，Dc為累積損傷臨界值，這里認(rèn)為Dc為一常數(shù)，且Dc=1。則元件的可靠度可寫成

P=P{D(n)-Dc≤0}

(4)

(5)

累積損傷D(n)也可以用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述，且在相同應(yīng)力條件下，隨著疲勞載荷循環(huán)數(shù)的增加，疲勞累積損傷的期望和方差等統(tǒng)計(jì)特性也是線性累加的。在常幅載荷作用下，構(gòu)件的累積損傷是線性變化的。即當(dāng)t=0時(shí)，構(gòu)件還沒(méi)有損傷，累積損傷的期望和方差為零，若一次循環(huán)載荷產(chǎn)生的損傷的期望和方差為dE和dD，則在t=n時(shí)刻元件累積損傷的期望和方差為dEn和dDn，dE和dD與載荷水平有關(guān)。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的期望和方差可以表示為

(6)

Var=e(2μ+σ2)(eσ2-1)

(7)

由以上兩式可求出

(8)

(9)

則結(jié)構(gòu)元件在常幅疲勞載荷作用下的疲勞可靠性指標(biāo)的表達(dá)式為

(10)

累積損傷的分布可由疲勞壽命的分布分析得到，即

(11)

(12)

式中：σN為疲勞壽命的方差，Nf為極限疲勞壽命。

2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性研究

2.1 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效機(jī)理

(13)

(14)

式中：dE、dD分別為累積損傷的期望和方差，可以通過(guò)式(11)、(12)求出。

若假定各結(jié)構(gòu)元件的疲勞失效概率均為同一值Pc，則由式(13)、(14)可以反求出n，即當(dāng)各結(jié)構(gòu)元件的疲勞失效概率達(dá)到某一個(gè)相同值時(shí)，可以求出每個(gè)結(jié)構(gòu)元件所需要的載荷循環(huán)數(shù)nki。結(jié)構(gòu)元件的nki值越小，則說(shuō)明該元件可能最先失效。因此，取nki值最小的結(jié)構(gòu)元件作為第一個(gè)失效元，并選取nki值在一定范圍內(nèi)的元件作為第一級(jí)臨界失效元。假設(shè)元件的最小nki值為nmin，則

C≤nmin/n≤1

(15)

式中C的取值可根據(jù)具體分析情況而定。

當(dāng)確定第一個(gè)失效元疲勞失效后，根據(jù)疲勞失效的特點(diǎn)，將該失效元從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，重新對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行內(nèi)力分析，可以計(jì)算出其他未失效元件的累積損傷和失效概率，同樣也可以求出未失效元件的nki值。取未失效元件中nki值的最小的元件作為下一個(gè)失效元，并選取nki值在一定范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)元件作為第二級(jí)臨界失效元。這樣重復(fù)計(jì)算，直到有m個(gè)元件失效后，在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中形成一個(gè)臨界破壞截面，該臨界破壞截面的承載能力不斷下降，此時(shí)如果計(jì)算未失效的元件中最小的nki值小于某一設(shè)定值nc時(shí)，nc的取值可根據(jù)后續(xù)失效元件的失效時(shí)間而定。此時(shí)可以認(rèn)為其余未失效元件即將在很短的時(shí)間內(nèi)失效，導(dǎo)致該臨界破壞截面的承載能力即將喪失，而整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的承載能力大幅度降低，不能滿足原有的承載能力，使得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效。以上過(guò)程為本文研究實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效機(jī)理。

2.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要失效模式的搜索

2.2.1 第一級(jí)臨界失效元的確定

(16)

式中C的取值可根據(jù)具體情況分析而定。由于此時(shí)結(jié)構(gòu)處于完整的初始階段，通過(guò)S-N曲線的表達(dá)式(2)可知，元件的內(nèi)力越大，其疲勞壽命就越小，元件累積損傷的越快，它的破壞概率就越大。因此，可以直接選取一定范圍的內(nèi)力較大的元件作為第一級(jí)的臨界失效元，這樣可以縮減許多工作量。

2.2.2 第k級(jí)臨界失效元的確定

假設(shè)在疲勞載荷的作用下，有k1、k2、…、kk-1共k-1個(gè)結(jié)構(gòu)元件失效，將這k-1個(gè)結(jié)構(gòu)元件在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，內(nèi)力重新分配，可以求出未失效的元件ki(i=k,k+1,…,N)的疲勞累積損傷值，即

(17)

假設(shè)又經(jīng)歷了時(shí)間nk，可以由式(13)、(14)計(jì)算出未失效元件ki的疲勞可靠性指標(biāo)和疲勞失效概率。若假定各元件的疲勞失效概率均為同一值Pc，則由式(13)、(14)可以反求出nk，可以取未失效元件中nk值最小的元件作為第k級(jí)的失效元，并選取nki值在一定范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)元件作為第k級(jí)臨界失效元。這樣按上述方法重復(fù)搜索，直到滿足整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的條件，最終形成系統(tǒng)的一個(gè)主要失效模式。

2.3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率

考慮到疲勞破壞的特殊性，結(jié)構(gòu)的疲勞破壞是一個(gè)時(shí)間歷程，認(rèn)為主要失效模式在同一時(shí)間同時(shí)發(fā)生破壞的可能性很小，即各主要失效模式破壞的共概率很小，近似為零。呂海波等提出了一種簡(jiǎn)化的疲勞可靠性分析方法[12]。

假設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)含有m個(gè)主要失效模式，每一個(gè)失效模式的失效概率分別為a1、a2、…、am，ai是當(dāng)其余失效模式不發(fā)生時(shí)，第i個(gè)失效模式發(fā)生的概率。若用事件E1、E2、…、Em分別表示各個(gè)主要失效模式發(fā)生導(dǎo)致結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效，P1、P2、…、Pm分別為相應(yīng)的失效概率，則

(18)

有以下方程組:

(19)

求解上面的方程組可得到P1、P2、…、Pm，整個(gè)系統(tǒng)的失效概率為

Pf=P1+P2+…+Pm

(20)

3 算例分析

3.1 等截面實(shí)體結(jié)構(gòu)

如圖1所示的實(shí)體結(jié)構(gòu)模型，結(jié)構(gòu)的一端是固定端，另一端是自由端，結(jié)構(gòu)上作用著均勻分布的疲勞載荷F(t)，載荷的形式表示為

F(t)=-1.0×102sin(5.0×103πt)

(21)

圖1 實(shí)體結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Calculation model of entity structure

結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)：密度為7 800 kg/m3、彈性模量為210 GPa、泊松比為0.3，根據(jù)文獻(xiàn)[7]選取S-N曲線法中的參數(shù)為：m=3.152，A=3.26×1012。這里將結(jié)構(gòu)的疲勞壽命N看作隨機(jī)變量，且服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，疲勞壽命的均值通過(guò)S-N曲線法進(jìn)行估算，變異系數(shù)取為0.54。將該實(shí)體結(jié)構(gòu)采用有限體積法進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共劃分了418實(shí)體單元，151個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)該實(shí)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析。

采用有限體積法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行內(nèi)力分析，求出每個(gè)實(shí)體單元的最大應(yīng)力σmax。并選取得到的σmax較大的實(shí)體單元作為第一級(jí)失效元件及臨界失效元件。由于單元個(gè)數(shù)較多，只列出部分與分析有關(guān)的單元的最大應(yīng)力值，如表1所示。

表1 單元的應(yīng)力值

這里選取實(shí)體單元359為第一級(jí)失效元，228、132、229、119為第一級(jí)臨界失效元。

以單元號(hào)229為第一失效元的分支為例，分析失效模式形成的過(guò)程。單元229失效后，將單元229從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，內(nèi)力重新分配，由前述方法可以求出未失效元件的疲勞可靠性分析參數(shù)，由于單元數(shù)較多，只列出與分析有關(guān)的單元，計(jì)算當(dāng)疲勞失效概率為50%時(shí)，單元所需要的載荷循環(huán)次數(shù)ni的值，見(jiàn)表2。

表2 第一級(jí)疲勞可靠性參數(shù)

從表2中可看出，選取單元228作為第二級(jí)失效元。取C=1.02，第二級(jí)沒(méi)有選取臨界失效元。將單元228從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，同理可求出未失效元件的疲勞可靠性分析參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 第二級(jí)疲勞可靠性參數(shù)

由表3可知，選取單元220作為第三級(jí)失效元。取C=1.02，第三級(jí)沒(méi)有選取臨界失效元。同理可求未失效元件的疲勞可靠性分析參數(shù)見(jiàn)表4。

表4 第三級(jí)疲勞可靠性參數(shù)Table 4 Parameters of fatigue reliability for third stage

從表4的計(jì)算結(jié)果可看出，n值最小的單元為244，因此，選取單元224作為第四級(jí)失效元。取C=1.02，第四級(jí)沒(méi)有臨界失效元。同理尋找下一級(jí)失效元，直到第十級(jí)失效單元132失效后，將未失效元的疲勞可靠性參數(shù)列于表5中。

表5 第十級(jí)疲勞可靠性參數(shù)Table 5 Parameters of fatigue reliability for tenth stage

從表5的計(jì)算結(jié)果可看出，n值最小的單元為119，因此，選取單元119作為第十一級(jí)失效元。取C=1.02，選取單元120作為第十一級(jí)臨界失效元。從該計(jì)算分支的失效模式的失效路徑可以看出，只有該級(jí)包含臨界失效元，其他各級(jí)都不含有臨界失效元。同樣將單元119從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，重新分配，按上述方法繼續(xù)搜索下一級(jí)失效元，直到計(jì)算到第十四級(jí)失效元314失效后，計(jì)算未失效元的疲勞可靠性參數(shù)，計(jì)算結(jié)果列于表6中。

表6 第十四級(jí)疲勞可靠性參數(shù)Table 6 Parameters of fatigue reliability for fourteeth stage

由表6可知，選取單元311作為第十五級(jí)失效元。取C=1.02，第十五級(jí)沒(méi)有臨界失效元。同理可求未失效元件的疲勞可靠性分析參數(shù)見(jiàn)表7。

表7 第十五級(jí)疲勞可靠性參數(shù)Table 7 Parameters of fatigue reliability for fifteenth stage

從表7的計(jì)算結(jié)果可看出，單元為122的n值最小，最小值為488。取nc=1 000，則有n

一個(gè)失效模式形成后，檢查該失效模式的最后失效級(jí)上是否還有臨界失效元，因?yàn)樵撌Ｊ降淖詈笫Ъ?jí)是第十五失效級(jí)，在第十五失效級(jí)上沒(méi)有臨界失效元，因此，恢復(fù)第十五失效級(jí)上的失效元。返回到第十四失效級(jí)上，繼續(xù)查看是否存在臨界失效元，按此方法進(jìn)行搜索。由于該失效模式在第十一失效級(jí)上存在臨界失效元，所以恢復(fù)第十一失效級(jí)上的失效元119后，返回到第十失效級(jí)上，重新選取臨界失效元120作為第十一失效級(jí)上的失效元，將單元120從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去掉，內(nèi)力重新分配，按上述方法繼續(xù)搜索下一級(jí)失效元，直到滿足結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的條件，又形成了一個(gè)新的失效模式，該失效模式的失效路徑如表中的失效模式6所示。

由于該分支的所有失效級(jí)上已經(jīng)沒(méi)有臨界失效元，所以該分支的失效模式搜索完畢，然后進(jìn)行下一新分支的失效模式的搜索。例如以單元119為第一級(jí)失效元的新分支，按照上述方法進(jìn)行新分支的失效模式的搜索。各主要失效模式的失效路徑如表8所示。

表8 失效模式

計(jì)算各主要失效模式在各個(gè)時(shí)刻下的失效概率，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9。根據(jù)表中的計(jì)算結(jié)果繪制了失效模式2的可靠度下降曲線，如圖2所示。

同理，其他失效模式也可以繪制出如圖2所示的可靠度下降曲線。從圖中可以看出，該計(jì)算結(jié)果是令人滿意的，即隨著疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度在不斷減小。

表9 各個(gè)失效模式在不同時(shí)刻的失效概率

圖2 可靠度下降曲線Fig.2 Decline curve of reliability

各個(gè)主要失效模式的失效概率求出后，通過(guò)綜合考慮主要失效模式的失效概率來(lái)計(jì)算實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率。首先采用簡(jiǎn)單界值法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行估算。估算結(jié)果如表10所示。

表10 疲勞可靠度估算值

采用針對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性計(jì)算的簡(jiǎn)化算法計(jì)算了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠度和失效概率，結(jié)果列于表11。

同時(shí)將表10中的計(jì)算結(jié)果與表11中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析并繪制了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度下降曲線，如圖3所示。

從圖4的計(jì)算結(jié)果可以看出采用簡(jiǎn)化算法計(jì)算的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠度在估算的范圍內(nèi)，且結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠度的計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)是正確的，即隨著疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度在不斷減小，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率在不斷增大，該計(jì)算結(jié)果是符合實(shí)際的。

表11結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性的簡(jiǎn)化算法計(jì)算結(jié)果

Table11Resultsoffatiguereliabilityofstructuralsystemonthesimplifiedmethod

時(shí)刻×105(次)失效概率可靠度0.50.0180.9821.00.2520.7481.50.6800.3202.00.8960.1042.50.9700.0303.00.9930.0073.50.9980.0014.00.999≈0

圖3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠度下降曲線Fig.3 Decline curves of fatigue reliability of structural system

4 結(jié)論

1) 采用有限體積法分析了實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠度的計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)是正確的，即隨著疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度在不斷減小。

2)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性分析大多數(shù)以桁架結(jié)構(gòu)為例采用桿單元作為結(jié)構(gòu)元件研究，而文中以實(shí)體結(jié)構(gòu)的實(shí)體單元作為結(jié)構(gòu)元件研究，給出了實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞失效的判別準(zhǔn)則及搜索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要失效模式的基本過(guò)程，為實(shí)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性分析提供了理論參考。

由于采用簡(jiǎn)化的疲勞可靠性計(jì)算方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率，因而沒(méi)有充分考慮各失效模式之間的相關(guān)性，這點(diǎn)可作為后續(xù)工作進(jìn)行深入研究。

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Fatiguereliabilityanalysisofstructuralsystembasedonfinitevolumemethod

YU Yanchun1, LI Jiancao2, CHEN Weidong3, LU Shengzhuo3

(1.College of Water Conservancy and Architecture, Northeast Agricultural University, Harbin 150001, China; 2.College of Geographical Information and Tourism, Chuzhou University, Chuzhou 239000, China; 3.College of Astronautics and Architectural Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

10.11990/jheu.201605051

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.201708020.1714.002.html

TB114.3

A

1006- 7043(2017)09- 1413- 07

2016-05-16. < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版日期

日期：2017-08-20.

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51508123);安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015B06);滁州學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2014QD030，2014PY04).

于艷春(1984-), 女, 講師,博士； 陳衛(wèi)東(1966-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師； 李建操(1980-), 男, 講師,博士.

李建操,E- mail：lijiancao@yeah.net.

本文引用格式：于艷春，李建操，陳衛(wèi)東，等. 有限體積法的實(shí)體結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 38(9): 1413-1419.

YU Yanchun, LI Jiancao, CHEN Weidong, et al. Finite volume analysis of the fatigue reliability of a solid structural system[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(9): 1413-1419.