“變式”，讓數(shù)學(xué)更有魅力

王萍 逯曉蔚

所謂“變式”教學(xué)，就是在提供給學(xué)生教學(xué)素材的同時(shí)，能通過(guò)不斷地變換條件、結(jié)論、方法、形式，將問(wèn)題進(jìn)行推廣，讓學(xué)生在變化、聯(lián)系中尋求規(guī)律，從而達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散性思維的目的。變式既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學(xué)方式。通過(guò)變式訓(xùn)練，可幫助學(xué)生深入理解概念，靈活運(yùn)用公式，提高學(xué)生觀察能力、概括能力以及解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。通過(guò)不同的知識(shí)和方法，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式研究，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求“變”的規(guī)律，以此訓(xùn)練學(xué)生把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。

下面就從幾道題目中體會(huì)變式在數(shù)學(xué)中的魅力。

題目一：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過(guò)原點(diǎn)的直線 交橢圓 與 兩點(diǎn)，線段 中點(diǎn)為 ，射線 交橢圓與點(diǎn) ，交直線 與點(diǎn) ，若 ，求證：直線 過(guò)定點(diǎn).

簡(jiǎn)析：設(shè)直線 的方程為

由 得

設(shè) ，

易得 ，

，

則 所以

所以直線 的方程為 ，即直線過(guò)定點(diǎn)

變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過(guò)原點(diǎn)的直線 交橢圓 與 兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn) ，使四邊形 為平行四邊形.求證：平行四邊形 面積為定值.

解析：設(shè)直線 的方程為

由例1知，原點(diǎn)到直線的距離

，

由 為 中點(diǎn)，得

代入橢圓方程整理得

所以 ，

即

變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過(guò)原點(diǎn)的直線 交橢圓 與 兩點(diǎn)，若直線 過(guò) 的左焦點(diǎn)，且 中垂線交 軸與點(diǎn) ，求 的取值范圍.

解析：將 代入直線 方程得

中垂線方程，

令 得

因?yàn)?，故 ，

所以

變式3： 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過(guò)原點(diǎn)的直線 交橢圓 與 兩點(diǎn)，若直線 過(guò) 的左焦點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 且與直線 垂直的直線交橢圓與 兩點(diǎn)，求四邊形 面積的最值.

解析：

同理

，用均值不等式解即可.

變式4：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 ，過(guò)點(diǎn) 作直線 交圓 與 兩點(diǎn)，交橢圓與 兩點(diǎn)，若 ，求直線 的方程.

解：（1）直線 斜率不存在時(shí)，

，不符合題意；

（2）當(dāng)直線 與 軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為 ，

代入 ，整理得 ，

設(shè) ，則 ，

所以

從而

，

由已知可求直線 的方程。

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)、基本技能和基本方法的理解是學(xué)生順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵，教學(xué)中，教師一定要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、思想、方法的本質(zhì)的探究與理解，通過(guò)合理構(gòu)造變式、建立知識(shí)鏈接、經(jīng)歷概念重組、巧妙類比聯(lián)想、及時(shí)拓展延伸等措施提高數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的有效性。

因此，教師如果想讓學(xué)生體會(huì)到變式的魅力，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面。

一、變式應(yīng)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

復(fù)習(xí)課上教師應(yīng)從例題出發(fā)，運(yùn)用逆向和橫向思維，通過(guò)改變題目條件、變化問(wèn)題的表面特征、將問(wèn)題一般化等手段，使原來(lái)的一個(gè)單獨(dú)問(wèn)題，變成一類問(wèn)題，再變成彼此聯(lián)系的多類問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)對(duì)變式問(wèn)題的研究、解決，形成完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、變式的內(nèi)容與難度要有“梯度”

變式要由易到難、循序漸進(jìn)，應(yīng)限制在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”。要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步深入，讓學(xué)生跳一跳能摘到果子，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生通過(guò)思考能夠自己跨過(guò)一道道“門坎”，否則會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響問(wèn)題的解決，降低學(xué)習(xí)的效率。

三、變式要注意培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性

如在進(jìn)行一題多解變式時(shí)，教師必須引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，多渠道尋求問(wèn)題解決的方法，通過(guò)不斷追求解法的優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)闊性。在進(jìn)行“一法多用”變式時(shí)，應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)問(wèn)題的解決方法正確運(yùn)用到其他問(wèn)題的解決過(guò)程中去，不斷體驗(yàn)“如何將解題方法進(jìn)行歸納并合理遷移”，從而形成解題技能，提高知識(shí)、方法的遷移能力。

四、變式要留給學(xué)生探索的空間

在復(fù)習(xí)課上，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題解決進(jìn)行深層次的探索，如變化條件、結(jié)論變式、等價(jià)變化、逆向探索、推廣拓展等，師生一起獲得問(wèn)題的一些變式。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)獨(dú)立思考或?qū)W生間討論交流，挖掘出問(wèn)題的變式，不僅有效開(kāi)發(fā)了課程資源，同時(shí)點(diǎn)燃了學(xué)生創(chuàng)新思維的火花，幫助學(xué)生體驗(yàn)“化歸”的技巧，形成合理的探究策略。

五、通過(guò)“過(guò)程性變式”，構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系

過(guò)程性變式的目的是增加活動(dòng)途徑的多樣性和活動(dòng)過(guò)程的層次性，每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都包含一個(gè)或一系列過(guò)程變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)（即過(guò)程）反映學(xué)習(xí)者主觀問(wèn)題解決的特定經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的豐富和有效對(duì)于完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)極為重要，構(gòu)建特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式通常有三種方式：（1）將初始問(wèn)題改變成一個(gè)鋪墊，或者通過(guò)改變條件、改變結(jié)論和推廣結(jié)論來(lái)拓展初始問(wèn)題；（2）將同一個(gè)問(wèn)題的不同解決過(guò)程作為變式，形成一個(gè)問(wèn)題的多種解決方法，從而聯(lián)結(jié)各種不同的數(shù)學(xué)知識(shí)；（3）將某種特定的方法用于解決一類相似的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)施，改變了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的恐懼心理，提升了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的濃厚興趣，使學(xué)生心目中枯燥乏味的“死”數(shù)學(xué)演變成生機(jī)盈然的“活”數(shù)學(xué)。使數(shù)學(xué)的場(chǎng)就像空氣無(wú)形在我們身邊陶冶我們。同時(shí)，經(jīng)過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的實(shí)踐證明，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式，提供適當(dāng)?shù)刂R(shí)鋪墊，由于教師向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生。形成與發(fā)展的過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)是如何從已有知識(shí)中逐漸演變或發(fā)展而來(lái)的，從而真正理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，形成一個(gè)知識(shí)的場(chǎng)，將這種有層次推進(jìn)的變式用于概念形成、問(wèn)題解決和構(gòu)建活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，幫助學(xué)生自己融會(huì)貫通，構(gòu)建起良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)出解決問(wèn)題的能力，又避免了反復(fù)的機(jī)械性訓(xùn)練。一言而蔽之，學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練三十道習(xí)題與其系列變式就可以收到普通學(xué)生需做一百道習(xí)題的效果，真正達(dá)到了教育界所倡導(dǎo)的“高質(zhì)輕負(fù)”，同時(shí)讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的和諧、奇異與美妙，收到極好的學(xué)習(xí)效果。