鄭鵬飛， 王 波， 趙菊娣， 林大鈞， 安 琦

(1.華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200237；2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電信息學(xué)院， 浙江 義烏 322000)

合理展開封頭曲面的研究

鄭鵬飛1， 2， 王 波2， 趙菊娣1， 林大鈞1， 安 琦1

(1.華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200237；2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電信息學(xué)院， 浙江 義烏 322000)

根據(jù)測(cè)地線的短程性與線上各點(diǎn)測(cè)地曲率為零的幾何特性，采用在不可展的封頭曲面上構(gòu)建由測(cè)地線與法截線交織成線網(wǎng)的方法來(lái)獲得橢圓形封頭和球形封頭展開圖的邊界，并建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合計(jì)算機(jī)編程，為參數(shù)化展開封頭曲面提供簡(jiǎn)便、穩(wěn)定可靠的方法.以曲面理論面積為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，該方法展開精度高于工程上常用的幾種近似展開方法和CAD軟件的展開精度.

測(cè)地線； 封頭； 不可展曲面； 數(shù)學(xué)模型； 展開精度

在機(jī)械制造領(lǐng)域中經(jīng)常會(huì)涉及曲面展開問題，特別是對(duì)不可展曲面的近似展開.不可展曲面的近似展開是航空航天、船舶制造和化工設(shè)備行業(yè)中的一項(xiàng)重要技術(shù).國(guó)內(nèi)外學(xué)者為此進(jìn)行了廣泛研究，提出了各種曲面展開方法與技術(shù)[1-5]，如有限元法、幾何逼近法[6]、力學(xué)模型法[8-9]、能量方程法[11-12]、三維軟件法[7]、三角網(wǎng)格法[10，13]等.金玲等[6]利用AutoCAD對(duì)剛結(jié)構(gòu)管構(gòu)件進(jìn)行曲面展開，但這類管構(gòu)件屬于可展曲面，并未涉及不可展曲面的展開技術(shù).黃鵬[7]利用CATIA軟件進(jìn)行二次開發(fā)，對(duì)不可展曲面進(jìn)行分割提取并展開.韓林等[8]利用彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型，將曲面三角化，以三角點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)，三角邊為彈簧，構(gòu)建能量方程，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的約束力，雖可進(jìn)行曲面展開，但其計(jì)算過程較復(fù)雜，且計(jì)算量較大.現(xiàn)階段針對(duì)化工設(shè)備中的封頭曲面展開的相關(guān)研究較少.化工設(shè)備中橢圓形封頭和球形封頭的制造方法是將封頭曲面分成若干等分，利用畫法幾何原理在平板上展開各部分，然后模壓各塊展開的平板使之成為封頭曲面，再將模壓成型的各部分封頭曲面焊接成整體封頭.制造過程中如何在平板上展開封頭曲面，將直接影響成型封頭的形狀、精度及板材成本.

橢圓形封頭的幾何形狀為半個(gè)回轉(zhuǎn)橢球面，與球面一樣，均屬于不可展曲面.目前采用的幾種封頭曲面近似展開方法缺乏合理性.本文采用在不可展曲面上構(gòu)建測(cè)地線和法截線線網(wǎng)的方法來(lái)展開橢圓形封頭和球形封頭，簡(jiǎn)稱測(cè)法結(jié)合法，并選擇展開面積和理論面積之比作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以評(píng)價(jià)其合理性.

1 建立數(shù)學(xué)模型

圖1 回轉(zhuǎn)橢球面展開圖解模型Fig.1 A flattening graphical model of ellipsoid

1.1測(cè)地線與法截線交點(diǎn)的確定

設(shè)o1點(diǎn)在oxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為o1(x0， 0，z0)，則有

(1)

又o1點(diǎn)滿足

(2)

由(1)和(2)可得

(3)

圖1中坐標(biāo)系o1x1y1z1與坐標(biāo)系oxyz的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(4)

x1軸在oxyz坐標(biāo)系中的斜率為

(5)

將式(1)代入式(5)中得

(6)

由此將式(3)和(6)代入式(4)中可得

(7)

(8)

將式(7)代入式(8)中求解，可得當(dāng)z1=0時(shí)o1x1y1z1平面與回轉(zhuǎn)橢球面的交線為G+E+F=1.

其中：

經(jīng)整理得：

(9)

(10)

式(9)中A、B為

(11)

另外，鉛垂面π1與回轉(zhuǎn)橢球面的交線Ⅰ的方程為

(12)

正垂面π與回轉(zhuǎn)橢球面的交線Ⅱ的方程為

(13)

將式(1)、(3)與式(13)結(jié)合可得

(14)

則交線Ⅰ與交線Ⅱ的交點(diǎn)為

(15)

由式(15)可解出交點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)值為

(16)

其中J(θ)，H(θ)，K(θ)為

(17)

1.2橢圓離心角

根據(jù)x，y，z可分別求出圖1中ψ與θ的函數(shù)關(guān)系以及θ與θ′的函數(shù)關(guān)系，下面分別述之

1.2.1ψ與θ的函數(shù)關(guān)系

由圖1可知

(18)

由式(18)可得

(19)

將式(16)中的x和z代入式(19)可得

(20)

1.2.2θ與θ′的函數(shù)關(guān)系

(21)

由此可得

(22)

(23)

圖2 圓心角與離心角的關(guān)系Fig.2 Relationship between the center angle and centrifugal angle

1.3展開圖平面坐標(biāo)系

令x1=c1·sint，y1=a1·cost，則有

由此得Sθ ′弧上各點(diǎn)的曲率半徑為

(24)

(25)

圖3 展開圖坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of flattening

式(25)即為橢圓形封頭曲面展開的數(shù)學(xué)模型，由該式可求得某一塊曲面展開邊界上各點(diǎn)的S和L坐標(biāo)值，最后將所求得的一系列點(diǎn)光滑連接即得到一條展開曲線.以此方法可得到橢圓形封頭位于π1、π2兩平面之間曲面的展開圖.

2 算例驗(yàn)證

因橢圓形(回轉(zhuǎn)橢球面)與球形(球面)均為不可展曲面，所以此類封頭制造中采用了各種近似的展開方法，包括CAD軟件.但理論上不可展的曲面不管用何種方法進(jìn)行展開，客觀上均有誤差存在.以展開面積與理論面積之比作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，可用來(lái)鑒別各種展開方法的優(yōu)劣.

2.1橢圓形、球形封頭的理論面積

球形封頭的理論面積計(jì)算過程較為簡(jiǎn)單，可由球表面積計(jì)算公式得到.橢圓形封頭的理論面積A理論，則可根據(jù)回轉(zhuǎn)橢球面方程：r={a·cosφ·cosα1，a·cosφsinα1，c·sinφ}，由式(26)計(jì)算得到.

(26)

2.2測(cè)法結(jié)合法展開橢圓形、球形封頭的面積

為了驗(yàn)證測(cè)法結(jié)合法的有效性，現(xiàn)對(duì)橢圓形封頭和球形封頭分別進(jìn)行測(cè)試.橢圓形封頭：長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5 m，短半軸長(zhǎng)為3 m，其理論表面積為117.368 m2；球形封頭：球半徑為R=5 m，其理論表面積(一半)為：157.080 m2.

根據(jù)上述橢圓形、球形封頭的尺寸，針對(duì)不同的β角度值，自動(dòng)計(jì)算并繪制其展開效果圖，如圖4所示.表1列出了兩種封頭曲面的理論面積與展開面積的比較結(jié)果，可見本法精度高達(dá)99%.

(a) 橢圓形

(b) 球形

表1 橢圓形和球形封頭曲面展開面積誤差對(duì)比表

2.3各種展開方法的展開面積比較

以球形封頭為例，各種近似展開方法的展開面積誤差結(jié)果如表2所示.將球面分成12份，當(dāng)R=1 250 mm 時(shí)，球面理論面積：A理論=19.635 m2.由表2可知，用測(cè)地線法展開的面積誤差最小(0.002 6%)，精度最高.

表2 不同展開法的面積誤差對(duì)比表

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種通過在封頭曲面上構(gòu)建測(cè)地線與法截線線網(wǎng)而進(jìn)行曲面展開的幾何方法，并通過橢圓形封頭和球形封頭曲面展開算例驗(yàn)證了該方法的正確性和精確性.此法也可拓展為測(cè)地線法在封頭曲面上建立全測(cè)地線網(wǎng)進(jìn)行曲面的展開.因球面測(cè)地線比較簡(jiǎn)單，并且本文篇幅有限，故文中未對(duì)球面的測(cè)地線網(wǎng)構(gòu)建過程進(jìn)行詳細(xì)描述，僅給出了結(jié)果以便與各種近似展開方法進(jìn)行對(duì)比.

在封頭曲面上構(gòu)建線網(wǎng)這一幾何模型是建立在曲面展開數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上.根據(jù)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)參數(shù)化的曲面展開，本文提出了形、數(shù)、計(jì)算機(jī)結(jié)合解決問題的有效路徑.以封頭曲面的理論面積與展開面積之比作為評(píng)價(jià)各種近似展開方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，為判斷展開封頭曲面的合理性提供了技術(shù)參考.在后續(xù)的研究工作中，可考慮更多的曲面展開評(píng)價(jià)指標(biāo)，如拼縫長(zhǎng)度等，提出更多合理的自由曲面上的測(cè)地線計(jì)算、復(fù)雜不可展曲面的測(cè)地線展開法等.

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(責(zé)任編輯：楊靜)

由表3可知：從檢出率上看，本文算法的檢出率相比模板匹配算法和分層檢測(cè)算法分別高出了15．80%和23．97%，達(dá)到97．32%；從平均耗時(shí)上看，本文算法比前兩種算法分別減少了24．30%和6．66%．不論從檢出率還是檢出速度上，本文算法均能滿足印刷工業(yè)的要求．

StudyonReasonableFlatteningofHeadSurface

ZHENGPengfei1， 2，WANGBo2，ZHAOJudi1，LINDajun1，ANQi1

(1.School of Mechanical and Power Engineering，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237， China；2.School of Mechanical Information， Yiwu Industrial & Commercial College， Yiwu 322000， China)

According to the two geometric characteristics of geodesics that the path between two points is the shortest and the geodesic curvature at every point equals zero， the boundary of the flattening ellipsoidal head or spherical head is computed by weaving a mesh with geodesics and normal sections on the undevelopable head surface. A simple， stable， reliable and parameterized undevelopable surface flattening method is proposed， and the corresponding mathematical model is established by its computer programming. The theoretical area of surface is used as the criteria for evaluation. It can be seen from the experimental examples that the flattening accuracy of the method is higher than other usual methods and CAD software aided method.

geodesic； head； undevelopable surface； mathematical model； flattening accuracy

5 結(jié) 語(yǔ)

TP 391

A

1671-0444 (2017)04-0597-06

2017-01-05

鄭鵬飛(1984一)，男，浙江蘭溪人，講師，博士研究生，研究方向?yàn)镃AD&CAGD.E-mail：pfzheng@126.com

安 琦(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail：anqi@ecust.edu.cn