分層排序集抽樣下的比率估計(jì)問(wèn)題探討

陳曉旭，朱永忠

（河海大學(xué) 理學(xué)院，南京211100）

分層排序集抽樣下的比率估計(jì)問(wèn)題探討

陳曉旭，朱永忠

（河海大學(xué) 理學(xué)院，南京211100）

分層排序集抽樣是指將分層抽樣與排序集抽樣結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用分層技術(shù)將總體分為多層，再在每層中用排序集抽樣獲取樣本。分層比率估計(jì)是利用輔助信息，構(gòu)造總體均值或總值的估計(jì)量，分為聯(lián)合比率估計(jì)和分別比率估計(jì)。文章利用此思路得到下分層排序集抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)，并和分層排序集抽樣下的聯(lián)合比率估計(jì)、分層隨機(jī)抽樣下的分別比率估計(jì)進(jìn)行比較。結(jié)果表明，分層排序集抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)比分層隨機(jī)抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)效果好，分層排序集抽樣下總體均值的聯(lián)合比率估計(jì)比分層排序集抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)效果好。

分層隨機(jī)抽樣；分層排序集抽樣；分別比率估計(jì)；聯(lián)合比率估計(jì)

0 引言

眾所周知，統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是通過(guò)統(tǒng)計(jì)調(diào)查獲取統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，然后再據(jù)以進(jìn)行科學(xué)的統(tǒng)計(jì)分析，而在實(shí)際問(wèn)題中，我們所要研究的事物的數(shù)量總是很龐大，獲得全部需要的數(shù)據(jù)是不易的，或者是不可能實(shí)現(xiàn)的，這就給我們研究事物的總體特征帶來(lái)了不便，抽樣技術(shù)的應(yīng)用就很好地解決了這個(gè)問(wèn)題，不必獲取全部個(gè)體信息，而是利用樣本代表總體。好的抽樣方法能節(jié)省調(diào)查費(fèi)用，增強(qiáng)調(diào)查的時(shí)效性，有助于提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，承擔(dān)全面調(diào)查難以勝任的調(diào)查任務(wù)，所得的樣本能很好地描述總體的特征。排序集抽樣就是一種有效的抽樣方法。

排序集抽樣（RSS）最初由McIntyre[1]于1952提出，Takahasi和Wakimato[2]證明了排序集抽樣在估計(jì)總體均值方面比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣具有更小的方差。由于排序集抽樣的優(yōu)良性，因此排序集抽樣受到了很多國(guó)外專(zhuān)家的關(guān)注。Samawi H M[3]討論了排序集抽樣下總體均值的比率估計(jì)問(wèn)題。Kadilar C和Unyazici Y[4]對(duì)排序集抽樣下總體均值的比率估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn)，提出了新的估計(jì)量。Jozani M J等[5]用比率估計(jì)的改進(jìn)形式解決了比率估計(jì)的無(wú)偏性問(wèn)題。喬松珊等[6]基于排序集樣本建立了總體均值的估計(jì)量，并證明在給定估計(jì)精度下，分層排序集抽樣方法可以有效降低抽樣調(diào)查費(fèi)用。

由于分層隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì)有兩種情形，一種是分別比率估計(jì)，另一種是聯(lián)合比率估計(jì)。在大樣本情況下，分別比率估計(jì)比聯(lián)合比率估計(jì)效果要好。因此分層排序集抽樣下的比率估計(jì)也應(yīng)該有兩種形式。已有文獻(xiàn)中研究的是分層排序集抽樣下運(yùn)用聯(lián)合比率估計(jì)求指標(biāo)的總數(shù)或均值，且證明了分層排序集抽樣下聯(lián)合比率估計(jì)比分層簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的效果好。因此本文考慮在分層排序集抽樣下用分別比率估計(jì)來(lái)求指標(biāo)的均值，并和分層排序集抽樣下的聯(lián)合比率估計(jì)量、分層隨機(jī)抽樣下的分別比率估計(jì)量進(jìn)行比較。

1 排序集抽樣方法和分別比率估計(jì)

排序集抽樣方法是一種抽樣設(shè)計(jì)方法。分層排序集抽樣是指先將總體分層，再將排序集抽樣應(yīng)用到總體的每一層中。具體抽樣過(guò)程如下：

設(shè)(X,Y)構(gòu)成二維總體，利用輔助信息X將總體分成L層。在每一層中進(jìn)行排序集抽樣。在第h層的具體抽樣過(guò)程是：mh表示第h層所要抽取的樣本容量，先從第h層抽取mh2個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，然后將這mh2個(gè)樣本隨機(jī)劃分成mh組，每組mh個(gè)個(gè)體，依據(jù)輔助變量X的信息，對(duì)每組個(gè)體進(jìn)行由小到大排序，從第一組中抽取次序最小的個(gè)體進(jìn)行測(cè)量，記為(Xh(1),Yh(1))，從第二組樣本中抽取次序第二小的樣本個(gè)體進(jìn)行測(cè)量，記為(Xh(2),Yh(2))，以此類(lèi)推，直到從第mh組中抽取次序最大的樣本(Xh(mh),Yh(mh))。將上述過(guò)程重復(fù)r次，得到到樣本量為mr的分層排序集樣本，其中m=m1+m2+…+mh，各層樣本量nh=mh×r。最終得到的樣本為{(Xh(1)k,Yh(1)k),(Xh(2)k,Yh(2)k),…,(Xh(mh)k,Yh(mh)k)}，k=1,…,r；h=1,…,L。其中Xh(i)k是第k次在第h層抽取排在第i的樣本，Yh(i)k為伴隨變量，i=1,…,mh。則變量X,Y在第h層的樣本均值分別為從第h層總體中抽取了r×mh2個(gè)樣本，但實(shí)際測(cè)量的個(gè)體只有r×mh個(gè)，而這r×mh個(gè)樣本卻代表了r×mh2個(gè)樣本的信息量，因此排序集抽樣于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（SRS）相比，前者對(duì)總體均值的估計(jì)更為精確。

比率估計(jì)是利用輔助變量的信息改進(jìn)估計(jì)的方法，是利用目標(biāo)變量和輔助變量的比例關(guān)系來(lái)提高估計(jì)的精度。比率估計(jì)涉及的是兩個(gè)指標(biāo)，且兩個(gè)指標(biāo)都要通過(guò)樣本進(jìn)行估計(jì)。分層抽樣中的比率估計(jì)有兩種情形：一是分層之后，先在各層獲取比率估計(jì)，然后按照層權(quán)加權(quán)平均得到總體參數(shù)估計(jì)；二是先分別對(duì)目標(biāo)變量、輔助變量作分層估計(jì)，然后再采用比率估計(jì)方法。前者稱(chēng)為分別比率估計(jì)，后者稱(chēng)為聯(lián)合比率估計(jì)。因?yàn)楸嚷使烙?jì)是有偏的，只有在大樣本下偏倚才近似為零，所以具體采用分別比率估計(jì)還是聯(lián)合比率估計(jì)還要結(jié)合具體情況討論。如果各層的樣本量都較大，則可以采用分別比率估計(jì)；如果各層只是小樣本，則最好采用聯(lián)合比率估計(jì)。

2 分層排序集抽樣（RSS）和分層隨機(jī)抽樣（SRS）下的比率估計(jì)

2．1 分層隨機(jī)抽樣下分別比率估計(jì)

分層隨機(jī)抽樣下，用每層估計(jì)在總體權(quán)重的加權(quán)平均去估計(jì)總體均值。由文獻(xiàn)[7]知，總體均值μY的分別比率估計(jì)量為：

其中X為已知輔助變量，表示第h層的層權(quán)，,分別為變量X,Y在第h層的樣本均值，為變量X在第h層的總體均值，為第h層總體比率的估計(jì)Rh。

當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，有：

2．2 分層排序集抽樣下聯(lián)合比率估計(jì)

由文獻(xiàn)[6]知，在RSS抽樣下得到總體均值的聯(lián)合比率估計(jì)為：

2．3 分層排序集抽樣下分別比率估計(jì)

在RSS抽樣下得到總體均值μY的分別比率估計(jì)為：

其中表示第h層的總體均值，表示第h層總體比率Rh的估計(jì)，，表示變量X,Y在第h層的樣本均值。

證明：

由文獻(xiàn)[3]可知：

故：

因此：

RSS抽樣比SRS抽樣獲得的樣本信息量更大，且由以上 證 明 可 知，因此分層排序集抽樣對(duì)總體均值估計(jì)量的均方誤差更小，使得估計(jì)更加精確。

3 數(shù)據(jù)模擬

上文已經(jīng)證明了基于分層排序集抽樣得到的總體均值的分別比率估計(jì)量比基于分層隨機(jī)抽樣得到的總體均值的分別比率估計(jì)量要好?，F(xiàn)在進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬，二維隨機(jī)觀測(cè)值產(chǎn)生于一個(gè)總體為二維的正態(tài)分布，這里模擬的正態(tài)分布為N(2,4,1,1,ρ)，ρ為隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)，分層的層數(shù)L=5。mi表示第i層樣本數(shù)，m=(m1,m2,m3,m4,m5)′表示不同層的樣本數(shù)取值向量，給出不同的層樣本數(shù)，研究其變化規(guī)律。ρ也是影響總體均值比率估計(jì)量的一個(gè)變量。用R語(yǔ)言編程模擬，程序循環(huán)1000次，可以輸出分層排序集抽樣和分層隨機(jī)抽樣下總體均值估計(jì)量的均方誤差。數(shù)據(jù)模擬結(jié)果如表1所示。

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，給定m時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρ越大，MSE()、MSE() 、MSE()均越小，但不論X,Y的相關(guān)系數(shù)如何，MSE() 總比MSE()小，MSE() 總比MSE()?。沪严嗤瑫r(shí)，隨著m的增大，MSE()、MSE()、MSE()均越來(lái)越小，但不論m為多少，MSE() 總比MSE()小，MSE() 總比MSE()小。因此，可得出結(jié)論：分層排序集抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)比分層隨機(jī)抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)的均方誤差更小；分層排序集抽樣下總體均值的聯(lián)合比率估計(jì)比分層排序集抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)的均方誤差更小。

表1 數(shù)據(jù)模擬結(jié)果

4 結(jié)論

排序集抽樣是一種新的獲取樣本的抽樣方法。當(dāng)我們面對(duì)的總體規(guī)模較大時(shí)，要想得到總體特征，需要考慮縮小總體規(guī)模，同時(shí)盡量使得總體中個(gè)體之間差異減小，因此采用分層抽樣比較合適。當(dāng)總體的指標(biāo)調(diào)查困難，而又有其他輔助指標(biāo)可供利用，因此可采用比率估計(jì)。

本文把排序集抽樣對(duì)總體均值的比率估計(jì)以及分層隨機(jī)抽樣對(duì)總體均值的比率估計(jì)結(jié)合起來(lái)，將排序集抽樣設(shè)計(jì)運(yùn)用到分層抽樣的每一層，以用于對(duì)總體均值的比率估計(jì)。本文比較了三種估計(jì)量的均方誤差，從理論上證明了分層排序集抽樣總體均值的分別比率估計(jì)量比分層隨機(jī)抽樣下總體均值的分別比率估計(jì)量更有效。通過(guò)數(shù)據(jù)模擬，表明分層排序集抽樣總體均值聯(lián)合比率估計(jì)量比分別比率估計(jì)量具有更小誤差，分層排序集抽樣總體均值分別比率估計(jì)量比分層隨機(jī)抽樣下總體均值分別比率估計(jì)量具有更小誤差。

[1]McIntyre G A.A Method for Unbiased Selective Sampling,Using Ranked Sets[J].Australian Journal of Agriculture Research,1952,(3).

[2]Takahasi K,Wakimoto K.On Unbiased Estimates of the Population Mean Based on the Sample Stratified by Means of Ordering[J].Annals of the Institute of Statistical Mathematics,1968,(21).

[3]Samawi H M.Estimation of Ratio Using Rank Set Sampling[J].Biom J,1996,38(5).

[4]Kadilar C,Unyazici Y.Ratio Estimation for the Population Mean Using Ranked Set Sampling[J].Stat Papers,2009,50(2).

[5]Jozani M J,Majidi S.Unbiased and Almost Unbiased Ratio Estimators of the Population Mean in Ranked Set Sampling[J].Stat Papers,2012,53(2).

[6]喬松珊,張建軍.基于輔助信息額分層排序集抽樣及調(diào)查費(fèi)用分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(13).

[7]金進(jìn)勇.抽樣:理論與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2010.

Discussion on Ratio Estimation of Hierarchical Ranked Set Sampling

Chen Xiaoxu，Zhu Yongzhong

(School of Science,Hohai University，Nanjing 211100，China)

Hierarchical ranked set sampling refers to the combination of ranked set sampling with hierarchical sampling,and dividing the population into multi layers through layering technology,and then using ranked set to acquire samples from each layer.Hierarchical ratio estimation means using auxiliary information to construct the estimator of population mean or the total value,and it includes combined ratio estimation and respective ratio estimation.This paper utilizes this idea to get the respective ratio estimation of the population mean under the hierarchical ranked set sampling,and compare it with the combined ratio estimator under the hierarchical ranked set sampling and respective ratio estimation under the hierarchical random sampling.The study results show that the respective ratio estimation of the population mean under the hierarchical ranked set sampling is more efficient than respective ratio estimation under the hierarchical random sampling,and that the combined ratio estimation under the hierarchical ranked set sampling is more efficient than respective ratio estimation of the population mean under the hierarchical ranked set sampling.

hierarchical random sampling;hierarchical ranked set sampling;respective ratio estimation;combined ratio estimation

O212.2

A

1002-6487（2017）20-0015-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50979029）

陳曉旭（1991—），女，湖北鐘祥人，碩士研究生，研究方向：統(tǒng)計(jì)分析方法。

朱永忠（1968—），男，江西瑞昌人，博士，教授，研究方向：統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程。

(責(zé)任編輯/亦 民)