陳逸龍

摘 要：數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的結(jié)果與概率乘積之和，是概率論中重要的數(shù)學(xué)特征之一。本文分析了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的定義與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，并在企業(yè)生產(chǎn)決策問題、營(yíng)銷問題與賭局問題三個(gè)實(shí)例中闡釋了數(shù)學(xué)期望的實(shí)際運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望；實(shí)際運(yùn)用；概率

中圖分類號(hào)：O211.67 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）20-0216-02

數(shù)學(xué)期望代表著概念意義下的統(tǒng)計(jì)平均值，客觀有效地反映了隨機(jī)變量的取值分布。作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要概念之一，數(shù)學(xué)期望如今已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)、投資分析等領(lǐng)域的重要參數(shù)，為更深入的判斷與決策提供了準(zhǔn)確的理論依據(jù)。本文梳理了數(shù)學(xué)期望的基本概念與計(jì)算方法，并進(jìn)一步探討期望在實(shí)際生活中的具體運(yùn)用。

1 數(shù)學(xué)期望的基本概念

1.1 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量

生活中存在許多自然現(xiàn)象，當(dāng)某種現(xiàn)象的結(jié)果具有不確定性和隨機(jī)性，但結(jié)果的取值范圍是已知的時(shí)候，我們稱該現(xiàn)象的結(jié)果為隨機(jī)變量。例如，某一時(shí)刻經(jīng)過某路口的出租車數(shù)量、未來某一天的平均溫度均是隨機(jī)變量，它們都無法預(yù)知，但結(jié)果的區(qū)間范圍確是可以確定的。

需要注意的是，根據(jù)隨機(jī)變量取值的分布規(guī)律，一般把隨機(jī)變量分為兩種類型：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量。當(dāng)變量的取值在一定區(qū)間內(nèi)是有限的，這個(gè)變量即是離散型隨機(jī)變量；當(dāng)取值在一定區(qū)間內(nèi)是無限的，這個(gè)變量即是連續(xù)型隨機(jī)變量。正如上文所列舉的例子，某一時(shí)刻經(jīng)過某路口的出租車數(shù)量便是“可數(shù)”的，是離散型的隨機(jī)變量；而未來某一天的平均溫度雖然也可以確定取值范圍，但在特定的范圍內(nèi)的取值是“不可數(shù)”的，因而是連續(xù)型的隨機(jī)變量。

1.2 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法

類似于加權(quán)平均的方法，數(shù)學(xué)期望即是隨機(jī)變量的所有可能取值與其對(duì)應(yīng)的概率乘積之和，概率即是每項(xiàng)結(jié)果的“權(quán)重”。離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的計(jì)算方式有所不同。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量X來說：

X的分布律為：

P{X=xk}=pk，k=1，2，3…

若級(jí)數(shù)收斂，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）即為。

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量Y來說：

Y的概率密度函數(shù)為：

f（y），y∈（-∞，+∞）

若級(jí)數(shù)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）即為。

2 數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的運(yùn)用

2.1 生產(chǎn)決策問題

企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)過程中，由于無法提前預(yù)知其他廠商的生產(chǎn)情況，因而對(duì)于產(chǎn)量的抉擇是較為盲目的。當(dāng)市場(chǎng)供給過多時(shí)，產(chǎn)品價(jià)格會(huì)下降進(jìn)而侵蝕利潤(rùn)，同時(shí)商品積壓也會(huì)增加庫(kù)存成本。實(shí)際上，企業(yè)的財(cái)務(wù)管理人員可以通過歷史數(shù)據(jù)、市場(chǎng)信息，利用數(shù)學(xué)期望原理進(jìn)行合理估算，制定出理論上的最佳生產(chǎn)策略。

假設(shè)公司有一產(chǎn)品，企業(yè)的生產(chǎn)量制定為Y。市場(chǎng)對(duì)于該產(chǎn)品的需求量為X，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，X服從一定的分布，概率密度函數(shù)為f（x）；同時(shí)，公司可以通過內(nèi)部財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，測(cè)算出當(dāng)成功銷售一單位產(chǎn)品，可獲利的金額a，以及當(dāng)一單位商品滯銷損失的金額b。假設(shè)企業(yè)的生產(chǎn)量為Y，毋庸置疑，企業(yè)的目標(biāo)必然是利潤(rùn)最大化，利潤(rùn)函數(shù)為：

利潤(rùn)的期望值E（R）可以根據(jù)X的概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

可以看出，E（R）是關(guān)于生產(chǎn)量y的函數(shù)，由此將問題轉(zhuǎn)化為求解max[E（R）]的問題。只需求得ymax使得利潤(rùn)E（R）的期望值最大，ymax即是最優(yōu)的生產(chǎn)量。

2.2 營(yíng)銷問題

生活中常見到商家為了促進(jìn)商品銷售，進(jìn)行各式各樣的營(yíng)銷推廣，其中一種常見形式就是“集物換禮”的促銷方式。商家在每件商品中附贈(zèng)某種特定標(biāo)簽，集齊全套標(biāo)簽即可兌換特定的禮品。消費(fèi)者為了獲取禮品，增加多余消費(fèi)的情況屢見不鮮。那么，如何判斷該類活動(dòng)是否值得參與呢？我們利用數(shù)學(xué)期望的思想可以解決這個(gè)問題。

以某實(shí)際促銷方案為例，某種商品售價(jià)10元，每件商品中隨機(jī)附贈(zèng)?？ㄒ粡垼惶赘？?張。若消費(fèi)者集齊一套?？ǎ纯蓛稉Q88元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)。顯然，在本案例中，我們首先需要計(jì)算湊齊五張?？ㄋ枰?gòu)買包數(shù)的數(shù)學(xué)期望E（X）。

令E（N）為消費(fèi)者已經(jīng)擁有N-1張不同的卡片后再獲取一張新卡片所需要購(gòu)買包數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

E（1）=1；

E（2）=1*0.8+2*0.2*0.8+3*0.22*0.8+4*0.23*0.8+……；

E（3）=1*0.6+2*0.4*0.6+3*0.42*0.6+4*0.43*0.6+……；

E（4）=1*0.4+2*0.6*0.4+3*0.62*0.4+4*0.63*0.4+……；

E（5）=1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.82*0.2+4*0.83*0.2+……；

可以看出，上述五個(gè)式子均是差比數(shù)列，可以利用差比數(shù)列的求和方法求出具體值。則：

E（X）=E（1）+E（2）+E（3）+E（4）+E（5）

=1+=11.42

對(duì)于單個(gè)消費(fèi)者來說，集齊五張福卡后的獲利值的數(shù)學(xué)期望為：

E（88-10X）=88-10*E（X）=-26.2

可見，單個(gè)消費(fèi)者集卡兌換的期望收益為負(fù)，因此為了禮品盲目購(gòu)買的行為是不可取的。

2.3 賭局問題

生活中，我們常常會(huì)看到有人街邊設(shè)置賭局，利用轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)、象棋殘局等為道具，吸引路人參與，最終使得多人上當(dāng)受騙。本文將利用數(shù)學(xué)期望的思想，解開街頭賭局背后的秘密。

依然以某實(shí)際賭局為例。該賭局采用輪盤抽獎(jiǎng)的形式，輪盤上有編碼為1-10的十個(gè)區(qū)域與均勻轉(zhuǎn)動(dòng)的指針，參與者進(jìn)行隨機(jī)搖動(dòng)指針，若搖中1-4游戲結(jié)束，搖到5可以獲得20元，搖到6-10可以免費(fèi)再搖一次。游戲每次的參與費(fèi)為5元，請(qǐng)問游戲設(shè)計(jì)是否公平？

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)繳納一次游戲費(fèi)后，最終會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果：結(jié)束游戲（獎(jiǎng)金為0）和獲得20元獎(jiǎng)金。我們只需求得獲利的期望，即可判斷游戲的公平性。

獲得20元獎(jiǎng)金的概率為：

p（x1）=**+……==

沒有獲得獎(jiǎng)金的概率為：

p（x2）=1-p（x1）=

則獲取獎(jiǎng)金數(shù)額的期望E（X）為：

E（X）=20*p（x1）+0*p（x2）=4

因而對(duì)于單個(gè)消費(fèi)者來說，獲利值的數(shù)學(xué)期望為：

E（X-5）=E（X）-5=-1

可以看到，獲利值的數(shù)學(xué)期望為負(fù)數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)賭博游戲來說，若參與者的獲利期望值為負(fù)數(shù)，則這個(gè)游戲設(shè)計(jì)對(duì)于參與者是“不公平”的。因而該游戲不值得參與。

3 結(jié)語

通過上述案例分析可以看到，數(shù)學(xué)期望為企業(yè)決策、投資決策乃至生活中的概率問題都提供了客觀理性的評(píng)判參數(shù)。當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)充斥著海量信息與復(fù)雜結(jié)構(gòu)的綜合體，這使得未知事件的不確定性進(jìn)一步增強(qiáng)，而有效地利用概率論中數(shù)學(xué)期望的概念，能夠?yàn)楦黜?xiàng)經(jīng)濟(jì)工作提供理論指導(dǎo)，避免無謂的損失。

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