嚴(yán)莉

[摘 要] 在數(shù)的乘方與開方、二次根式的性質(zhì)之后，二次根式的運(yùn)算是先學(xué)習(xí)乘除，再學(xué)習(xí)加減，這與數(shù)的運(yùn)算、整式運(yùn)算的學(xué)習(xí)順序都不太一樣，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生回到二次根式的性質(zhì)、乘方與開方的依據(jù)來思考、發(fā)現(xiàn)與推證出新的運(yùn)算法則，并根據(jù)運(yùn)算法則準(zhǔn)確計算與化簡，故該課時的教學(xué)重點(diǎn)是推證和應(yīng)用二次根式的運(yùn)算法則，難點(diǎn)是理解新法則推證過程中的算理.

[關(guān)鍵詞] 二次根式的乘除；運(yùn)算法則；成果

二次根式的運(yùn)算關(guān)乎勾股定理的計算，且對后續(xù)一元二次方程的解法，二次函數(shù)中的變形與運(yùn)算都起著奠基作用，教學(xué)時要引起高度重視特別是教學(xué)二次根式的起始課，要注意引導(dǎo)學(xué)生歸納二次根式的乘法法則，追問算理、推證法則，而不是直接告知法則，應(yīng)培養(yǎng)和滲透理性精神. 本文以“二次根式的乘除（第1課時）”教學(xué)為例，先概述教學(xué)設(shè)計，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意.

5. 教學(xué)環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)，加深理解

小結(jié)問題2：二次根式運(yùn)算或化簡的最后結(jié)果要注意什么？

預(yù)設(shè)：（1）被開方數(shù)不含字母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式. 滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

教學(xué)立意的跟進(jìn)闡釋

1. 理解數(shù)學(xué)，準(zhǔn)確定位課時目標(biāo)，教學(xué)圍繞目標(biāo)有序展開

二次根式的乘除是在前面已學(xué)習(xí)數(shù)的開方、二次根式的性質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算的起始課，與前面不少運(yùn)算學(xué)習(xí)的經(jīng)驗不一樣的是，有理數(shù)、實數(shù)、整式運(yùn)算都是先從加減開始，再學(xué)習(xí)乘除運(yùn)算，而二次根式的運(yùn)算卻是先從乘除學(xué)習(xí)，所以這里需要理解前后數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)方法和順序的區(qū)別，辨析清楚教材為什么這樣安排，這與二次根式運(yùn)算的特點(diǎn)有關(guān). 基于上述認(rèn)識，我們認(rèn)為本課時的教學(xué)目標(biāo)可以擬定為以下幾點(diǎn)：

經(jīng)歷觀察、比較的過程，發(fā)現(xiàn)二次根式的乘法運(yùn)算規(guī)律，通過推理論證，生成二次根式的乘法法則；

運(yùn)用等式的對稱性，建構(gòu)二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的互逆關(guān)系；

正確運(yùn)用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行簡單的計算和化簡.

這一課時的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是二次根式乘法法則的生成過程，并且要讓學(xué)生正確運(yùn)用二次根式乘法法則進(jìn)行簡單的計算和化簡.

2. 理解教學(xué)，預(yù)設(shè)系列教學(xué)活動，通過追問促進(jìn)成果擴(kuò)大

在教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)確定之后，就要預(yù)設(shè)各個教學(xué)活動與教學(xué)環(huán)節(jié)，通過系列教學(xué)問題情境驅(qū)動課堂教學(xué)，并且通過各個教學(xué)問題呈現(xiàn)之后，跟進(jìn)教學(xué)追問，促使學(xué)生成果擴(kuò)大，自主建構(gòu)新知. 比如，在特例引路，發(fā)現(xiàn)二次根式乘法規(guī)律之后，還需要引導(dǎo)學(xué)生在已有算法依據(jù)的情況下推證出性質(zhì)，并成果擴(kuò)大，證明其一般規(guī)律，自主建構(gòu)二次根式乘法法則. 特別地，為了促進(jìn)學(xué)生深刻理解，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，對二次根式乘法法則從正反兩個方面進(jìn)行理解、辨析. 這里，還可以引導(dǎo)學(xué)生與整式乘法和因式分解之間的關(guān)系進(jìn)行類比，比如學(xué)生熟悉的平方差公式、完全平方公式，它們就分別是“從左往右”逆過來“從右往左”的公式形式.此外，角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）與角平分線的判斷（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上），也是可以看成互逆的性質(zhì)，可將這些作為類比教學(xué)的例子，讓學(xué)生進(jìn)行對比、感悟.

3. 理解學(xué)生，設(shè)計必要同類運(yùn)算，加深對運(yùn)算法則的理解

我們的教學(xué)對象是學(xué)生，所以需要基于理解學(xué)情的基礎(chǔ)上開展各個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計. 一方面，在新知探究、性質(zhì)歸納與證明時，可從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，追問學(xué)生每一步變形的依據(jù)時要注意回到之前學(xué)過的一些性質(zhì)、依據(jù)，使得新知由舊知發(fā)展而來，讓數(shù)學(xué)知識在一條主線上自然生長. 一般地，數(shù)學(xué)運(yùn)算新的法則學(xué)習(xí)之后，理解新知、運(yùn)用新法則時，不同的學(xué)生會表現(xiàn)出不同的適應(yīng)性，這里需要跟進(jìn)一些必要的、典型的例、習(xí)題進(jìn)行有序訓(xùn)練，在訓(xùn)練過程中，要注意觀察學(xué)生運(yùn)算中出現(xiàn)的一些問題，比如用錯法則、跳步出錯或者符號出錯等，課堂上要注意及時找到這些“反例”，用好“生成性錯例”，并通過投影等方式，讓學(xué)生參與糾錯，這樣便可以加深學(xué)生對法則的理解.

寫在后面

近年來，章建躍博士提出的“三個理解”在廣大一線教師中得到廣泛響應(yīng)，體現(xiàn)在很多教學(xué)設(shè)計研究、命題研究中，而這些與著名特級教師李庾南老師提出的基于理解數(shù)學(xué)前后聯(lián)系的“學(xué)材再建構(gòu)”觀點(diǎn)也是深度契合，想來這也值得我們深入學(xué)習(xí)和實踐. 本文以“二次根式的乘除（第1課時）”教學(xué)為例，實踐才剛開始，有待深入，期待更多的同行實踐跟進(jìn)，批評研討.endprint