巧算直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

田青璇

摘要：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的判定向來是考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于涉及的運(yùn)算繁冗復(fù)雜，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，令人頭疼。所以，筆者在學(xué)習(xí)的過程中總結(jié)了一點(diǎn)心得體會(huì)和變形技巧，運(yùn)用于直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的判定中，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，節(jié)省時(shí)間，降低運(yùn)算難度。

關(guān)鍵詞：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 技巧 效率

在學(xué)習(xí)圓錐曲線的概念和性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系這部分知識(shí)的過程中，了解到：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為高考重點(diǎn)考察內(nèi)容，是重難點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系，由于可以通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來得到是相切，相交，還是相離的位置關(guān)系，但是在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，只能將直線圓錐曲線和方程聯(lián)立，組成方程組，利用代入消元法消去y，出現(xiàn)一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，判斷此方程的Δ>0，還是Δ=0，或者Δ>0的情況，得到直線和圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。由于這部分知識(shí)，計(jì)算繁雜，運(yùn)算量大，大家普遍感覺困難，為此我們有必要在平常的解題變形過程中發(fā)現(xiàn)，積累一些常用的變形技巧，降低運(yùn)算難度，減少錯(cuò)誤。

我在學(xué)習(xí)過程中，通過自己摸索，實(shí)踐，總結(jié)出了一些心得，體會(huì)，和大家交流如下。下面，看一道例題：

例一：橢圓 與直線 相切，求k值。

看到這個(gè)題，思考難度不大，將直線和橢圓方程聯(lián)立，組成方程組，利用代入消元法消去y，出現(xiàn)一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，讓此方程的Δ=0，即可解出k的值。下面是解題過程。

解： ①

②

①代入②得：

，整理這個(gè)方程，得到：

，由于直線與這個(gè)橢圓相切，所以這個(gè)方程的Δ=0，即：

從上面的解題過程，不難看出，計(jì)算繁雜，運(yùn)算量巨大，極易出錯(cuò)。所以，在學(xué)習(xí)過程中，為了解決此類問題，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，以直線和橢圓的位置關(guān)系舉例，總結(jié)出了解題技巧如下：

①

②

①代入②，整理得：

所以，小結(jié)： ，

這個(gè)公式的記憶竅門如下： ，從直線里得到三個(gè)分子的寫法，分別是 ，從橢圓 中，得到三個(gè)分母的寫法，依次是 ，這樣就很容易記住這個(gè)公式了。

用這個(gè)公式解例題一得：

①

②

①代入②得：

，由于直線與這個(gè)橢圓相切，所以這個(gè)方程的Δ=0，即：

這樣一來，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，減少出錯(cuò)概率，得分率高。減少了大家在解題過程中的畏難恐懼心理，輕輕松松去算題。

下面，附加相關(guān)練習(xí)題：

1.已知橢圓 與直線 沒有交點(diǎn)，求m的取值范圍。

略解：

2.已知橢圓 與直線 有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍。

略解

3.若橢圓 與直線 相切，求t值。（解題過程略） 從以上幾道題的計(jì)算過程中看到，運(yùn)用Δ公式計(jì)算，化繁為簡(jiǎn)，輕輕松松來算數(shù)，高高興興去做題。為了Δ公式快捷使用，特意總結(jié)：以直線 為例，根據(jù)橢圓和 雙曲線的不同方程形式，得到不同Δ公式，列表如下：

注意觀察公式中分母的寫法技巧。

通過使用公式，能有效的降低運(yùn)算難度，減少運(yùn)算量，是計(jì)算直線和圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的位置關(guān)系的一個(gè)常用技巧，大家在學(xué)習(xí)中注意掌握使用。

（作者單位：河北省張家口市第一中學(xué)）endprint