謝晶

摘 要：研究了一類高階非線性系統(tǒng)停息時間可調的有限時間穩(wěn)定性分析與控制器設計問題。利用有限時間Lyapunov定理的反步構造法，設計狀態(tài)反饋有限時間控制器，并實現(xiàn)停息時間的適當調整。

關鍵詞：非線性系統(tǒng) 有限時間鎮(zhèn)定 反步構造法

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（c）-0219-02

近十多來年，有限時間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題受到了較大的關注，得到了廣泛的研究[1-7]。對比于Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性，有限時間穩(wěn)定性具有動態(tài)響應速度快、穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高、對參數(shù)攝動和外部干擾具有強魯棒性等特性。

1 問題的提出

在本文中，考慮一類具有如下形式的高階非線性系統(tǒng)：

（1）

其中，是間距系統(tǒng)的狀態(tài)向量，為系統(tǒng)控制輸入，是連續(xù)函數(shù)，且。為奇數(shù)之比，且。

為了討論方便，定義，，下面給出系統(tǒng)（1）滿足的假設條件：

假設1：存在數(shù)，且，使得，其中。

假設2：取如假設1所示，系統(tǒng)（1）滿足下式

，； 是已知C1的函數(shù)

2 控制器設計

這部分我們利用反步構造法[2]，設計一個狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)（1）有限時間穩(wěn)定。

步驟1：首先構造Lyapunov函數(shù)，取，由假設2得：

（3）

定義連續(xù)的虛擬控制，其中是函數(shù)，常數(shù)是待定的設計參數(shù)，下文將證明的值對于調整停息時間起關鍵作用。則

（4）

步驟2（歸納假設）：

假設在第k-1步，存在一個Lyapunov函數(shù)，使 （5）定義虛擬控制如下：

其中是函數(shù)，且

（6）

下證在第k步中， 不等式（5）和（6）也成立。

令， 其中

則是光滑的，正定的，適定函數(shù)，且滿足。

并且，，有

（7）

由文獻[1]得：

，. （8）

；. （9）

；. （10）

將（8）-（10）代入（7）式，得：

令， .則 （11）

步驟3：當時，令，則

成立.

令實際反饋控制率為，可知.

3 有限時間穩(wěn)定性分析

為了證明該系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，選擇，由知。因此，容易推出：

。

可知系統(tǒng)（1）是全局有限時間穩(wěn)定的，并且停息時間滿足進一步，由于是待定參數(shù)，若系統(tǒng)的初始值已知，那么通過選擇，可實現(xiàn)停息時間的任意調整。至此，控制設計完畢。

參考文獻

[1] Qian C and Lin W. A continuous feedback approach to global strong stabilization of nonlinear systems[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（7）：1061-1079.

[2] Haimo V T. Finite-time controllers [J]. SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24（4）：760-770.

[3] Bhat S P， Bernstein D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000，38（3）：751-766.

[4] Bhat S P， Bernstein D S. Continuous finite-time stabilization of the translation and rotational double integrators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1998，43（5）：678-682.

[5] Hong Y，Wang J，Xu Y. On an output feedback finite-time stabilization problem[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（2）：305-309.

[6] Hong Y，F(xiàn)inite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems[J].Systems and Control Letters，2002，46（4）：231-236.

[7] Jiang Z， Mareels I. Robust nonlinear integral control[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001（46）：1336-1342.endprint