一種改進(jìn)的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監(jiān)測中心，天津 300180)

一種改進(jìn)的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監(jiān)測中心，天津 300180)

根據(jù)GPS高程擬合中不同擬合模型的特點(diǎn)，利用多面函數(shù)較好的整體擬合性和移動(dòng)法靈活的局部擬合性，提出了一種基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型。3種不同地形的算例表明，本文提出的綜合模型在不同地形條件下較其他兩種綜合模型擬合效果更好，即擬合精度更高，殘差更穩(wěn)定。

GPS高程擬合；不同地形；多面函數(shù)；移動(dòng)法；綜合模型

目前，人們能夠利用GPS在10-7乃至更高的精度上，經(jīng)濟(jì)而快速地獲得所測點(diǎn)位的平面坐標(biāo)，但是一直不能以相應(yīng)的精度獲得點(diǎn)位的海拔高程。GPS測量獲得的高程是以WGS-84橢球面為基準(zhǔn)面的大地高H，而我國的高程系統(tǒng)采用的是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正常高h(yuǎn)，兩者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

ξ=H-h

(1)

式中，ξ為似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為高程異常。由于WGS-84橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間關(guān)系非常復(fù)雜，導(dǎo)致高程異常值不能用某個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)準(zhǔn)確表達(dá)，因此GPS高程在實(shí)際應(yīng)用中受到很大限制。要想利用GPS測得的高程代替常規(guī)的水準(zhǔn)測量，獲得高精度的水準(zhǔn)高程，其中高程異常的擬合是關(guān)鍵。

常用的GPS高程異常擬合方法有二次曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、移動(dòng)曲面擬合法、Shepard擬合法、Kriging法、最小二乘配置法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-5]。不同的方法具有不同的特點(diǎn)，適應(yīng)性也不同。單一模型往往存在一定的模型誤差，擬合效果不是很穩(wěn)定。文獻(xiàn)[6—8]研究了幾種綜合模型，并得出了綜合模型優(yōu)于單一模型的結(jié)論。本文在以上研究的基礎(chǔ)上，提出基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型，并與其他兩種綜合模型進(jìn)行比較。通過不同地形的算例表明，該模型在不同地形條件下的擬合效果都優(yōu)于其他兩種綜合模型。

1 GPS高程擬合數(shù)學(xué)模型

1.1 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)擬合法是由Hardy教授提出的，其基本思想是：任何數(shù)學(xué)表面和不規(guī)則圓滑表面，總可用一系列規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的和以任意精度逼近。其一般形式為

(2)

式中，aj為待定系數(shù)；Qx,y,xj,yj是多面函數(shù)的核函數(shù)。核函數(shù)有多種類型，常用的是具有對稱性的距離型核函數(shù)和錐面函數(shù)，其中具有對稱性的距離型核函數(shù)表達(dá)式為

(3)

式中，δ為平滑因子，通常可取一小正數(shù)或0；μ一般取1/2或-1/2。μ=1/2時(shí)，核函數(shù)稱為正雙曲面函數(shù)；μ=-1/2時(shí)，核函數(shù)稱為倒雙曲面函數(shù)。

錐面函數(shù)表達(dá)式為

(4)

式中，c為待定參數(shù)。

設(shè)有m個(gè)已知GPS水準(zhǔn)點(diǎn)xi,yi，選取其中nn≤m個(gè)點(diǎn)作為核函數(shù)的中心點(diǎn)xj,yj，令Qij=Qxi,yi,xj,yj，則各數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)滿足

(5)

由此可列出誤差方程

V=QX-ξ

(6)

根據(jù)最小二乘原理可求得待定系數(shù)X，即

(7)

待定系數(shù)求出后，根據(jù)式(5)可計(jì)算測區(qū)各待定點(diǎn)的高程異常值。

需要注意的是，應(yīng)用多面函數(shù)擬合高程異常時(shí)，要根據(jù)測區(qū)大小和地形情況確定合適的核函數(shù)、平滑因子和中心點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.2 移動(dòng)曲面擬合法

移動(dòng)曲面擬合法的基本原理是以每一個(gè)待定點(diǎn)為中心，選取待定點(diǎn)周圍適量的已知點(diǎn)，擬合出一個(gè)多項(xiàng)式曲面，進(jìn)而內(nèi)插出待定點(diǎn)上的函數(shù)值，是一種特殊的局部函數(shù)逼近法。采用此方法擬合，在每個(gè)待定點(diǎn)上都可單獨(dú)求定一個(gè)擬合函數(shù)，直接得到待定點(diǎn)上的擬合值，計(jì)算比較靈活。

為了選取鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，以待定點(diǎn)Pxp,yp為圓心、R為半徑作圓，凡落在圓內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)即被選用。所選擇的點(diǎn)數(shù)根據(jù)所采用的局部擬合函數(shù)來確定，若是二次曲面擬合，則要求選用的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)ngt;6，若選擇的點(diǎn)數(shù)不夠時(shí)，則應(yīng)增大半徑R，直至數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)n滿足要求。因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)要根據(jù)情況選擇合適的半徑R。

根據(jù)已知點(diǎn)與待定點(diǎn)間的距離進(jìn)行定權(quán)，權(quán)的引入是為了確定各已知點(diǎn)對待定點(diǎn)的影響程度，兩點(diǎn)間距離越近影響程度越大，這與測量平差中權(quán)根據(jù)誤差來定義是不同的。常采用的權(quán)有以下幾種形式

在進(jìn)行擬合計(jì)算前，可以先將參與擬合的各數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行中心化處理，即將各點(diǎn)坐標(biāo)減去待定點(diǎn)P的坐標(biāo)，這樣轉(zhuǎn)換以后就變成以P為原點(diǎn)的坐標(biāo)。

(8)

(9)

2 基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型

多面函數(shù)擬合法對整體性變化的擬合效果較好，但需要確定合適的模型參數(shù)，對局部變化擬合效果較差；而移動(dòng)擬合法是以待定點(diǎn)為中心，以一定距離為半徑，用一個(gè)多項(xiàng)式曲面擬合中心點(diǎn)函數(shù)值的局部擬合法，此處移動(dòng)多項(xiàng)式多為平面模型或二次曲面模型。為此，可以結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn)，采用先進(jìn)行多面函數(shù)擬合，再對剩余殘差進(jìn)行移動(dòng)法擬合的綜合模型擬合高程異常。這很類似于組合法確定似大地水準(zhǔn)面中的“移去-恢復(fù)法”，具體步驟如下:

(2) 求出m個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)上的擬合殘差v

v=ξN-ξ

(10)

(11)

由于Shepard擬合法也可較好地體現(xiàn)出局部高程異常的變化規(guī)律，文獻(xiàn)[6]中的多面函數(shù)與Shepard插值綜合模型和文獻(xiàn)[7]中的基于二次曲面的Shepard擬合模型都將上述步驟中的第2次擬合采用Shepard擬合法擬合殘差v′。兩者都采用了函數(shù)模型加隨機(jī)模型構(gòu)建綜合模型的思路，移動(dòng)擬合法雖然是函數(shù)模型，但它具有很好的局部擬合性質(zhì)，加上其本身具有函數(shù)模型的趨勢性變化，因而可更好地進(jìn)行局部擬合。本文將該綜合模型與文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中的綜合模型進(jìn)行了比較研究。

3 試驗(yàn)算例與分析

為了得出比較可靠的結(jié)論，本文選取3個(gè)區(qū)域進(jìn)行擬合計(jì)算，并將各個(gè)模型進(jìn)行比較。

區(qū)域1位于東經(jīng)119.1°—120.1°，北緯31.1°—31.9°，總面積約8500 km2。該區(qū)域平均海拔10.5 m，屬平原地區(qū)。在該地區(qū)共測得142個(gè)GPS控制點(diǎn)，并進(jìn)行三等水準(zhǔn)聯(lián)測，所有點(diǎn)經(jīng)粗差探測后均不含粗差。對142個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行分組，選取其中均勻分布的110個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余32個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，進(jìn)行擬合計(jì)算。點(diǎn)位分布如圖1所示。

圖1 平原地區(qū)點(diǎn)位分布

區(qū)域2位于東經(jīng)114°—116°，北緯26°—28°，總面積約44 000 km2。該區(qū)域?qū)偕降?，平均海?00多米，在該區(qū)域共獲得112個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，均聯(lián)測了四等水準(zhǔn)，所有點(diǎn)經(jīng)粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的87個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余25個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，進(jìn)行擬合計(jì)算。點(diǎn)位分布如圖2所示。

圖2 山地地區(qū)點(diǎn)位分布

區(qū)域3位于東經(jīng)113.6°—114.8°，北緯22.4°—23°，總面積約8300 km2。該區(qū)域?qū)偾鹆辏骄０?0多米，在該區(qū)域共獲得80個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，并利用三等水準(zhǔn)測量進(jìn)行聯(lián)測，所有點(diǎn)經(jīng)粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的60個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余20個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，進(jìn)行擬合計(jì)算。點(diǎn)位分布如圖3所示。

圖3 丘陵地區(qū)點(diǎn)位分布

對上述3種地形的數(shù)據(jù)分別采用4種單一函數(shù)模型和3種綜合模型進(jìn)行擬合計(jì)算，并根據(jù)檢核點(diǎn)的外符合精度m對不同擬合方法進(jìn)行評價(jià)

(12)

方案1：將文獻(xiàn)[6]中的綜合模型與相應(yīng)單一模型擬合比較，擬合精度見表1。

表1 多面函數(shù)+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案2：將文獻(xiàn)[7]中的綜合模型與相應(yīng)單一模型擬合比較，擬合精度見表2。

表2 二次曲面+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案3：將基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型與相應(yīng)單一模型擬合比較，擬合精度見表3。

表3 多面函數(shù)+移動(dòng)法綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案4：將基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型與文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中的綜合模型進(jìn)行比較，擬合精度見表4。

表4 3種綜合模型擬合精度比較 cm

上述比較中，各個(gè)模型在不同地形條件下采用的參數(shù)不同，都是經(jīng)過多次試算選取的最佳參數(shù)。如多面函數(shù)在本文中的平原地區(qū)選取錐面函數(shù)作為核函數(shù)，其中參數(shù)c取100，采用48個(gè)點(diǎn)作為核函數(shù)中心點(diǎn)；在山地地區(qū)選取倒雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)，平滑因子取0.5，采用45個(gè)點(diǎn)作為核函數(shù)中心點(diǎn)；在丘陵地區(qū)選取正雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)，平滑因子取0.3，采用25個(gè)點(diǎn)作為核函數(shù)中心點(diǎn)。移動(dòng)法根據(jù)不同地形條件選取最優(yōu)的擬合多項(xiàng)式、擬合半徑及權(quán)函數(shù)。Shepard擬合法根據(jù)不同地形條件選取最優(yōu)的擬合半徑。

為了直觀地看出3種綜合模型的擬合效果，下面給出3種綜合模型在3種不同地形中的檢核點(diǎn)殘差圖，如圖4—圖6所示。

圖4 平原地區(qū)3種綜合模型檢核點(diǎn)殘差

圖6 丘陵地區(qū)3種綜合模型檢核點(diǎn)殘差

由表1—表3可以看出，無論是平原、山地還是丘陵地區(qū)，3種綜合模型都比對應(yīng)的單一模型擬合精度高。其中最明顯的是基于二次曲面的Shepard擬合模型，這是因?yàn)槎吻婧蚐hepard擬合法單獨(dú)擬合時(shí)精度都不是很高，而綜合模型可以將兩者的優(yōu)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合。其他兩種綜合模型都是基于多面函數(shù)的綜合模型，多面函數(shù)在理論上可以任意精度逼近任意不規(guī)則曲面，只要選取最優(yōu)的參數(shù)(核函數(shù)、平滑因子和中心點(diǎn)個(gè)數(shù))組合，應(yīng)用多面函數(shù)模型就能取得良好的擬合效果，想在此基礎(chǔ)上提高很大的精度比較困難，因此這兩種綜合模型都比多面函數(shù)擬合精度稍高。不過在大面積的山地地區(qū)，這兩種綜合模型還是表現(xiàn)出了較大的優(yōu)勢。

由表4可以看出，3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型在三種地形條件下的擬合精度都最高。從圖4—圖6的殘差圖可以看出，基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型殘差震蕩最小，擬合的殘差最穩(wěn)定。而基于二次曲面的Shepard擬合模型殘差震蕩較大，說明該模型擬合殘差不穩(wěn)定。綜上，本文提出的綜合模型優(yōu)于其他兩種綜合模型。

4 結(jié) 論

(1) 3種綜合模型在3種不同地區(qū)都比對應(yīng)的單一模型擬合精度高。

(2) 多面函數(shù)模型只要選取最優(yōu)的參數(shù)組合就能取得良好的擬合效果?；诙嗝婧瘮?shù)的綜合模型在擬合精度上比多面函數(shù)略有提高，但是在大面積的山地地區(qū)優(yōu)勢明顯。

(3) 3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數(shù)和移動(dòng)法的綜合模型在3種地形條件下的擬合精度都最高，擬合殘差也最穩(wěn)定，有一定的實(shí)踐參考意義。

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AnImprovedGPSElevationFittingModelforDifferentTerrain

TIAN Xiao，ZHENG Hongyan，XU Mingyuan，ZHANG Chao

(First Crust Monitoring and Application Center, CEA, Tianjin 300180, China)

According to the characteristics of different fitting models in GPS height fitting, a synthetic model is created which combines a better overall fitting of multi-surface function and a flexible partial fitting of movement method. The synthetic model of this paper has a better fitting effect with higher precision and more stable error comparing with other two synthetic methods in three different terrain conditions.

GPS elevation fitting; different terrain; multi-surface function; movement method; synthetic model

P228.4

A

0494-0911(2017)01-0035-04

田曉，鄭洪艷，許明元,等.一種改進(jìn)的適用于不同地形的GPS高程擬合模型[J].測繪通報(bào)，2017(1)：35-38.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0008.

2016-03-01；

2016-05-27

中國地震局第一監(jiān)測中心科技創(chuàng)新主任基金(FMC2016007)；中國地震局2016年度監(jiān)測、預(yù)測、科研三結(jié)合課題(163302)

田 曉(1988—)，男，碩士，助理工程師，主要從事精密水準(zhǔn)和跨斷層數(shù)據(jù)處理工作。E-mail：tx_yice@163.com