程傳錄,蔣光偉,田曉靜，馬新瑩，王文利

(國家測繪地理信息局大地測量數(shù)據(jù)處理中心，陜西 西安 710054)

一種顧及坡度因子與極值的地表面積計算法

程傳錄,蔣光偉,田曉靜，馬新瑩，王文利

(國家測繪地理信息局大地測量數(shù)據(jù)處理中心，陜西 西安 710054)

針對局部地形的非線性變化與圖形的極值信息對地表面積計算結(jié)果的影響，提出了一種顧及坡度因子與圖形極值的地表面積計算法，分析了地表面積計算理論與誤差。最后以中國西部具有典型地貌特征的兩縣數(shù)據(jù)為例進行試驗分析。試驗結(jié)果表明，該方法在一定程度上對局部地形逼近具有一定的改進，宏觀上與規(guī)格格網(wǎng)交叉對角劃線法具有一定的相似度。文中推導(dǎo)的三角網(wǎng)面積傳遞誤差可初步表明考慮局部地形坡度因子與極值的地表面積計算結(jié)果可靠性更高。

坡度；地表面積計算；三角網(wǎng)；數(shù)字高程模型；破碎圖斑

DEM是連續(xù)地形變化地形表面的離散化表達，是空間信息資料和地形分析的核心數(shù)據(jù)。對DEM信息挖掘可分析地表對象的內(nèi)在空間特性、相互關(guān)系、分布規(guī)律和發(fā)展趨勢。圖斑表面積是地理國情監(jiān)測的重要對象，而影響表面積計算的結(jié)果涉及坐標系統(tǒng)、投影變形、DEM精度、地表粗糙度、地形參數(shù)、內(nèi)插算法、曲面逼近、原始數(shù)據(jù)分布等問題[1-2]，目前地表面積計算大都基于DEM數(shù)據(jù)。相關(guān)學(xué)者對DEM作了深入研究：文獻[3—6]對DEM坡度、坡向的有效尺度范圍及坡度計算的適宜窗口進行了研究；王耀革研究了DEM建模與不確定性分析[1]。在圖斑面積計算方面：文獻[7—8]研究了橢球體表面積計算方法，楊學(xué)祥建立了地球3個半周與地表面積之間的函數(shù)關(guān)系[7]；江帆研究了基于復(fù)化公式的DEM表面積算法分析[9]；陳吉龍運用微積分的方法對林地的表面積進行計算[10]；曹振宇研究了大地坐標系中多邊形面積計算，提出了顧及地形起伏的任意多邊形表面積計算方法[11]；黨亞民研究了不同坐標系坐標轉(zhuǎn)換及其對國土資源面積量算的影響[12]；薛樹強研究了一種顧及復(fù)雜地形因子的地表面積計算方法，對比了不同分辨率DEM計算地表表面積的差異，得出顧及地形因子的地表面積統(tǒng)計可明顯提高低分辨率DEM地表表面積的統(tǒng)計精度[13]；秦艷紅從數(shù)學(xué)角度利用多分辨率分析，從理論上給出了實現(xiàn)由單一比例尺數(shù)據(jù)的坡度面積生成任意多比例尺系列坡度面積的依據(jù)和途徑，并證明了小波變換前后面積差平方的對數(shù)與復(fù)雜地貌復(fù)雜度及尺度之間的變化關(guān)系，對不同尺度下坡度面積的變化進行了量化估計[14]。

地形表面的非線性變化及一些不確定性因素決定了地形表面表達的復(fù)雜度，任何曲面的逼近都是對地表形態(tài)的近似表達。本文在以上基礎(chǔ)上研究了地表不規(guī)則圖斑表面積計算的理論，闡述了影響地表面積統(tǒng)計的誤差因素，重點分析了規(guī)格格網(wǎng)模擬地表趨勢方法的差異，提出了一種考慮地形坡度因子與圖形極值信息的表面積計算方法。

1 地表面積計算理論與誤差分析

1.1 地表面積計算理論

設(shè)地表曲面S可表示為方程H=h(x,y)，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)h(x,y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)hx(x,y)和hy(x,y)，則曲面S面積可表示為

(1)

由式(1)可知，局部區(qū)域的地形曲面函數(shù)h(x,y)在邊界區(qū)域內(nèi)進行積分可得到地形表面積。實際的地形曲面h(x,y)很難得到，較常用的方法是對規(guī)則格網(wǎng)的DEM表面進行整體建模與分塊建模。整體建模大都用于研究地形的趨勢性，不能反映局部地形的粗糙度；分塊建模能較好地顧及地形粗糙度與計算復(fù)雜度，設(shè)第i塊函數(shù)為hi(x,y)，則地表面積可表示為

∑dSisec(β)=

(2)

由式(2)可知，地表面積計算可采用分塊DEM模擬地形曲面hi(x,y)基于積分方法計算，也可使用投影面積與坡度來計算。實際的地形曲面是未知的，采用數(shù)值模擬的方法獲取局部hi(x,y)計算復(fù)雜，常采用構(gòu)建地表三角網(wǎng)法局部地形逼近

(3)

1.2 地表面積計算誤差分析

當DEM格網(wǎng)分辨率越高時，每個格網(wǎng)認為是線性變化，此時DEM曲面常采用雙線性曲面進行表達。李志林采用雙線性模擬DEM表面[1]，給出了地形表面精度估計公式

(4)

(5)

εmax=cdtanβ

(6)

由式(4)—式(6)可知，在用DEM模擬地形時,誤差主要分為兩類:一類是生成DEM時節(jié)點的傳遞誤差；另一類是用線性曲面代表地表時的損失誤差。當格網(wǎng)分辨率越高時，地形模擬誤差越小，地表面積越精確。在計算地表面積時，不同地形的DEM傳遞誤差與地形曲面模擬誤差所占的比例雖然都不一致，但是地形曲面模擬的準確度在一定程度上能夠反映地表面積計算的可靠性。

2 顧及局部坡度因子與極值的地表面積計算

2.1 規(guī)格格網(wǎng)地表面積計算

規(guī)格格網(wǎng)地表面積計算常采用同向?qū)莿澗€或交叉對角劃線將空間四邊形轉(zhuǎn)換為兩空間三角形。該方法假設(shè)條件是局部地形變化在空間上是連續(xù)的、相關(guān)的，地形曲面的極值條件與對角線方向是一致的，對角連線方向貼近地面。對角劃線法在一定范圍內(nèi)雖具有一定的補償性，然而實際地形具有的不規(guī)則性、非線性特點，在地形變化復(fù)雜的山區(qū)尤為突出，該方法也可能與地形變化不一致，造成局部地形逼近失真。

hi(x,y)=a1x3y3+a2x2y3+a3xy3+a4y3+a5x3y2+a6x2y2+

a7xy2+a8y2+a9x3y+a10x2y+a11xy+a12y+

a13x3+a14x2+a15x+a16

(7)

2.2 邊界破碎格網(wǎng)表面積計算

邊界破碎格網(wǎng)表面積計算常采用坡度比例法反推地表面積，坡度計算適宜的窗口選擇、坡度參數(shù)的有效范圍都與地形復(fù)雜度緊密相關(guān)，一般以3×3的局部窗口計算。不規(guī)則三角網(wǎng)(TIN)具有多分辨率、貼近局部地形、精度高的特征，多用于三維地形仿真上[15-16]。建立不規(guī)則三角網(wǎng)的方法有多種，如Green-Sibson、角度判別法、Delaunay法等，其中Delaunay三角劃分的理論更完善。相關(guān)研究表明，Delaunay三角網(wǎng)擬合性能最優(yōu)越，具有從局部到整體最優(yōu)的特點。因此，本文采用Delaunay方法構(gòu)建不規(guī)則三角網(wǎng)近似表達邊界破碎格網(wǎng)地表形態(tài)。

2.3 三角形面積誤差

(8)

(9)

依據(jù)協(xié)方差傳播規(guī)律可求得空間邊長L的誤差為

(10)

假設(shè)空間邊長誤差中，高程誤差起主要作用，忽略x、y誤差，則

(11)

(12)

根據(jù)泰勒級數(shù)與協(xié)方差傳播規(guī)律可推導(dǎo)出空間三角形面積誤差(見式(12)，限于文中篇幅要求，不再詳細推導(dǎo))

(13)

依據(jù)式(4)、式(11)、式(13)可初步得出顧及坡度因子與圖形極值信息的地表面積統(tǒng)計結(jié)果精度與可靠性較高。

3 算例分析

使用我國西部具有典型地貌特征的K縣、S縣的邊界數(shù)據(jù)與10 m分辨率DEM數(shù)據(jù)，通過與其他常規(guī)方法對比，采用4種方案計算兩區(qū)域地表面積。文中分析了顧及坡度因子與極值的地表面積計算方法的可靠性與差異性。其中，K縣地形復(fù)雜，地貌以盆地、山地、平原為主，縣區(qū)內(nèi)水域較多；S縣地形較簡單，以沙漠、平原為主。

方案1：采用顧及坡度因子與極值的地表面積計算法；

方案2：構(gòu)建地表三角網(wǎng)法，規(guī)格格網(wǎng)對角線西北方向劃分，邊界破碎格網(wǎng)采用Delaunay構(gòu)TIN；

方案3：構(gòu)建地表三角網(wǎng)法，規(guī)格格網(wǎng)對角線東北方向劃分，邊界破碎格網(wǎng)采用Delaunay構(gòu)TIN；

方案4：地表三角網(wǎng)與坡度法組合方法，規(guī)格格網(wǎng)依次交叉對角劃分，邊界破碎格網(wǎng)采用坡度比例法計算。

表1 4種方案表面積差異

表1給出了4種方案計算的兩縣地表面積差異。從統(tǒng)計結(jié)果可以看出：4種方案計算的結(jié)果在地形復(fù)雜區(qū)域K方案1與方案4差異較小、符合性好，方案2、方案3與方案1差異較大。在地形相對平緩的區(qū)域S，4種方案計算結(jié)果差異不大。從地表面積對比結(jié)果可得出：規(guī)格格網(wǎng)的表面積計算方法的差異占主要因素，破碎格網(wǎng)表面積方法差異影響較小。

本文提出的顧及坡度因子與圖形極值信息的地表面積計算法圖形結(jié)構(gòu)上與交叉對角劃線法相比，宏觀上二者具有一定的相似度，存在尺度上細小的差異；微觀上文中提出的方法在地形變化為非線性，考慮局部地形極值出現(xiàn)的區(qū)間，對局部地形逼近具有一定的改進，可削弱同向?qū)莿澗€構(gòu)建的圖形二異性與不合理性。

4 結(jié)束語

地表起伏的不確定性與復(fù)雜性，影響地表面積統(tǒng)計結(jié)果的可靠性。本文采用實際算例進行比對試驗，試驗結(jié)果證明筆者提出的顧及坡度因子與極值的地表面積計算方法可以獲取較可靠的地表面積統(tǒng)計結(jié)果。另外，文中推導(dǎo)的三角網(wǎng)地表面積的傳遞誤差，理論上也初步得出顧及坡度因子與局部圖形極值信息的地表面積計算法對地形非線性變化復(fù)雜的區(qū)域具有一定的改善作用。

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AMethodofTerrainAreaCalculationinConsideringofSlopeFactorsandExtremeValue

CHENG Chuanlu,JIANG Guangwei,TIAN Xiaojing,MA Xinying,WANG Wenli

(Geodetic Data Processing Center, National Administration of Surveying,Mapping and Geoinformation, Xi’an 710054, China)

In connection with the effection of the local terrain slope factors and extreme value to terrain area calculation, a new method that considering of slope factors and extreme value is proposed. The surface area theory and errors are analyzed. Finally the typical two region’s data of west China are used experiment analysis. The results indicate that the algorithm enhance the terrain fitting, on the macro, the graphic property is similar with the regular grid of cross-diagonal method. The deduce area errors formula indicated that the terrain surface area calculation is more reliable in considering the slope factors and extremevalue.

slope; terrain area calculation; triangulation network; DEM; patch

P208

A

0494-0911(2017)01-0126-04

程傳錄,蔣光偉,田曉靜,等.一種顧及坡度因子與極值的地表面積計算法[J].測繪通報，2017(1)：126-129.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0028.

2016-02-18

2015年測繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(201512004)；國家測繪地理信息局基礎(chǔ)測繪科技項目；現(xiàn)代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室開放課題(TJES1504)

程傳錄(1965—),男,高級工程師,主要從事大地測量數(shù)據(jù)處理研究。E-mail: xianccl@163.com