利用Mathematica實(shí)現(xiàn)共線條件方程自動(dòng)線性化的教學(xué)實(shí)踐

賁 進(jìn)，楊春宇

(1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001; 2. 北京市地質(zhì)工程設(shè)計(jì)研究院，北京 101500)

利用Mathematica實(shí)現(xiàn)共線條件方程自動(dòng)線性化的教學(xué)實(shí)踐

賁 進(jìn)1，楊春宇2

(1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001; 2. 北京市地質(zhì)工程設(shè)計(jì)研究院，北京 101500)

中心投影構(gòu)像方程通常稱為共線條件方程，它是攝影測(cè)量學(xué)的理論基石。共線條件方程線性化是建立攝影測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型的前提，對(duì)初學(xué)者掌握解析空中三角測(cè)量的基本原理具有重要意義。針對(duì)專業(yè)課教學(xué)中人工線性化工作量大、容易出錯(cuò)、枯燥乏味等不足，本文采用Mathematica科學(xué)計(jì)算軟件設(shè)計(jì)了計(jì)算機(jī)自動(dòng)線性化方案。實(shí)踐表明，該方案具有簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確、靈活等特點(diǎn)，能幫助初學(xué)者迅速掌握線性化技巧，教學(xué)效果良好。提出的思路和方法為提升專業(yè)課教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)教學(xué)改革探索了有效途徑。

Mathematica；共線條件方程；線性化；自動(dòng)；教學(xué)實(shí)踐

畫幅式中心投影相機(jī)構(gòu)像模型，即“共線條件方程”，是攝影測(cè)量學(xué)中最經(jīng)典、最基礎(chǔ)的構(gòu)像模型。對(duì)共線條件方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的透徹講解，一直是“攝影測(cè)量與遙感”專業(yè)課教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在若干知識(shí)點(diǎn)中，共線條件方程線性化是建立攝影測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型的前提，對(duì)學(xué)生掌握解析空中三角測(cè)量基本原理具有重要意義。如何讓學(xué)生理解這一過(guò)程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握其中的技巧，并舉一反三、靈活應(yīng)用是教學(xué)改革值得研究的問(wèn)題。長(zhǎng)期以來(lái)，該知識(shí)點(diǎn)的講授大多以手工推導(dǎo)公式為主，不僅工作量大、容易出錯(cuò)，而且枯燥乏味，不易吸引學(xué)生參與其中。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者嘗試在教學(xué)中引入Mathematica軟件，將學(xué)生的注意力從繁瑣的公式推導(dǎo)中解放出來(lái)，使其更加關(guān)注解決問(wèn)題的思路和技巧而不僅僅局限于過(guò)程，從而提高其對(duì)專業(yè)知識(shí)的領(lǐng)悟能力。

本文將簡(jiǎn)述采用Mathematica軟件實(shí)現(xiàn)共線條件方程自動(dòng)線性化的基本思路及其應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐的效果，借此展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)工具在專業(yè)課教學(xué)中發(fā)揮的巨大威力，為提升教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)教學(xué)改革探索可行途徑。

1 Mathematica在測(cè)繪領(lǐng)域應(yīng)用現(xiàn)狀

Mathematica是Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的一款科學(xué)計(jì)算軟件，具有強(qiáng)大的符號(hào)與數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)操作與分析、數(shù)據(jù)可視化、程序設(shè)計(jì)等功能，已成為世界上首屈一指的通用計(jì)算系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)。

在測(cè)繪領(lǐng)域，Mathematica的應(yīng)用目前主要集中在測(cè)量數(shù)據(jù)平差[1-2]、大地測(cè)量公式推導(dǎo)[3-4]和地圖投影解算[5-6]三方面，尚未見(jiàn)攝影測(cè)量與遙感相關(guān)應(yīng)用的報(bào)道。而這些文獻(xiàn)絕大部分又是以科研或工程為應(yīng)用背景，與教學(xué)相關(guān)的極少。筆者認(rèn)為，學(xué)生是測(cè)繪科學(xué)技術(shù)發(fā)展的人才儲(chǔ)備，相較于經(jīng)驗(yàn)豐富的科研人員使用Mathematica解決學(xué)術(shù)前沿的難題，在專業(yè)課教學(xué)中引入Mathematica幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、夯實(shí)專業(yè)基礎(chǔ)同等重要。只有學(xué)生洞悉了專業(yè)知識(shí)背后隱藏的數(shù)學(xué)原理，才有可能做到理論聯(lián)系實(shí)際，增強(qiáng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的邏輯性和靈活性，提高原始創(chuàng)新能力。

2 自動(dòng)線性化實(shí)現(xiàn)思路

經(jīng)典畫幅式中心投影相機(jī)的成像原理如圖1所示，地面點(diǎn)P、像點(diǎn)p和投影中心S在成像瞬間處于同一條直線上，成像幾何關(guān)系可用“共線條件方程”，即公式(1)描述[7]

(1)

式中，(x0,y0,f)為相機(jī)的內(nèi)方位元素；(XS,YS,ZS)為S在地輔坐標(biāo)系O-XYZ下的坐標(biāo)；(X,Y,Z)為P在O-XYZ下的坐標(biāo);(xp,yp)為p在像平面坐標(biāo)系o-xy下的坐標(biāo)；a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3為O-XYZ旋轉(zhuǎn)到像空間坐標(biāo)系S-xyz所需旋轉(zhuǎn)矩陣R中的元素，與攝影機(jī)的姿態(tài)角(φ,ω,κ)相關(guān)。

若采用φ—ω—κ的軸序?qū)-xyz旋轉(zhuǎn)至與O-XYZ平行的像空間輔助坐標(biāo)系S-uvw中，旋轉(zhuǎn)矩陣R為[7]

圖1 畫幅式中心投影相機(jī)成像原理

在現(xiàn)有專業(yè)教材[7-8]中，對(duì)式(1)的線性化通?；\統(tǒng)論述為“按泰勒公式展開(kāi)”，并未明確給出原函數(shù)的具體形式，初值的計(jì)算、誤差項(xiàng)的解釋也不夠清晰明了，給學(xué)生理解造成了較大困擾。而在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，盡管花費(fèi)了較多課時(shí)講解具體過(guò)程并親自示范，但由于公式推導(dǎo)比較枯燥，課下動(dòng)筆實(shí)踐的學(xué)生寥寥無(wú)幾，對(duì)其思路的理解及技巧的掌握不盡如人意。為了便于學(xué)生理解并實(shí)現(xiàn)自動(dòng)線性化，筆者嘗試采用Mathematica展開(kāi)原函數(shù)的求解思路。

將式(1)改寫為

(2)

式中，rx為余項(xiàng)。

令n=1，將F(P0+Δ)展開(kāi)代入式(2)右邊，并用(x+vx,y+vy)替代左邊可得

(3)

Mathematica具有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能，可以直接求解Fx、Fy的偏導(dǎo)數(shù)。但由于Fx、Fy是帶有三角函數(shù)的復(fù)雜分式，直接求解的結(jié)果可讀性較差，且與教材上的表示形式相差較大，不利于教學(xué)。針對(duì)這一問(wèn)題，引入如下中間變量

(4)

(5)

圖2 自動(dòng)線性化的原理及步驟

3 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

自2013年，筆者嘗試在“攝影測(cè)量學(xué)”“高分辨率遙感衛(wèi)星應(yīng)用”“遙感動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)”等專業(yè)課教學(xué)中采用本文論述新方案講解共線條件方程線性化的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以驗(yàn)證其效果。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，過(guò)去學(xué)生動(dòng)筆完成線性化公式推導(dǎo)者極少，而現(xiàn)在幾乎每個(gè)學(xué)生都能根據(jù)圖2的思路獨(dú)立寫出Mathematica腳本，并運(yùn)行得到正確結(jié)果，學(xué)習(xí)積極性和參與熱情明顯提高。根據(jù)學(xué)生的反饋，新方案具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 簡(jiǎn)便：繁瑣的公式推導(dǎo)不再是阻礙實(shí)踐的瓶頸，只要理解線性化的思路，全部結(jié)果“一鍵即得”。

(2) 準(zhǔn)確：Mathematica的符號(hào)運(yùn)算絕對(duì)正確，計(jì)算結(jié)果可用來(lái)檢核教材上的任何錯(cuò)誤，避免在編寫相關(guān)算法時(shí)因公式錯(cuò)誤浪費(fèi)時(shí)間。

(3) 靈活：任意變換軸序、轉(zhuǎn)角方向、轉(zhuǎn)角系統(tǒng)等，只要修改旋轉(zhuǎn)矩陣即可，其他步驟無(wú)需變動(dòng)。

在教學(xué)過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生通過(guò)幾次實(shí)踐，便很快領(lǐng)悟到新方案的核心是式(4)、式(5)的等效替換，其本質(zhì)與教材中采用的方法完全一致，這也是線性化的核心技巧所在。由此可見(jiàn)，新方案更有利于學(xué)生掌握解決問(wèn)題的思路，而不僅是具體過(guò)程。在后續(xù)教學(xué)中，只要碰到復(fù)雜公式的推導(dǎo)，學(xué)生們自然而然地使用Mathematica求解，初步培養(yǎng)了良好的科研習(xí)慣。在新方案的基礎(chǔ)上，部分學(xué)有余力的學(xué)生還舉一反三實(shí)現(xiàn)了單位四元數(shù)描述的共線條件方程[10]自動(dòng)線性化，原理及步驟如圖3所示，為后續(xù)學(xué)習(xí)線陣推掃式影像的平差計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

圖3 單位四元數(shù)描述的共線條件方程自動(dòng)線性化原理及步驟

4 總結(jié)與展望

測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)的學(xué)科特點(diǎn)決定了多數(shù)專業(yè)課與數(shù)學(xué)的聯(lián)系密不可分，這在客觀上增加了專業(yè)課教學(xué)的難度。在專業(yè)應(yīng)用背景下，將看上去枯燥乏味的數(shù)學(xué)原理，以學(xué)生容易接受的方式呈現(xiàn)是提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。筆者在該方面作了一些嘗試，取得了較理想的效果。盡管本文以共線條件方程自動(dòng)線性化這一具體問(wèn)題為切入點(diǎn)進(jìn)行討論，但是其中的思路和方法具有普適性，可供其他專業(yè)課程借鑒。

[1] 覃輝．?dāng)?shù)學(xué)工具軟件對(duì)測(cè)量平差教學(xué)改革的啟示[J]．測(cè)繪工程，2002，11(3)：57-61．

[2] 張恒僖，鄒亞未，堯燕．GPS高程擬合的Mathematica實(shí)現(xiàn)[J]．江西測(cè)繪，2016(1)：13-14．

[3] 邊少鋒，許江寧．計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與大地測(cè)量數(shù)學(xué)分析[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004．

[4] 常國(guó)賓，歐陽(yáng)永忠，李勝全，等．用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解等量緯度反解問(wèn)題的新方法[J]．測(cè)繪通報(bào)，2012(S1)：104-106．

[5] 金立新，付宏平．法截面子午線橢球高斯投影理論[M]．西安：西安地圖出版社，2012．

[6] 李厚樸，邊少鋒，鐘斌．地理坐標(biāo)系計(jì)算機(jī)代數(shù)精密分析理論[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2015．

[7] 王之卓．?dāng)z影測(cè)量原理[M]．北京：測(cè)繪出版社，1979．

[8] 錢曾波．解析空中三角測(cè)量基礎(chǔ)[M]．北京：測(cè)繪出版社，1980．

[9] 葉其孝，沈永歡．實(shí)用數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]．2版.北京：科學(xué)出版社，2010．

[10] 曾卓喬.一種不測(cè)定初始值的近景攝影測(cè)量微機(jī)程序[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào)，1990，19(4)：298-306．

TeachingPracticeofAutomaticCollinearEquationLinearizationUsingMathematica

BEN Jin1,YANG Chunyu2

(1.Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China; 2. Beijing Institute of Geological Engineering, Beijing 101500, China)

Imaging equation of central projection, which is usually called collinear equation, is the theoretical basis of photogrammetry. Collinear equation linearization is the premise to build the mathematic models of photogrammetry adjustment, so it is of great importance for beginners to grasp the fundamentals of analytical aerial triangulation. Artificial linearization is of heavy workload, easy to get wrong and boring. In view of this, automatic linearization scheme using Mathematica is designed. Practice shows that this scheme is easy, correct and flexible and it can help beginners master the skills of linearization quickly with great teaching efficiency. Ideas and methods mentioned in this paper also explore an effective way for promoting teaching quality of specialized courses and facilitating educational reform.

Mathematica; collinear equation; linearization; automation; teaching practice

G64

A

0494-0911(2017)01-0157-04

賁進(jìn)，楊春宇.利用Mathematica實(shí)現(xiàn)共線條件方程自動(dòng)線性化的教學(xué)實(shí)踐[J].測(cè)繪通報(bào)，2017(1)：157-160.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0036.

2016-09-27

信息工程大學(xué)教育教學(xué)研究課題(XD2014306A)

賁 進(jìn)(1977—)，男，副教授，主要從事攝影測(cè)量與遙感、全球離散格網(wǎng)方面的教學(xué)和科研工作。E-mail: benj@lreis.ac.cn