魏忠斌，趙 松

（西京學(xué)院，陜西 西安 710123）

淺談小波有限元法的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)＊

魏忠斌，趙 松

（西京學(xué)院，陜西 西安 710123）

有限元已成為在數(shù)值建模與求解等工程應(yīng)用中有效的手段之一，現(xiàn)廣泛地被機(jī)械工程等學(xué)科的各個(gè)分支用于工程數(shù)值計(jì)算，獲得了滿(mǎn)意的求解精度。然而，對(duì)于工程實(shí)際中的奇異性問(wèn)題而言，比如典型的裂紋問(wèn)題，傳統(tǒng)的有限元法就無(wú)法得到最優(yōu)解。通過(guò)對(duì)小波有限元在國(guó)內(nèi)外的研究分析證明，小波有限元有著很大的應(yīng)用領(lǐng)域，并在求解工程的奇異性問(wèn)題中，有著無(wú)限的發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用價(jià)值。

小波有限元；小波函數(shù)；尺度函數(shù)；邊界條件

如何彌補(bǔ)或完善傳統(tǒng)有限元在解決奇異性問(wèn)題中的不足之處，國(guó)內(nèi)外科研工作者、學(xué)者不斷地嘗試如何有效地將小波理論引入到有限元模型中，基于小波分析理論構(gòu)造不同的小波函數(shù)及尺度函數(shù)，以有效解決上述結(jié)構(gòu)工程中的奇異性問(wèn)題。因此，小波有限元法繼承了傳統(tǒng)有限元法離散逼近的優(yōu)點(diǎn)，使其可以快速、方便地處理復(fù)雜的邊界條件；可借助小波函數(shù)特有的多分辨分析特性，構(gòu)造一種自適應(yīng)算法，即多分辨的有限元逼近空間，以提高求解速度及精度，在不改變尺度空間下提高其分辨率，使其在低空間得到逼近解；在處理奇異性問(wèn)題時(shí)，可采用較大的細(xì)節(jié)空間得到最優(yōu)解，從而達(dá)到所需的分析精度。

1 小波有限元法的研究現(xiàn)狀

1.1 國(guó)外研究現(xiàn)狀

1994年，Ko等提出了小波有限元（waveletfiniteelement method）的構(gòu)造理念；V.STRELA和G.STRANG在Hermite有限元的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了具有2n階消失矩、對(duì)稱(chēng)性、緊支撐性的多尺度小波有限元；MAChriston和DWRoach經(jīng)多年努力研究了用小波基求解偏微分方程的可行性，終于在1999年提出了一種基于可變分層基多尺度線(xiàn)性有限元，該方法類(lèi)似于伽遼金方法的數(shù)值和計(jì)算性能及肖德不動(dòng)點(diǎn)原理，最后得到了一維和二維橢圓型偏微分方程的多尺度求解方法；2003年，RaghunathanSudarshan等建立了基于Hermite的第二代有限元多小波，并使用這些多分辨率函數(shù)基研究了歐拉梁靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)；2006年，RICHARD等由傳統(tǒng)有限元基函數(shù)使用交錯(cuò)法得到多小波。構(gòu)造該多小波的基函數(shù)是分段多項(xiàng)式，具有正交性、緊支撐性，并且可以采用任意近似值構(gòu)造。2010年DeepuS.Joseph等為晶體塑性有限元模擬提出了一種新的基于小波變換的多時(shí)間尺度算法。

1.2 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

2000年以前，國(guó)內(nèi)科研工作者、學(xué)者在小波有限元法方面的研究較少。1996年，華中科技大學(xué)的徐長(zhǎng)發(fā)基于B樣條小波有限元，研究了構(gòu)造樣條小波的理論基礎(chǔ)，并應(yīng)用到了穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算中；西安交通大學(xué)何正嘉教授等從1998年起，針對(duì)小波有限元法進(jìn)行了大量的研究并構(gòu)造許多新型的小波有限單元，有效解決了一些工程問(wèn)題，研究成果豐碩；韓建剛、黃義由小波函數(shù)尺度函數(shù)給出了尺度函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)求解方法，利用尺度函數(shù)作為基函數(shù)得到了小波伽遼金有限元法，并用此方法求解彈性地基上的有限長(zhǎng)梁，從結(jié)果對(duì)比可以看出，其解具有良好的精確性和收斂性，此求解步驟可以應(yīng)用到通常的微分方程求解中；彭惠芬等利用小波尺度函數(shù)多分辨率和逼近精度高的特點(diǎn)，將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值分析中，建立了復(fù)合材料抽油桿小波有限元模型，推導(dǎo)了復(fù)合材料抽油桿小波單元?jiǎng)偠确匠?；馮德山等基于可分離小波理論，由一維區(qū)間B樣條小波尺度函數(shù)的張量積構(gòu)造二維B樣條小波基，并將它作為GPR波動(dòng)方程求解的插值函數(shù)，通過(guò)引入轉(zhuǎn)換矩陣，實(shí)現(xiàn)小波系數(shù)空間與雷達(dá)電磁場(chǎng)之間的轉(zhuǎn)換。

2 發(fā)展趨勢(shì)

從上述研究現(xiàn)狀及取得的成果可以得到，小波有限元理論最先只是被研究者們用于求解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)物理方程。而隨著研究的深入，相當(dāng)部分的學(xué)者開(kāi)始熱衷于將小波有限元法用于解決工程結(jié)構(gòu)中的一些實(shí)際問(wèn)題，比如靜力學(xué)分析、裂紋的故障診斷等方面。然而，小波有限元法如何在工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方面的研究并沒(méi)有引起科研工作者們的關(guān)注。目前，對(duì)工程結(jié)構(gòu)中最基本的梁、板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)，如何做到兼顧計(jì)算效率與計(jì)算精度，對(duì)以后求解復(fù)更為復(fù)雜工程問(wèn)題時(shí)意義重大。因此，關(guān)于如何有效解決工程實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)研究必將成為熱點(diǎn)。

3 結(jié)束語(yǔ)

小波有限元法作為新起的有限元逼近算法，借助小波的多分辨特性，其數(shù)值穩(wěn)定性好，適宜求解奇異性問(wèn)題，必將擁有無(wú)限的發(fā)展?jié)摿肮こ虒?shí)際應(yīng)用價(jià)值。

［1］KoJ，KurdilaAJ，PilantMS.Aclassoffiniteelement methodsbasedonorthonormal，compactlysupported wavelets.ComputationalMechanics.1995，16（04）.

［2］彭惠芬，王鵬，王程.復(fù)合材料抽油桿動(dòng)力學(xué)分析的小波有限元法［J］.承德石油高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2014，16（04）.

［3］馮德山，王珣.區(qū)間B樣條小波有限元GPR模擬雙相隨機(jī)混凝土介質(zhì)［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2016，59（08）.

TV698.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2017.17.128

2095－6835（2017）17－0128－02

魏忠斌（1986—），男，碩士，助教。

〔編輯：張思楠〕

西京學(xué)院院科研基金項(xiàng)目（編號(hào)：XJ160117）