■甘肅省隴南市禮縣第四中學(xué) 裴雪蓮

賞析與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題

■甘肅省隴南市禮縣第四中學(xué) 裴雪蓮

2017年普通高中數(shù)學(xué)《考試大綱》修訂內(nèi)容中增加了對數(shù)學(xué)文化的要求,注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展,從而實(shí)現(xiàn)考試的社會意義和現(xiàn)實(shí)目的。隨著這一修訂的實(shí)施,2017年各省市的高考數(shù)學(xué)模擬試題明顯加大了對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化內(nèi)容的考核,其中數(shù)列這一章就不乏一些對數(shù)學(xué)文化的滲透和考查的試題,下面精選一些試題與同學(xué)們一起思考、賞析,感受數(shù)學(xué)文化的魅力!

一、求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

(2017年成都外國語學(xué)校高三理科模擬試題)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金杖,長五尺,斬本一尺,重四斤。斬末一尺,重二斤。問次一尺各重幾何。”其大意是:“現(xiàn)有一根長五尺的金杖,一頭粗,一頭細(xì)。在粗的一端截下1尺重4斤。在細(xì)的一端截下1尺,重2斤。問依次每尺各重多少斤?！备鶕?jù)上面的已知條件,若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,則金杖的重量為( )。

A.12斤 B.15斤 C.15.5斤 D.18斤

解析:由題意可知等差數(shù)列中a1=4,a5=2,則所以a2=3.5,a3=3,a4=2.5。于是每一尺依次重4斤,3.5斤,3斤,2.5斤,2斤,S515,所以金杖重15斤。故選B。

點(diǎn)評:由題意可知等差數(shù)列的首項(xiàng)和第5項(xiàng),再由通項(xiàng)公式求得公差,依次可得每尺的重量,相加可得金杖的質(zhì)量;也可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求得金杖的重量。

二、求等差數(shù)列部分項(xiàng)之和

(2017年長沙市高三二模試題)《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著,全書收集了246個問題及解法,其中一個問題為:“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的容積之和為4升,中間兩節(jié)的容積各為多少?”則該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為( )。

解析:設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1,依題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,解得a2+a3=

同理,a7+a8+a9=3a8=4,解得a8=所以(升),故選A。

點(diǎn)評:本題是求等差數(shù)列第2項(xiàng)、第3項(xiàng)及第8項(xiàng)的和,它不同于計算前n項(xiàng)和,要利用等差數(shù)列的性質(zhì)巧妙求解。

三、求等差數(shù)列的項(xiàng)

(2017年臨汾市高三二模試題)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有稟粟,大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,一十五斗,今有大夫一人后來,亦當(dāng)稟五斗,倉無粟,欲以衰出之,問各幾何。”

現(xiàn)解決如下問題:原有大夫、不更、簪裊、上造、公士5種爵位各1人,現(xiàn)增加一名大夫,共計6人,按照爵位共獻(xiàn)出5斗粟,其中5種爵位的人所獻(xiàn)“粟”成等差數(shù)列{an},其公差d滿足d=-a5,請問6人中爵位為“簪裊”的人需獻(xiàn)出粟的數(shù)量是( )。

解析:由題意得:解得所以6人中爵位為“簪裊”的人需獻(xiàn)出粟的數(shù)量是a3=a1+2d=(斗),故選A。

點(diǎn)評:本題考查了利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和來求數(shù)列的第3項(xiàng),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,便可求得爵位為“簪裊”的人需獻(xiàn)出粟的數(shù)量。

四、求等差數(shù)列的首項(xiàng)

(2017年咸陽市高三二模試題)《張丘建算經(jīng)》卷上一題為“今有女善織,日益功疾,且從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,現(xiàn)在一月(按30天計)共織布390尺,最后一天織布21尺”,則該女第一天共織( )尺布。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由題意可設(shè)第n天織布為an,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,則:

所以第一天織布為5尺,選C。

點(diǎn)評:本題是一個等差數(shù)列問題,而首項(xiàng)的計算需依據(jù)題意建立方程組后求解。

五、求等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

(2017年黃岡市高三二模理科試題)我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》有“分錢問題”如下:“今有人與錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉(zhuǎn)多一錢,與訖,還數(shù)聚與均分之,人得一百錢,問人幾何?！眲t分錢問題中的人數(shù)為

解析:設(shè)人數(shù)為n,公差為1,首項(xiàng)為3,則前n項(xiàng)和

由題意知Sn=100n,即100n,解得,n=195。故應(yīng)填195。

點(diǎn)評:由題意,將錢分給若干人,第一人給3錢,第二人給4錢,第三人給5錢,以此類推,每人比前一人多給1錢,分完后,再把錢收回平均分給各人,結(jié)果每人分得100錢,問有多少人。即求一個等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問題,著重考查同學(xué)們對題中文字意思的理解和關(guān)系式的建立。

六、求等差數(shù)列的公差

《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有女子善織,日益功疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈(1匹=40尺,1丈=10尺),問日益幾何?！逼湟馑紴?“有一女子擅長織布,每天比前一天更加用功,織布的速度也越來越快,從第二天起每天比前一天多織相同量的布,第一天織5尺,一月織了九匹三丈,問每天增加多少尺布?！比粢粋€月按30天算,則每天增加量為( )。

解析:由題意可得每天織布的量組成了等差數(shù)列{an},a1=5,S30=9×40+30=390。設(shè)公差為d,則30×5+390,解得故選C。

點(diǎn)評:根據(jù)題意不難得到每天的增加量就是等差數(shù)列的公差。根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可順利求解,但要注意單位之間的換算關(guān)系(1匹=40尺,1丈=10尺)。

七、求等比數(shù)列的公比

(2017年湘潭市高三二模理科試題)《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(即百分比)為“衰分比”。今共有糧38石,按甲、乙、丙的順序進(jìn)行“衰分”,已知甲分得18石,則“衰分比”為( )。

解析:設(shè)“衰分比”為q,則18+18q+18q2=38,解得或(舍去),故選A。

點(diǎn)評:本題考查“衰分比”的求法,依題意知“衰分比”即為等比數(shù)列的公比,解題時要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用。

八、求等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

(2017年贛中南五校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺,莞生一日,長一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。問幾何日而長等?！币馑际?“今有蒲草第一天長高3尺,莞草第一天長高1尺。以后蒲草每天長高前一天的一半,而莞草每天長高前一天的2倍,問多少天蒲草和莞草高度相同?！备鶕?jù)上述已知條件,可求得第天蒲草和莞草高度相同。(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,結(jié)果精確到0.1)

解析:由題意可得化為解得2n=6或2n=1(舍去)。所以于是估計2.6日蒲草與莞草長度相等,故應(yīng)填2.6。

點(diǎn)評:本題考查了利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式計算數(shù)列的項(xiàng)數(shù),考查了同學(xué)們的推理能力與計算能力。

九、求等比數(shù)列的首項(xiàng)

(2017年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)試題)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈。”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )。

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

解析:設(shè)塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由解得x=3,故選B。

點(diǎn)評:“燈塔問題”也是《算法統(tǒng)宗》中比較著名的問題,題目以古詩的形式來描述,別具風(fēng)格,依“紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增”便知這是一個等比數(shù)列問題。

十、求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?！鳖}意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半。”如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則Sn=____尺。

解析:由題意可知,大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,前n天打洞之和為同理,小老鼠前n天打洞之和為

點(diǎn)評:根據(jù)題意可知,大老鼠和小老鼠每天打洞的距離均為等比數(shù)列,所以本題旨在考查求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,認(rèn)真審題便可求解。

十一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式

(2017年河南省新鄉(xiāng)市二模)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤,問本持金幾何?！逼湟馑紴椤敖裼腥顺纸鸪鑫尻P(guān),第一關(guān)收稅金第二關(guān)收稅金為剩余金的第三關(guān)收稅金為剩余金的,第四關(guān)收稅金為剩余金的,第五關(guān)收稅金為剩余金的,五關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?！比魧㈩}中“五關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?！备某伞凹僭O(shè)這個人原來持金為x,按此規(guī)律通過第8關(guān),則第8關(guān)需收稅金為多少”,該怎么解決呢?

解析:第一關(guān)收稅金為第二關(guān)收稅金為第三關(guān)收稅金為可得第8關(guān)收稅金為即

點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用,同學(xué)們在閱讀理解文字含義的基礎(chǔ)上需要具有一定的推理能力與計算能力,如何讓項(xiàng)數(shù)與每關(guān)的稅金建立關(guān)系是推得通項(xiàng)公式的關(guān)鍵。

十二、數(shù)列的綜合問題

以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”。

該表由若干數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為( )

A.2017×22015B.2017×22014

C.2016×22015D.2016×22014

解析:由題意知,表中的每一行都是等差數(shù)列,且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為22014,故第一行的第一個數(shù)為2×2-1,第二行的第一個數(shù)為3×20,第三行的第一個數(shù)為4×21,…,第n行的第一個數(shù)為(n+1)×2n-2,第2016行只有M,則M=(1+2016)·22014=2017×22014,故選B。

點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì),對題目提供的“表”要細(xì)致觀察,認(rèn)真分析,提煉其中包含的信息,從而合理利用數(shù)列知識進(jìn)行解決。

通過以上數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化試題的分析、思考與解答,我們可以感受到數(shù)列中包含了豐富的數(shù)學(xué)文化知識,而利用數(shù)列知識解決與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的實(shí)際問題,關(guān)鍵是列出相關(guān)信息,合理建立數(shù)學(xué)模型——等差數(shù)列或等比數(shù)列模型;求解時要明確目標(biāo),搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題,再根據(jù)數(shù)學(xué)推理與計算得到結(jié)果。本文主要以數(shù)列為載體講述了數(shù)學(xué)文化的考查方向,當(dāng)然還有以其他高中知識為載體的數(shù)學(xué)文化的考查,希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)中善于歸納、整理與總結(jié),更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化!

(責(zé)任編輯 徐利杰)