張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

巧解多元函數(shù)的最值

張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

多元函數(shù)的最值問題，由于技巧性較強(qiáng)又靈活多變，掌握起來有一定的難度，對這類問題采取靈活的算法，避免了繁瑣的計算，為多元函數(shù)最值的學(xué)習(xí)提供一個參考。

多元函數(shù);極值；最值；條件極值

最值問題一直是各階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而多元函數(shù)的極值又因為其技巧性強(qiáng)又靈活多變，是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)知識。文獻(xiàn)[1-3]中給出的方法對于某些函數(shù)計算量又頗大，本文對此類問題給出了靈活的方法，避免了繁瑣的計算，對多元函數(shù)最值的學(xué)習(xí)提供一個參考。

1 多元函數(shù)極值的定義及最值的常規(guī)解法

極值定義:如果二元函數(shù)z=f(x,y),對于點(diǎn)(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)的所有的點(diǎn)，總有：

f(x,y)＜f(x0,y0),(x,y)≠(x0,y0)，則稱f(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的極大值；如果有：

f(x,y)＞f(x0,y0),(x,y)≠(x0,y0)，則稱f(x0,y0)是函數(shù)f(x.y)的極小值。

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

如果f(x,y)在(x0,y0)的某個領(lǐng)域內(nèi)有且僅有一個極大值而無極小值，則此極大值就是最大值。如果有且僅有一個極小值而無極大值，則此極小值就是最小值。本文討論的最值即是此種類型。因此文中的多元函數(shù)的最值問題就轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題。

定理1（極值存在的充分條件）如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)是它的駐點(diǎn)，設(shè)

記：A=p(x0,y0),B=f″xx(x0,y0),

（1）如果A＜0,B＜0,則f(x0,y0)是極大值；

（2）如果A＜0,B＞0,則f(x0,y0)是極小值；

（3）如果A＞0,則f(x0,y0)不是極值；

（4）如果A=0,則f(x0,y0)是否為極值需另法判斷。

2 巧解多元函數(shù)的最值

2.1 利用隱函數(shù)的偏導(dǎo)

問題1設(shè)x是s和t的二元函數(shù)，且2s2+2t2+x2+st+sx+tx=4，求x的最大值。

分析：如果把x解出來再去求極值，計算量大，過程復(fù)雜,因此，可以采用求隱函數(shù)的方法，這就避免了求根式函數(shù)的極限。

解：方程兩邊分別對s和t求偏導(dǎo)得：

這個題還可以用初等解法:把方程看作是s的方程，顯然有解，由此得判別式Δ=(t+x)2-4×2×(2t2+x2+tx-4)≥0，解得 7x2+6tx+15t2-32≤0，同理，把方程看作是t的方程得Δ=36x2-60(72x2-32)≥0，解得x2≤5，從而x的最大值為且這個最值是能夠達(dá)到的。

2.2 轉(zhuǎn)化為條件極值求最值

分析：這個題當(dāng)然可以直接求導(dǎo)，但是因為是分式函數(shù)，形式比較復(fù)雜，為了簡化運(yùn)算，不妨把它轉(zhuǎn)化成條件極值。

解：把問題轉(zhuǎn)化為下面的形式

其中a是大于0的常數(shù)。

對各變量分別求偏導(dǎo)得：

2.3 利用幾何意義求最值

問題3求函數(shù)

x=的最小值。

解：函數(shù)分別對s和t求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)為0可得:

(4)(5)兩式相除可得s-t-1=2s-3t+6,(4)(5)兩式平方相加得到

4[(s-3)2+(t+1)2+1]=(s-1)2+(t-2)2+4,由此可知：

s=t=0,代入函數(shù)得即為所求的最小值。上面是一個常規(guī)的解法，計算量較大，下面給出一個幾何解法。

其幾何意義是：點(diǎn)A(s,t,0)到P1(1,2,2)，P2(3,-1,-1)距離之和的最小值，易知，當(dāng)P1AP2在一條直線上時x最小，故可取A在P1P2上，因此x的最小值就是P1P2的長度，所以x的最小值為：

顯然，這個解法要比標(biāo)準(zhǔn)解法簡單易算。

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社,1999.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社,2003.

[3]高志強(qiáng),龐彥軍.線性代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2016.

〔責(zé)任編輯 高海〕

The Maximum Value of Multivariate Function Solution

ZHANG Hai-tao
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

As to the maximum value problem of multivariate function,because the skills are a strong and flexible,to master them are difficult,this paper adopts a flexible algorithm for this kind of problem,avoiding the tedious computation,which provides a refer?ence for the value of multivariate function learning.

multivariate function;extreme value;maximum value;conditional extremum

O013

A

1674-0874(2017)05-0001-02

2017-03-16

張海濤（1974-），女，山西陽高人，碩士，副教授，研究方向:高等數(shù)學(xué)教學(xué)。