歸納三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式中創(chuàng)新題的解法

■山東省肥城市泰西中學(xué) 梁乾旭

編者的話:“創(chuàng)新題追根溯源”欄目里的例、習(xí)題都非常新穎,有的是原創(chuàng)題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當然,在注重數(shù)學(xué)閱讀的高考大背景下,同學(xué)們還要把握核心考點,擴大知識視野,用扎實的基本功應(yīng)對數(shù)學(xué)試題的萬千變化。

數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求同學(xué)們在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的。

一個函數(shù)f(x),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a、b、c都在f(x)的定義域內(nèi),就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“三角保型函數(shù)”,給出下列函數(shù):①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=2x;④f(x)=lgx。其中是“三角保型函數(shù)”的是( )。

A.①② B.①③

C.②③④ D.③④

解析:任給三角形,設(shè)它的三邊長分別為a、b、c,則a+b＞c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,對于①,f(x)=x,由于 a+b＞ a+b＞c＞0,因此函數(shù)f(x)=x是“三角保型函數(shù)”。

對于②,f(x)=x2,3,3,5可以作為一個三角形的三邊長,但32+32＜52,不存在三角形以32,32,52為三邊長,故f(x)=x2不是“三角保型函數(shù)”。

對于③,f(x)=2x,由于f(a)+f(b)=2(a+b)＞2c=f(c),所以f(x)=2x是“三角保型函數(shù)”。

對于④,f(x)=lgx,1,2,2可以作為一個三角形的三邊長,但lg1=0不能作為三角形的邊長,故f(x)=lgx不是“三角保型函數(shù)”。故選B。

點評:本題以“三角保型函數(shù)”為背景考查冪函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。可通過新定義,把問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識求解。

設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點,若(λ∈R)(μ∈R),且2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2。已知點C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)調(diào)和分割點A(0,0),B(1,0),則下面說法正確的是( )。

A.C可能是線段AB的中點

B.D可能是線段AB的中點

C.C,D可能同時在線段AB上

D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上

解析:根據(jù)已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)],即(c,0)=λ(1,0),解得c=λ。

由(d,0)-(0,0)=μ[(1,0)-(0,0)],解得(d,0)=μ(1,0),解得d=μ。

點評:本題通過新定義的“調(diào)和分割”考查共線向量、平面向量的坐標運算、不等式的性質(zhì),考查分類討論思想。

(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn是其前n項和,a3=4,S3=18,求Sn;

(2)判斷(1)中的數(shù)列{Sn}是否為“特界”數(shù)列,并說明理由。

解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以Sn=na1+

(2){Sn}是“特界”數(shù)列,理由如下:

綜上,數(shù)列{Sn}是“特界”數(shù)列。

點評:本題以“特界”數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的性質(zhì)、求和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)。求Sn的最值時應(yīng)注意n∈N*。

(2017年福建省福州文博中學(xué)模擬)《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問:何日相逢,各穿幾何?”題意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻。大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半。如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則S5=( )。

點評:本題以《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”為背景考查等比數(shù)列的性質(zhì)、求和公式?？疾榱藬?shù)學(xué)文化。