曾軍輝

2016年秋，湖南省長(zhǎng)沙市教育學(xué)科研究院數(shù)學(xué)教研員張新春老師一行來(lái)湖南省臨武縣（以下簡(jiǎn)稱“我縣”）送培，作為承辦學(xué)校，我們數(shù)學(xué)組上了一堂研究課——人教版六年級(jí)上冊(cè)“工程問(wèn)題”第一課時(shí)。我們通過(guò)“情境導(dǎo)入——閱讀與理解——分析與探究——回顧與反思——應(yīng)用與拓展”等教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)了這一內(nèi)容。但是在教學(xué)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)了很多困惑和一些值得研究的問(wèn)題。2017年又要上“工程問(wèn)題”一課，我們?cè)鯓硬拍芙忾_(kāi)去年的一個(gè)個(gè)疑惑，讓課堂點(diǎn)燃生命的火種？我們?cè)鯓硬拍茚尫藕⒆觽兯季S的活力，讓課堂閃耀著智慧的光芒？我們?cè)鯓硬拍芫`放孩子們生命的活力，讓個(gè)性在課堂中飛揚(yáng)？我們需要繼續(xù)研讀文本，我們需要走進(jìn)孩子心靈，我們需要不斷探尋課堂密碼。

一、案例與困惑

（1）在多次試教中我們發(fā)現(xiàn)，題目中工作總量是具體的數(shù)量時(shí)，同學(xué)們會(huì)根據(jù)平均分的原理，用工作總量除以工作效率求工作時(shí)間，工程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系式很容易提煉。然而，通過(guò)閱讀理解例題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)道路的長(zhǎng)是未知時(shí)，僅有少數(shù)同學(xué)會(huì)想到用假設(shè)道路為一定長(zhǎng)度，先算出每隊(duì)每天修路長(zhǎng)度（每隊(duì)的工作效率），再算出兩隊(duì)合修一天的長(zhǎng)度（工效和），然后計(jì)算合修需要的天數(shù)。

我們?cè)陉P(guān)注學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，怎樣才能讓更多的孩子在工程問(wèn)題的學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的快樂(lè)？

（2）我們還發(fā)現(xiàn)：通過(guò)分析理解，在小組合作交流中，孩子們把全長(zhǎng)假設(shè)一個(gè)具體的數(shù)量，然后去計(jì)算合修時(shí)間。在這一環(huán)節(jié)中，如果沒(méi)有“探究卡”，很多組的合作效率非常低下；用了“探究卡”后，表面上學(xué)生們能算出兩隊(duì)合修需要的天數(shù)，其實(shí)為什么要按“探究卡”上的四個(gè)步驟去算？為什么要假設(shè)？孩子們?nèi)鄙僮约旱乃伎?，學(xué)習(xí)很被動(dòng)，這樣的教學(xué)過(guò)程缺少創(chuàng)造力，學(xué)生的思維沒(méi)有得到有效的發(fā)展。

我們?cè)趯W(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中關(guān)注主體地位是否凸顯的同時(shí)，怎樣在工程問(wèn)題中引發(fā)學(xué)生思考、發(fā)展學(xué)生思維？

（3）在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)“雞兔同籠”問(wèn)題中，學(xué)生熟悉了假設(shè)法。在本單元，同學(xué)們已經(jīng)熟練掌握了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分析問(wèn)題的思維方式，容易想到把一件工程看作一個(gè)整體（單位“1”），從而用幾分之一來(lái)表示某隊(duì)每天修這條道路的分率。

既然學(xué)習(xí)假設(shè)法不是這節(jié)課的重點(diǎn)，那么我們?cè)陉P(guān)注學(xué)生可能的認(rèn)知難點(diǎn)和障礙的同時(shí)，這節(jié)課的教學(xué)情境如何創(chuàng)設(shè)？教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該如何定位？

二、調(diào)查與分析

帶著這些思考，為了全面了解學(xué)生的學(xué)情，筆者與同年級(jí)的老師進(jìn)行了討論研究，并且在另一個(gè)尚沒(méi)有教學(xué)這一內(nèi)容的班級(jí)進(jìn)行了筆試和訪談?wù){(diào)查。

1. 前測(cè)題目

（1）修一條200m長(zhǎng)的小路，甲隊(duì)每天修40m，乙隊(duì)4天修完，哪個(gè)隊(duì)修得快？

（2）修一條小路，甲隊(duì)每天修，乙隊(duì)4天修了一半，哪個(gè)隊(duì)修得更快？

2. 測(cè)試分析

參加測(cè)試的同學(xué)有42人，第1題做對(duì)的有36人，全對(duì)的有29人，占總數(shù)的69%。測(cè)試后，我對(duì)7位同學(xué)進(jìn)行了訪談，只有兩位同學(xué)表示，第二題沒(méi)有告訴全長(zhǎng)，所以做不出。統(tǒng)計(jì)情況如下：

第一題：23人用200÷40=5天，5天>4天，乙修得快。

12人用200÷4=50米，50米>40米，乙修得快。

1人用40×4=160米，200米>160米，乙修得快。

第二題：12人用×4=，>，所以甲修得快。

9人用÷4=，<，所以甲修得快。

4人用1÷=6（天），4×2=8（天），6<8，所以甲修得快。

3人用÷=3天，3<4，所以甲隊(duì)修得快。

第一題正確率特別高，這說(shuō)明學(xué)生們能通過(guò)比工作時(shí)間和比工作效率或假設(shè)的方法比較生活中簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。因此，學(xué)生們已經(jīng)對(duì)工程問(wèn)題中，工作總量、工作效率和工作時(shí)間有了初步的認(rèn)識(shí)并會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用。

第二題，學(xué)生們能有四種不同的方法解答本題，這是我們始料未及的，這充分說(shuō)明許多學(xué)生們能用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的策略，利用類比、化歸、遷移的方法解決簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。這讓我們進(jìn)一步研究工程問(wèn)題充滿信心和期待。

經(jīng)過(guò)反復(fù)研討，我們將這堂新課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：

①掌握工程問(wèn)題中工作總量、工作效率、工作時(shí)間三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，能選擇合適的方法解決一般性工程問(wèn)題。

②在解決工程問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提高學(xué)生解決工程問(wèn)題的能力，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活更運(yùn)用于生活。

③通過(guò)讓學(xué)生提問(wèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、自主探究問(wèn)題的過(guò)程，提高學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，獲得積極的情感體驗(yàn)。

④培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真傾聽(tīng)、積極思考、討論交流、對(duì)比分析等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和“大問(wèn)題”意識(shí)。

三、教學(xué)片段

1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

課件出示：我縣新一中占地300余畝，建成后將為我縣提供5000多個(gè)就讀學(xué)位，大大緩解我縣校園面積小、學(xué)位不足等問(wèn)題。眼看就要開(kāi)學(xué)了，校長(zhǎng)遇到一個(gè)新問(wèn)題：校園兩側(cè)與北側(cè)的幾條道路需要平整、硬化，通過(guò)測(cè)量，有1200米長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)調(diào)查，有兩個(gè)工程隊(duì)的技術(shù)很好，并且價(jià)格比較便宜。甲隊(duì)每天可修80米，乙隊(duì)10天可修完。

根據(jù)以上信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

（課堂觀察：用身邊的事例編寫的情境讓同學(xué)們感受到數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)孩子熱愛(ài)家鄉(xiāng)的積極情感。同時(shí)培養(yǎng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光去思考、分析生活中的問(wèn)題的習(xí)慣和能力。）endprint

2. 小組合作學(xué)習(xí)

師：4人一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共同討論：可以提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？小組長(zhǎng)安排一個(gè)同學(xué)記錄討論結(jié)果。寫出兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的組可以派兩個(gè)代表把討論成果寫在黑板上。

3. 提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題

生1：甲隊(duì)獨(dú)修，幾天可以修完？①

生2：兩隊(duì)合修，幾天可以修完？②

師：對(duì)這兩位同學(xué)的提問(wèn)，你有何看法？

生3：這兩位同學(xué)提的問(wèn)題都是求時(shí)間。

生4：第二位同學(xué)想到了合修，能節(jié)約修路的時(shí)間，便于學(xué)校早日上課。

（課堂觀察：學(xué)生從不同的方向進(jìn)行觀察，努力獲得各種發(fā)現(xiàn)并記錄下來(lái)，不同的學(xué)生有著不同的智力水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維方式，他們頭腦中理解和表達(dá)的數(shù)學(xué)帶有明顯的個(gè)性色彩，這些不同層次的理解恰好是推動(dòng)教學(xué)走向深度的能量。）

師：不錯(cuò)！真會(huì)為校長(zhǎng)排憂解難，我替校長(zhǎng)感謝你們組，哪些組也提了這個(gè)問(wèn)題？

師：你們都是未來(lái)的好校長(zhǎng)！哪個(gè)組還有不同的問(wèn)題嗎？（好幾個(gè)組舉了手）

師：哪個(gè)組有兩個(gè)或更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題么？（又有一個(gè)組）

師：請(qǐng)你們組派兩個(gè)同學(xué)把你們的數(shù)學(xué)問(wèn)題寫出來(lái)，并編上序號(hào)。（生上臺(tái)）其余同學(xué)認(rèn)真看，黑板上寫的問(wèn)題與你們提的問(wèn)題是否一樣？如果有不一樣的，請(qǐng)及時(shí)舉手，另外，在觀察他人所提問(wèn)題的同時(shí)，如果你在他們的問(wèn)題中受到啟示，又想出了不同的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诓莞寮埳嫌涗浵聛?lái)或舉手，及時(shí)與大家分享。

（課堂觀察：很多創(chuàng)新思維都是緣自他人成果的類比與遷移，讓學(xué)生們從觀察中學(xué)會(huì)賞識(shí)他人，在思考中探尋更有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，思維的磁場(chǎng)活躍起來(lái)。）

生5：乙隊(duì)每天可修多少米？③

生6：乙隊(duì)每天可修全長(zhǎng)的幾分之幾？④

看到生6的問(wèn)題，又有同學(xué)有了新的啟發(fā)。

生7：甲隊(duì)每天可以修全長(zhǎng)的幾分之幾？⑤

師：（問(wèn)生7），你是怎么想到這個(gè)問(wèn)題的？

生7：就是受到生6的啟發(fā)，他用分率表示乙隊(duì)每天的工作量，所以可以用分率表示甲隊(duì)每天的工作量。

又有個(gè)孩子舉起了自信的小手。

生8：乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修多少米？

師做凝惑表情。有幾個(gè)同學(xué)鼓掌表示贊同。

師：你為什么贊同他提的問(wèn)題？

生9：因?yàn)橐?0天修完，乙隊(duì)每天可修120米，這說(shuō)明乙隊(duì)比甲隊(duì)修得快。所以可提問(wèn)：乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修多少米？

（同學(xué)們豁然開(kāi)朗，在老師沒(méi)來(lái)得及表?yè)P(yáng)學(xué)生時(shí)，又有學(xué)生舉手。）

生10：乙隊(duì)每天比甲多修幾分之幾？

（課堂觀察：這個(gè)問(wèn)題同學(xué)們可能有兩種理解：①乙隊(duì)每天修的長(zhǎng)度比甲隊(duì)多甲隊(duì)的幾分之幾。②乙隊(duì)每天修的長(zhǎng)度比甲隊(duì)多了全長(zhǎng)的幾分之幾。這么好的課堂生成資源不能浪費(fèi)。）

師：誰(shuí)明白了這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的是什么意思？

生11：他是問(wèn)乙隊(duì)每天修的長(zhǎng)度比甲隊(duì)修的多幾分之幾。

生12：兩隊(duì)修的長(zhǎng)度都可以用分率表示修了全長(zhǎng)的幾分之幾。乙隊(duì)每天修全長(zhǎng)的，甲隊(duì)每天修全長(zhǎng)的。我覺(jué)得他應(yīng)該是問(wèn)乙隊(duì)每天修的分率比甲隊(duì)每天修的分率大幾分之幾。

師：謝謝兩位同學(xué)獨(dú)特的理解和精彩的發(fā)言。我們?cè)賮?lái)聽(tīng)一聽(tīng)生10的問(wèn)題指的是什么意思，好嗎？

生10：我本來(lái)想問(wèn)乙隊(duì)每天修的120米比甲隊(duì)每天修的80米多幾分之幾。沒(méi)想到生12理解成了-的差。

師：是不是這個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)答案呢？

生13：我覺(jué)得“乙隊(duì)每天比甲多修幾分之幾”指的就是將甲隊(duì)每天修的看作“單位1”。所以生10的理解是對(duì)的。

師：那生11的理解呢？

生13：不對(duì)！因?yàn)榕c都是以全長(zhǎng)為單位“1”，它們的差還是以全長(zhǎng)為單位“1”，不是以甲為單位“1”，所以不對(duì)。

（課堂觀察：小組交流提問(wèn)后，學(xué)生一步步打破了交流的壁壘，踴躍表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。一時(shí)間學(xué)生的口頭表達(dá)、板書以及生生之間的對(duì)話反饋形成了一個(gè)多層次、全方位的立體信息網(wǎng)絡(luò)。其間學(xué)生養(yǎng)成的表達(dá)、傾聽(tīng)、修正、容納的品質(zhì)，讓課堂閃耀出價(jià)值的光芒。）

4. 解決核心問(wèn)題

（1）選取最有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師：說(shuō)得太精彩了！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，在提問(wèn)的過(guò)程中，我們不僅發(fā)現(xiàn)了許多新問(wèn)題，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了別人不同的提問(wèn)題的角度。在對(duì)比中，又提出了新問(wèn)題。認(rèn)真傾聽(tīng)、積極思考、對(duì)比分析都是我們學(xué)習(xí)好的方法。還有同學(xué)又想到了問(wèn)題，太棒了！我們已經(jīng)有了這么多問(wèn)題，讓我們先整理整理，解決一部分好么？在這9個(gè)問(wèn)題中，你認(rèn)為對(duì)校長(zhǎng)最有價(jià)值的是哪一個(gè)問(wèn)題？

生齊：?jiǎn)栴}②（兩隊(duì)合修，幾天可以修完？）。

課件出示：修1200米的路，甲隊(duì)每天可修80米，乙隊(duì)10天可修完，兩隊(duì)合修，多少天可以修完？

師：那么，其余的問(wèn)題我們是不是可以擦去了？

生14：我認(rèn)為不能擦，因?yàn)楹芏鄦?wèn)題對(duì)解決第2個(gè)問(wèn)題有幫助。

師：說(shuō)得好，這么多問(wèn)題，我們就按序號(hào)一個(gè)一個(gè)解決，好么？

生15：不行，我覺(jué)得我們先把對(duì)解決問(wèn)題②有作用的先選出來(lái)，再?gòu)娜菀椎娜胧?，便于解決最有價(jià)值的問(wèn)題。

師：有選擇的放棄是智者的放棄，有放棄的選擇是智者的選擇。

生選取問(wèn)題①、③、④、⑤

（2）梳理工程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

課件出示表格：

解決問(wèn)題①、③時(shí)，理出數(shù)量關(guān)系（板書數(shù)量關(guān)系和課題）：工作總量÷工作效率=工作時(shí)間；工作總量÷工作時(shí)間=工作效率。

（3）比較兩種工作效率的含義，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)工程問(wèn)題。

解決問(wèn)題④、⑤時(shí)求出：甲、乙每天修全長(zhǎng)的幾分之幾后追問(wèn)：這個(gè)還是工程問(wèn)題中的量么？

生15：我認(rèn)為是的，因?yàn)楸硎疽谊?duì)每天修的占全長(zhǎng)的，它可以表示乙隊(duì)的工作效率。endprint

師：同學(xué)們對(duì)生15的說(shuō)法有什么看法？

生16：我有點(diǎn)疑惑，每天修120米是乙隊(duì)的工作效率，這個(gè)又是乙隊(duì)的工作效率，同一個(gè)隊(duì)怎么會(huì)有兩個(gè)工作效率呢？

生15：是將全長(zhǎng)120米看作單位1，所以每天修的占全長(zhǎng)的，這個(gè)也是表示每天做的。

生17：對(duì)了，生15是把工作總量看作單位“1”，所以乙隊(duì)的工作效率就是。

（師在主標(biāo)題后加：把工作總量看作單位“1”。）

（課堂觀察：交流和分享的過(guò)程也是互相啟發(fā)的互補(bǔ)過(guò)程，每個(gè)學(xué)生之間的想法在交流的過(guò)程中就是在不斷碰撞，并產(chǎn)生了許多思維的火花。對(duì)于個(gè)體來(lái)說(shuō)，新的想法和關(guān)鍵點(diǎn)帶給原有觀念以沖擊，原有的觀念被適當(dāng)吸收，觀念之間通過(guò)相互作用，原有的認(rèn)知被修正、擴(kuò)大、提升，學(xué)生對(duì)工作效率的理解更全面而又深刻。）

（4）嘗試解答：兩隊(duì)合修，幾天可以修完？

生寫在草稿本中，教師巡視指導(dǎo)。

（5）反饋、對(duì)比、交流。

四、總結(jié)與反思

1. 創(chuàng)設(shè)有生活、有文化、有問(wèn)題的情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)給人的印象往往是抽象的、枯燥的?；谛W(xué)生年齡的特點(diǎn)，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)縣一中將要開(kāi)學(xué)這一事例，創(chuàng)設(shè)“校長(zhǎng)的困惑”這一問(wèn)題情境容易讓學(xué)生們產(chǎn)生研究的關(guān)注點(diǎn)，讓學(xué)生們感受到知識(shí)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生們熱愛(ài)家鄉(xiāng)，奮發(fā)學(xué)習(xí)，報(bào)效祖國(guó)的積極情感?！案鶕?jù)情境，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？”這一富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，學(xué)生們不僅感受工程問(wèn)題的模型，培養(yǎng)了提出問(wèn)題的能力，在幫助校長(zhǎng)解決問(wèn)題的過(guò)程中也體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

2. 圍繞 “大問(wèn)題”教學(xué)，培養(yǎng)孩子們的“大問(wèn)題”意識(shí)

本節(jié)課以解決“校長(zhǎng)的困惑”這一問(wèn)題為突破口，以解決學(xué)生們提出的一個(gè)個(gè)問(wèn)題為線索，圍繞“怎樣才能盡快修好一中的道路”這個(gè)大問(wèn)題，直指工程問(wèn)題的本質(zhì)，在學(xué)生們的問(wèn)題中涵蓋工程問(wèn)題的合作效率、合作時(shí)間等基本概念和基本數(shù)量關(guān)系，工程問(wèn)題一課的重點(diǎn)難點(diǎn)在解決學(xué)生們的一個(gè)個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中不斷引出，在孩子們的比較、辨析中探究出求合作時(shí)間的兩種方法，有效解決了“校長(zhǎng)的困惑”，學(xué)生們的問(wèn)題意識(shí)得到有效培養(yǎng)，發(fā)散思維能力與創(chuàng)造思維能力不斷提高。

3. 如何處理算法多樣化

在得出有兩種不同的方式可以表示工作效率時(shí)，學(xué)生們已經(jīng)感覺(jué)到有兩種求合作時(shí)間的思路，方法沒(méi)有優(yōu)劣，教師積極引導(dǎo)學(xué)生們用自己認(rèn)為簡(jiǎn)單、合理的方法就行。學(xué)生們?cè)谳p松、和諧的課堂氛圍中嘗試計(jì)算，在與他人分享計(jì)算方法中認(rèn)識(shí)兩種方法的特點(diǎn)，在比較與回顧環(huán)節(jié)進(jìn)一步理解兩種工作效率的本質(zhì)特點(diǎn)。（一個(gè)表示具體的數(shù)量，一個(gè)表示單位時(shí)間做了總量的幾分之幾。）

面對(duì)不一樣的算法，教師不應(yīng)過(guò)于追求算法的數(shù)量，也不用刻意比較哪種方法更優(yōu)越，要通過(guò)引導(dǎo)、回顧、比較、反思，明確不同算法的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步建構(gòu)知識(shí)體系，讓學(xué)生們理解不同算法的價(jià)值，收獲成長(zhǎng)的喜悅。

（作者單位：湖南省臨武縣第三中學(xué)小學(xué)部）endprint