安徽 朱 益

高考全國卷《數(shù)列》命題規(guī)律分析

安徽 朱 益

一、新課標(biāo)6年高考數(shù)列考點分析

年份文科卷理科卷題型題號分值考點題型題號分值考點2011解答1712等比數(shù)列的通項與求和，等差數(shù)列的求和解答1712等比數(shù)列的通項，數(shù)列的求和2012選擇125數(shù)列的基本概念選擇55等比數(shù)列基本量的計算填空145等比數(shù)列基本量的計算填空165數(shù)列的基本概念2013Ⅰ卷Ⅱ卷解答解答1712等差數(shù)列的通項，數(shù)列的求和等差數(shù)列的通項，數(shù)列的求和Ⅰ卷Ⅱ卷選擇填空選擇填空7143165555等差數(shù)列基本量的計算等比數(shù)列的通項等比數(shù)列基本量的計算數(shù)列中的最值問題2014Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712求等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和選擇55等差數(shù)列基本量的計算填空165數(shù)列的基本性質(zhì)Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712等差數(shù)列的定義數(shù)列的通項，數(shù)列的求和2015Ⅰ卷Ⅱ卷選擇填空選擇713595555等差數(shù)列基本量的計算等比數(shù)列基本量的計算等差數(shù)列基本量的計算等比數(shù)列基本量的計算Ⅰ卷Ⅱ卷解答選擇填空174161255數(shù)列的通項與求和等比數(shù)列基本量的計算數(shù)列的求和2016Ⅰ卷解答1712等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列求和Ⅰ卷選擇35等差數(shù)列基本量的計算填空155數(shù)列中的最值問題Ⅱ卷解答1712等差數(shù)列的通項，數(shù)列與函數(shù)的綜合Ⅱ卷解答1712數(shù)列的通項，數(shù)列的求和Ⅲ卷解答1712等比數(shù)列的定義和通項Ⅲ卷解答1712等比數(shù)列的證明，通項，求和

二、全國高考數(shù)列試題特點及命題規(guī)律

1.從地位上看：數(shù)列在全國卷的地位不如有些省份高(如江蘇，安徽有時以壓軸題出現(xiàn))，立足基礎(chǔ)，考查基本概念、基本公式和常用方法.

2.從題型上看：“兩小”或“一大”.“兩小”是指一道選擇題，一道填空題，或者兩道都是選擇題，一道屬于容易題，一道屬于中檔題，兩題分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為載體，“兩小”中必有一題是關(guān)于等差或等比數(shù)列基本量的計算，兩題分值共10分；“一大”指的是一道解答題，位于第17題，是解答題的第一題，有兩個小問，文科題目條件大多是給出基本量的幾個等式，兩個小問分別涉及等差和等比數(shù)列，第一問求通項，第二問求和；理科題目條件一般以遞推公式形式給出，其中涉及通項an與前n項和Sn時較多，第一問求數(shù)列的通項公式，第二問根據(jù)第一問求出的通項公式構(gòu)造新的數(shù)列，再求新數(shù)列的和，有時求和后再證明不等式，分值均為12分. “兩小一大”不定期交替出現(xiàn)，沒有出現(xiàn)偏題和怪題，所以同學(xué)們復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，以靈活運用基本性質(zhì)和掌握基本方法為主，尤其是剛參加全國高考省份的考生，不能受自主命題的影響人為地拔高難度.

3.從難度上看：以容易題和中檔題為主，選擇題在靠前位置，比較容易，填空題位置不確定，有時帶有綜合性，解答題位于第一題，難度不大.

4.從考點上看：重點考查等差等比數(shù)列基本量的計算，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項和前n項和，由數(shù)列的遞推公式求通項公式，數(shù)列求和的常用方法，數(shù)列中的最值問題，特定項成等比或等差數(shù)列的問題等.

三、全國高考數(shù)列重點、熱點、難點、冷點分析

(一)數(shù)列的基本概念與性質(zhì)

【點評】這類問題主要是通過觀察分析出數(shù)列的規(guī)律，寫出數(shù)列的某一項或某些項的和.?？贾芷跀?shù)列或數(shù)列的某些項是特殊數(shù)列.《考試說明》指出“了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)”，而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一個非常重要的性質(zhì)，所以數(shù)列的單調(diào)性，以后高考可能有所涉及.例如在選擇題中判斷數(shù)列增減性，還可以給出數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)的值或取值范圍.注意數(shù)列的單調(diào)性和一般連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性還是有區(qū)別的，可以借助于an與an+1的大小關(guān)系來判斷.

【變式訓(xùn)練1】(2012·全國新課標(biāo)理)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為________.

【解析】當(dāng)n=2k-1時，a2k-a2k-1=2(2k-1)-1，當(dāng)n=2k時,a2k+1+a2k=2(2k)-1,于是a2k+1+a2k-1=2，a2k+a2k-2=8k-8，所以相鄰兩奇數(shù)項的和構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，相鄰兩偶數(shù)項的和構(gòu)成等差數(shù)列，S60=2×15+8(2+4+…+30)-8×15=1 830.

(二)等差數(shù)列和等比數(shù)列

1.等差等比數(shù)列基本量的計算

【典例2】(2016·全國新課標(biāo)Ⅰ理)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=

( )

A.100 B.99 C.98 D.97

【典例3】(2013·全國新課標(biāo)Ⅱ理)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( )

【點評】 等差數(shù)列的基本量有a1,d,n,an,Sn；等比數(shù)列的基本量有a1,q,n,an,Sn，主要利用等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，列出方程或方程組解決.如果該年高考數(shù)列題型是以兩道小題形式出現(xiàn)，則在選擇題中考查等差或等比數(shù)列基本量的計算可能性非常大，屬于容易題.文科有時選擇題與填空題兩題都考等差、等比數(shù)列基本量的計算.同學(xué)們只要熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，留意計算的準(zhǔn)確性，解決這類問題是不會有什么困難的.冷點是數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合，先閱讀中國古典數(shù)學(xué)名著中的一段話后設(shè)置問題再求數(shù)列的基本量.

【變式訓(xùn)練2】(2015·全國新課標(biāo)Ⅱ文)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a3+a5=3，則S5=

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

( )

2.等差等比數(shù)列的定義

【典例4】(2014·全國新課標(biāo)Ⅰ理)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).

(Ⅰ)證明：an+2-an=λ；

(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.

【解析】(Ⅰ)證明：由anan+1=λSn-1得an+1an+2=λSn+1-1，兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1，

因為an+1≠0，所以an+2-an=λ.

(Ⅱ)由題設(shè)知a1=1，a2=λ-1，由(Ⅰ)知a3=λ+1，若存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，只需a1，a2,a3成等差數(shù)列，所以2a2=a1+a3，解得λ=4,

因此存在λ=4使得{an}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列.

【點評】這類問題主要是由遞推公式證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，或探索是否能構(gòu)成等差(等比)數(shù)列.冷點是從數(shù)列中抽出部分項證明其構(gòu)成等差或等比數(shù)列，進而解決其它問題.

【變式訓(xùn)練4】 (2016·全國新課標(biāo)Ⅲ理)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan，其中λ≠0.

(Ⅰ)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；

3.數(shù)列中的最值問題

【典例5】(2013·全國新課標(biāo)Ⅱ理)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0,S15=25，則nSn的最小值為________.

因為f(6)=-48，f(7)=-49，

所以當(dāng)n=7時，nSn取得最小值為-49.

【變式訓(xùn)練5】(2016·全國新課標(biāo)Ⅰ理)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為________.

(三)由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項與前n項和

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

因為angt;0，所以a1=3.

①-②得(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，因為angt;0，所以an-an-1=2.

所以數(shù)列{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，

所以an=2n+1.

【點評】這類問題是高考重點考查內(nèi)容，如果高考數(shù)列是一道大題，則題目的條件基本是以遞推公式給出，第一小問證明是等差數(shù)列或等比數(shù)列，求通項公式，第二小問則根據(jù)第一小問求出的通項公式構(gòu)造一個新數(shù)列，求這個新數(shù)列的前n項和.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)求{bn}的前n項和.

安徽省桐城市第八中學(xué))