康珅，單家元

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

航天器分布式有限時(shí)間編隊(duì)方法

康珅1,2，單家元1,2

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

以二階積分環(huán)節(jié)作為單體航天器動(dòng)力學(xué)模型，在固定通信拓?fù)涞幕A(chǔ)上，假設(shè)每個(gè)航天器僅獲取相鄰航天器的速度位置信息，設(shè)計(jì)了分布式有限時(shí)間跟蹤控制算法，并證明了算法的有效性。在該算法的基礎(chǔ)上，采用了虛擬結(jié)構(gòu)和階級控制方法，使第一階級航天器接受虛擬領(lǐng)隊(duì)形成的虛擬結(jié)構(gòu)信息，次級航天器接受上一級航天器信息，給出了有限時(shí)間編隊(duì)方法，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該編隊(duì)算法。

分布式控制；航天器編隊(duì)；有限時(shí)間收斂；階級控制

0 引 言

航天器編隊(duì)是由若干顆航天器組成編隊(duì)，保持一定相對位置關(guān)系，各航天器間密切聯(lián)系，共同完成某項(xiàng)空間任務(wù)的飛行技術(shù)，是近年來空間科學(xué)領(lǐng)域研究熱點(diǎn)之一。編隊(duì)系統(tǒng)一般由一顆主航天器和幾顆圍繞其飛行的從航天器組成，各航天器之間距離較近，從幾十米到幾十千米。航天器編隊(duì)具有成本低、系統(tǒng)冗余性和魯棒性強(qiáng)、自主性高等特點(diǎn)，具有廣闊的應(yīng)用前景。分布式控制是2005年后出現(xiàn)的控制方式，旨在減輕通信負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)被控對象的自主性。在分布式控制策略中，每顆航天器均具有獨(dú)立的局部決策能力，僅采用相鄰單位信息，應(yīng)用相互的通信網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)，便可形成期望的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)。典型的協(xié)同控制方式有主從式、基于行為和虛擬結(jié)構(gòu)的方式等。

早期的航天器位置編隊(duì)主要以領(lǐng)從方式為主，更多考慮軌道動(dòng)力學(xué)對于航天器編隊(duì)的影響。在軌道動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上，多采用HCW（Hill-Clohessy-Wiltshire）方程等模型，附加控制約束或控制指標(biāo)，進(jìn)行分析設(shè)計(jì)[1-4]。分布式控制出現(xiàn)后，大量研究偏向于將動(dòng)力學(xué)模型簡化為二階積分環(huán)節(jié)，側(cè)重通信拓?fù)涮匦砸约胺植际娇刂茖庩?duì)的影響，文獻(xiàn)[5]討論了通信延時(shí)對于一致性的影響；文獻(xiàn)[6]～文獻(xiàn)[7]在有向圖的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了切換拓?fù)湎碌母櫩刂破?，并在一定切換模式下證明了其有效性；文獻(xiàn)[8]基于二階積分環(huán)節(jié)和切換拓?fù)?，設(shè)計(jì)了分布式觀測器用于提取速度信息，并完成了一致性控制器的設(shè)計(jì)。在陣型控制方面，文獻(xiàn)[9]引入虛擬結(jié)構(gòu)的概念，實(shí)現(xiàn)了航天器編隊(duì)的分布式姿態(tài)控制；文獻(xiàn)[10]針對一階積分模型設(shè)計(jì)了有限時(shí)間穩(wěn)定的陣型控制算法。

本文以二階積分環(huán)節(jié)為模型，設(shè)計(jì)了航天器編隊(duì)的分布式有限時(shí)間跟蹤控制器，同時(shí)采用虛擬結(jié)構(gòu)和階級控制方法，實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間的陣型控制，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 預(yù)備知識

為突出有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)，本文航天器編隊(duì)問題的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下

1.1 運(yùn)算符號

1.2 代數(shù)圖論

本文采用無向圖描述航天器之間的通信拓?fù)?。對于無領(lǐng)從關(guān)系的多航天器系統(tǒng)，認(rèn)為每個(gè)航天器為頂點(diǎn)，其間的信息交互由無向圖G表示，記為，其中為所有頂點(diǎn)構(gòu)成的集合，為所有邊構(gòu)成的集合。是圖G的鄰接矩陣，定義為

對于帶有權(quán)重的鄰接矩陣A，其元素aij定義為當(dāng)時(shí)，即航天器i可獲取航天器j的信息時(shí)，；反之，。對于無向圖，有aij=aji。

1.3 定義及引理

引理1[11]對于矩陣，若且，無向圖G的拉普拉斯矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)無向圖G是連通的。

引理2[12]考慮系統(tǒng)

定義1（有限時(shí)間跟蹤）對于系統(tǒng)（1），控制律可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間跟蹤控制，當(dāng)且僅當(dāng)存在某一有限時(shí)間t*，有

2 主要結(jié)果

2.1 有限時(shí)間跟蹤控制

考慮如下跟蹤控制律

定理1若表示航天器間通信拓?fù)涞臒o向圖G為連通圖，且至少有一個(gè)航天器能接收到領(lǐng)隊(duì)信息，則在控制律（2）的作用下，系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間跟蹤控制。

證明：令，并將控制律式（2）帶入式（1），可得

將上述變換代入（3），可得誤差系統(tǒng)

取備選李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)式（4）和式（5）可得如下性質(zhì)

由式（6）可知V徑向無界。取，代入式（6）和式（7），可得

綜上所述，完成了對定理1的證明。

2.2 有限時(shí)間陣型控制

本節(jié)采用虛擬結(jié)構(gòu)和階級控制方法[9]，對航天器編隊(duì)進(jìn)行陣型組織。首先將航天器群分為數(shù)個(gè)階級，第1階級航天器直接接受虛擬領(lǐng)隊(duì)的信息，第2階級航天器則接受第1階級航天器的信息作為領(lǐng)隊(duì)信息，以此類推。

定理2若表示第i級航天器間通信拓?fù)涞膱DGi為連通圖，且第i級中至少有一個(gè)航天器能接收到上一級航天器的信息，則在控制律式（2）的作用下，每一級航天器都可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間跟蹤控制。

證明同定理1。

3 仿真結(jié)果

3.1 有限時(shí)間跟蹤

本例側(cè)重體現(xiàn)有限時(shí)間跟蹤控制效果，無具體物理意義。航天器間通信拓?fù)浼俺跏紶顟B(tài)如圖1所示。仿真參數(shù)取α= 0.6，k1= 1，k2= 3。由圖2及其局部放大圖可知，t= 34.5 s時(shí)，各航天器均無控制輸入，此時(shí)由圖3可知，航天器位置速度成功跟蹤領(lǐng)航天器狀態(tài)。

3.2 陣型控制

圖1 航天器間通信拓?fù)浼案骱教炱鞒跏紶顟B(tài)Fig.1 The communication topology and initial states of spacecrafts

圖2 各航天器的控制輸入變化曲線Fig.2 The control input of spacecraft

圖3 各航天器的位置和速度變化曲線Fig.3 The position and velocity profiles of the spacecraft in the formation

如圖4所示，示例的陣型控制分為2個(gè)階級，第1階級直接接收來自虛擬領(lǐng)隊(duì)的信息，跟蹤虛擬領(lǐng)隊(duì)形成的虛擬結(jié)構(gòu)；第2階級則有部分航天器接受第1階級的信息，根據(jù)分布式原則自組織陣型。

圖4 階級控制通信拓?fù)銯ig.4 Communication topology with hierarchies

在控制參數(shù)同上例的情況下，對陣型控制進(jìn)行三維數(shù)值仿真。令虛擬領(lǐng)隊(duì)形成一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)的虛擬結(jié)構(gòu)，第1階級中的航天器接受該虛擬結(jié)構(gòu)信息，并實(shí)行跟蹤；第2階級中的部分航天器接受第1階級航天器的信息，根據(jù)固定拓?fù)?，形?個(gè)四面體編隊(duì)，如圖5所示。其中虛擬領(lǐng)隊(duì)以v0= 1 m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，t=100 s時(shí)，令虛擬結(jié)構(gòu)以0.05 rad/s的角速度進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，t= 200 s時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢娫谔摂M結(jié)構(gòu)開始轉(zhuǎn)動(dòng)的35 s內(nèi)，跟蹤軌跡有輕微的震蕩過程，與上例中有限時(shí)間跟蹤的結(jié)論相符合。由此驗(yàn)證了該編隊(duì)算法的有效性。

圖5 空間編隊(duì)陣型示意圖Fig.5 The formation flying in deep-space environment

4 結(jié) 論

本文將單體航天器動(dòng)力學(xué)模型簡化為二階積分環(huán)節(jié)，在無向圖的基礎(chǔ)上，假設(shè)每個(gè)航天器僅獲取相鄰航天器的速度位置信息，設(shè)計(jì)了分布式有限時(shí)間跟蹤控制算法，并證明了該算法的有效性。在有限時(shí)間跟蹤控制算法，采用虛擬結(jié)構(gòu)和階級控制方法，使第1階級航天器接受虛擬領(lǐng)隊(duì)形成的虛擬結(jié)構(gòu)信息，次級航天器接受上一級航天器信息，給出了有限時(shí)間編隊(duì)方法，并通過數(shù)值仿真，形成了四面體編隊(duì)，并實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間隊(duì)形變換，驗(yàn)證了編隊(duì)方法。后續(xù)研究將以編隊(duì)中的避撞問題為重點(diǎn)，進(jìn)一步提高編隊(duì)算法的實(shí)用性。

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Distributed Finite-Time Control Method for Formation Flying

KANG Shen1,2，SHAN Jiayuan1,2
（1.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China；2.Key Laboratory of Dynamic and Control of Flight Vehicle,Ministry of Education,Beijing 100081,China）

In this paper，a dynamic model of single spacecraft is simulated by a double integrator and the communication topology is assumed fixed.Based on the information exchanges among neighbors，the distributed finite-time control protocol is designed and mathematically verified.Adopt the presented control protocol and combined with virtual structure and hierarchical protocol，the formation algorithm is designed，where in a group spacecraft on a lower level takes orders from spacecraft on a higher level.The numerical simulation is conducted，verifying the effectiveness of the proposed method.

distributed control；formation flying；finite-time stable；hierarchical control

V11

A

2095-7777（2017）04-0390-05

10.15982/j.issn.2095-777.2017.04.0013

康珅，單家元.航天器分布式有限時(shí)間編隊(duì)方法[J].深空探測學(xué)報(bào)，2017，4（4）：390-394.

Reference format：Kang K，Shan J Y.Distributed finite-time control method for formation flying[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（4）：390-394.

2015-09-25

2017-05-02

康珅（1990- ），男，博士研究生，主要研究方向：協(xié)同控制、飛行器制導(dǎo)、動(dòng)力學(xué)建模與仿真等。

通訊地址：北京市中關(guān)村南大街5號，北京理工大學(xué)宇航學(xué)院飛行器控制系（100081）

E-mail：seankang90@gmail.com

[責(zé)任編輯：楊曉燕，英文審校：朱恬]