全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布

黃 婷， 陳 蕾， 鄭春雨

(瓊臺(tái)師范學(xué)院 數(shù)理系, 海南 海口 571123)

全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布

黃 婷， 陳 蕾， 鄭春雨

(瓊臺(tái)師范學(xué)院 數(shù)理系, 海南 ?？?571123)

根據(jù)全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的定義，通過把全平面上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)映射到單位圓上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)，應(yīng)用推廣的Nevanlinna第二基本定理，證明了全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)在一定條件下幾乎必然以每條水平直線為無例外小函數(shù)的(p，q)級(jí)強(qiáng)Borel線，該結(jié)論豐富了Dirichlet級(jí)數(shù)的成果，具有一定的理論意義.

隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù); (p，q)級(jí)； 強(qiáng)Borel線； 小函數(shù).

1 引言與結(jié)果

考慮隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

(1)

滿足0≤λ0lt;λ1lt;λ2lt;…lt;λn↑+∞，s=σ+it，σ及t是實(shí)變數(shù)，{Xn(ω)}為某概率空間(Ω，A，P)上的獨(dú)立復(fù)隨機(jī)變量列.

恒假定{Xn}滿足下列條件：對(duì)?ngt;0，E(Xn)=0，且存在一正數(shù)d，使得

(2)

引進(jìn)輔助級(jí)數(shù)

(3)

令

對(duì)全平面上解析的級(jí)數(shù)(2)，令

其中p、q為整數(shù)，p≥q≥0.

定義1如果ρ=ρf(p-1，q-1)=0或+∞(p≥q≥0)，而0lt;ρf(p，q)lt;+∞，則稱解析函數(shù)f(s)有指數(shù)對(duì)(p，q)，則ρ=ρ(p，q)稱為f(s)的(p，q)級(jí).

注：本文僅討論pgt;q的情形.

由文獻(xiàn)[1]中的定理6.6.4可知：若級(jí)數(shù)(1)滿足(2)式及

(4)

那么級(jí)數(shù)(1)與級(jí)數(shù)(3)有相同的(p，q)級(jí)，且

(5)

本文得到如下結(jié)果:

定理1若級(jí)數(shù)(1)滿足條件(2)、(4)和(5)，那么幾乎必然每條水平直線{s|Ims=t0}(t0∈R)是fω的沒有例外小函數(shù)的ρ(p，q)級(jí)強(qiáng)Borel線，即對(duì)?ω∈A，?t0∈R,?ηgt;0及?φ∈H有

(6)

其中

n(σ，t0，η，fω=φ(s))=
#{s|fω=φ(s)，s∈B*(σ，t0，η)，φ∈H}，

B*(σ，t0，η)={s|Res≥σ}∩B(t0，η)，

2 引理

給定t0∈R和ηgt;0，考慮映射

(7)

其逆映射s=Φ1(z)，z=Φ2(W)，令

W=φ(s)=φ2·φ1(s)，s=Φ(W)=Φ1·Φ2(W)，

H*(r)={z||z|≤r}∩Hk,k=1，2，

D(R)={W||W|lt;R},R∈(0，1]，

那么Φ(D(1))=B(t0，η).有下面引理，見文獻(xiàn)[1].

(8)

及

(9)

則映射(7)將級(jí)數(shù)(1)及?φ(s)∈H映射為D(1)內(nèi)的隨機(jī)解析級(jí)數(shù)，有

并且Ψ(W，ω)與ψ(W)在D(1)內(nèi)隨機(jī)解析，令

由Nevanlinna第二基本定理推廣得到下面引理：

引理2令G(W)和gj(W)(j=1，2)在D(1)內(nèi)解析且滿足

及T(R，gj(W))=o(T(R，G(W)))(R→1)，那么

其中R∈(0，1)，A和B是正常數(shù).

由文獻(xiàn)[1]中的引理6.7.3可得下面引理:

引理3設(shè)隨機(jī)變量Xn(ω)滿足(2)式，那么

引理4對(duì)在D(1)內(nèi)解析的Ψ(W，ω)有

(10)

及?ψ∈H′至多有一個(gè)可能的例外值ψ(W)使下式成立

(11)

其中

N(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

n(μ，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

#{W|Ψ(W，ω)=ψ(W)，|W|lt;μ}.

證明共分3步完成證明.

第1步 由(8)和(9)式有

MΨ(R，ω)≤M(σ，fω)，

及

又由文獻(xiàn)[1]中的定理6.7.5和定理6.7.6可知，對(duì)t∈R，ηgt;0,有

因此有

又因?yàn)?/p>

從而

成立.

(12)

其中

第3步 證明對(duì)于D(1)內(nèi)解析的Ψ(W，ω)及?ψ(W)∈H′有

成立.

令

s∞={(X0(ω)，X1(ω)，…)|ω∈s}?E∞，

只需證P(s)=0.

故有P(s)=0，即

成立.綜上引理4得證.

3 定理1的證明

證明根據(jù)引理4中N(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))與n(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))的定義及引理4中(10)式很容易得到

成立，由(8)和(9)式，對(duì)?φ(s)∈H有

因此(6)式a.s.成立.

選取一個(gè)全部由有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{tk}及數(shù)列{ηm}(ηm↓0)，類似前面的討論即可得到定理1成立.

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2010MSC:30D30; 30D35

(編輯 余 毅)

On the Distribution of Random Dirichlet Series with (p,q) Orders in the Whole Plane

HUANG Ting, CHEN Lei, ZHENG Chunyu

(DepartmentofMathematicsandPhysics,QiongtaiNormalUniversity,Haikou571123,Hainan)

In this paper, the random Dirichlet series on the whole plane is mapped to the random Dirichlet series on the unit circle by the difinition of random Dirichlet series with (p,q) orders on the whole plane. Using the generalized second Nevanlinna basic theorem, we prove that the random Dirichlet series with (p,q) orders almost surely take every horizontal line as a strong Borel line and without exceptional little functions. This result enriches the theory about Dirichlet series and has a certain theoretical signification.

random Dirichlet series; (p,q) orders; strong Borel line; little functions

O174.5

1001-8395(2017)06-0768-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.010

2016-11-07

海南省自然科學(xué)基金(20161007)