劉金夢,宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

擬復(fù)射影空間中具有平行平均曲率的全實(shí)子流形

劉金夢,宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

采用活動(dòng)標(biāo)架法研究擬復(fù)射影空間CQn+p全實(shí)子流形的問題, 并利用自伴算子獲得了這類子流形的一些積分不等式.

擬復(fù)射影空間；平行平均曲率；積分不等式

0 引言

設(shè)CQn+p是具有Kaehler度量的復(fù)n+p(實(shí)2(n+p))維黎曼復(fù)流形,若其曲率張量取為如下形式：

則稱CQn+p為擬復(fù)射影空間[1].其中:g為CQn+p上的黎曼度量,J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu),a,b是CQn+p上的光滑函數(shù),{λA}是CQn+p上的單位向量函數(shù),稱λA為CQn+p的生成元.

關(guān)于具有常數(shù)量曲率的子流形,Cheng等已經(jīng)給出了空間形式的常數(shù)量曲率超曲面[2],引入了一個(gè)自共軛的二階橢圓算子.宋衛(wèi)東等應(yīng)用這個(gè)算子研究了局部對(duì)稱共形平坦空間中這類子流形的定理[3].對(duì)于擬復(fù)射影空間近年來也有不少的研究成果[4-6]，本文利用自共軛的二階橢圓算子研究擬復(fù)射影空間中具有平行平均曲率向量的全實(shí)子流形,得到以下結(jié)果.

定理1設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中具有平行單位平均曲率的緊致全實(shí)偽臍子流形,適當(dāng)選取平行平均曲率向量使得CQn+p的生成元沿平行平均曲率向量的分量消失,則有

1) 若p=1,對(duì)任意的n,

成立；

2) 若p=2,n≥3,則

3) 若p≥3,n>7,則

4) 若p≥3,3

1 預(yù)備知識(shí)

文中對(duì)各類指標(biāo)取值范圍約定如下:

A,B,C,…=1,…，n+p,1*,…,(n+p)*;i,j,k,…=1,…,n;

α,β,γ,…=n+1,…,n+p,1*,…,(n+p)*;λ,μ,…=n+1,…,n+p.

設(shè)Mn是CQn+p中的實(shí)n維全實(shí)子流形,J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu).在CQn+p上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場

e1,…,en,en+1,…,en+p,e1*=Je1,…,en*=Jen,e(n+1)*=Jen+1,…,e(n+p)*=Jen+p，

使得限制于Mn,{e1,…,en}與Mn相切.以{ωA}表示{eA}的對(duì)偶標(biāo)架場,則CQn+p的結(jié)構(gòu)方程為：

其中，

ωij=ωi*j*,ωi*j=ωj*i,ωλμ=ωλ*μ*，ωiμ=ωi*μ*,ωλ*μ=ωμ*λ,ωi*λ=ωλ*i.

(1)

將上述形式限制在Mn上,則有

(3)

(4)

其中Rijkl,Rαβij分別是Mn的曲率張量R和法曲率張量場關(guān)于{eA}的分量.進(jìn)一步,Mn的平均曲率向量場ξ,平均曲率H,第二基本形式模長平方S可分別表示為

(5)

(6)

Kαβkj=a(JαkJβj-JαjJβk).

(7)

首先計(jì)算Mn的第二基本形式分量hij的Laplacian算子△.由式(5)，(6)可得

(8)

由式(3)，(4)，(8)計(jì)算得到，

(9)

2 定理的證明

(10)

此時(shí),根據(jù)定理1的條件可知

λn+1=0.

(11)

且

(12)

進(jìn)一步有

(13)

.

(14)

其中△是Laplacian算子,在式(14)中取f=H,則

(15)

事實(shí)上,根據(jù)式(2),(5),(11)能得到

從而□是一個(gè)自伴算子[7],故

由于Mn具有平行單位平均曲率向量場,對(duì)所有α,有ωn+1α=0,從而由式(12),(13)得

(17)

由式(2),知Kn+1αij=0,對(duì)ωn+1α=0外微分,

從而

于是對(duì)?α,Hα,Hn+1可同時(shí)對(duì)角化,由式(11)知Kn+1kik=Kn+1ijk=0.

由式(9),(10),(15)-(18)經(jīng)計(jì)算有

根據(jù)文獻(xiàn)[9]知

(19)

(20)

(21)

又由式(1),(10)及α=n+1知

Jαk=Jαj=0.

(22)

(23)

由式(5)及引理2可得

(24)

再由式(1),(7),(10)及α>n+1可得Jαk=Ji*k=δik,Jαj=Ji*j=δij,故有

(25)

(26)

引理3[2]設(shè)Mn是(n+p)維黎曼流形Nn+p中的任一子流形,則

(27)

從而

A≥-n(n-1)b2-divω≥-pn(n-1)b2-pdivω.

(28)

再利用Kn+1jij=Kn+1ijk=0和式(28),故

由式(24)-(29)及引理3得

因?yàn)镸n具有平行單位平均曲率向量,所以H為常數(shù),根據(jù)式(17),(19),(23),(30)得

成立.

[1] 宋衛(wèi)東,朱巖.擬復(fù)射影空間中的全實(shí)偽臍子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2012,50(4):673-677.

[2] CHENG S Y, YAU S T. Hypersurfaces with constant scalar curvature[J]. Math Ann,1997,225(3):195-204.

[3] 宋衛(wèi)東,劉敏.關(guān)于局部對(duì)稱共形平坦空間中具有常數(shù)量曲率的子流形[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2010,30(4):1102-1110.

[4] 朱巖,宋衛(wèi)東.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)極小子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,51(5):855-859.

[5] 吳丹,宋衛(wèi)東.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)偽臍2-調(diào)和子流形[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,35(2):117-119.

[6] 何俊秀,孫寶磊,姚純青.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)偽臍子流形[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,41(2):30-35.

[7] 華義平,宋衛(wèi)東.局部對(duì)稱黎曼流形中某類超曲面的剛性定理[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2009,47(6):1125-1130.

[8] ZHANG J F. A rigidity theorem for submanifolds inSn+pwith constant scalar curvature[J]. Journal of Zhejiang University Science,2005,6(4):322-328.

[9] 劉敏,宋衛(wèi)東.復(fù)射影空間中具有常數(shù)量曲率的全實(shí)子流形[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(6):749-757.

TotallyRealSubmanifoldswithParallelMeanCurvatureinaQuasi-complexProjectiveSpace

LIU Jinmeng, SONG Weidong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

In this paper, the totally real submanifoldsCQn+pin a quasi-complex projective space is studied by the method of moving frames， and some integral inequalities are obtained by using a self-adjoint operator.

quasi-complex projective space; parallel mean curvature; integral inequality

2017-02-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371032);安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1608085MA03).

宋衛(wèi)東 (1958—),男,教授,主要從事微分幾何研究.E-mail:swd56@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.014

O186.12MSC201053C42

A

1674-232X(2017)06-0647-06