馮晶晶，胡 艷

(西安培華學(xué)院智能科學(xué)與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710125)

多寡頭不同成本古諾模型的納什均衡分析

馮晶晶，胡 艷

(西安培華學(xué)院智能科學(xué)與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710125)

將古諾的雙寡頭壟斷模型推廣到多個寡頭壟斷的情形，分析了多寡頭古諾博弈的納什均衡，用最優(yōu)化和初等變換等數(shù)學(xué)方法得到了納什均衡解．在此基礎(chǔ)上，將古諾的雙寡頭壟斷模型中相同的邊際成本推廣到不同的邊際成本，討論了不同成本的雙寡頭古諾博弈的納什均衡，得到其納什均衡解．

古諾模型；n寡頭；不同成本；納什均衡

法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家古諾1838年在《財富理論的數(shù)學(xué)原理研究》中對寡頭壟斷的一種極端形式——雙寡頭壟斷作了分析研究．古諾模型是最早對戰(zhàn)略依存的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行研究并提出均衡解的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，但該模型只是在特定的壟斷情況下，兩個寡頭同時進(jìn)行產(chǎn)量決策，在不存在固定成本、邊際成本為常數(shù)的情況下得到博弈的納什均衡．大多數(shù)文章[1-5]直接應(yīng)用古諾模型對市場進(jìn)行分析，采用數(shù)學(xué)方法對古諾模型理論[6-9]進(jìn)行研究的較少．本文就古諾模型的理論進(jìn)行研究，一方面將古諾的雙寡頭壟斷模型推廣到n個寡頭的情形，另一方面將古諾的雙寡頭壟斷模型中相同的邊際成本推廣到不同的邊際成本，并得到這兩種博弈的納什均衡．

1 預(yù)備知識

博弈的標(biāo)準(zhǔn)形式[10]表述包括：1)博弈的參與者．參與者從1到n排序，設(shè)任一參與者的序號為i．2)每一參與者可供選擇的戰(zhàn)略集．令Si代表參與者i的戰(zhàn)略空間，其中任意一個特定的戰(zhàn)略用si表示，si∈Si.3)針對所有參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，每一個參與者獲得的收益．令(s1,s2,…,sn)表示每個參與者選定一個戰(zhàn)略形成的戰(zhàn)略組合，ui表示第i個參與者的收益函數(shù)，ui(s1,s2,…,sn)即為參與者選擇戰(zhàn)略(s1,s2,…,sn)時第i個參與者的收益．

定義1[10]在一個n人博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述中，參與者的戰(zhàn)略空間為S1,S2,…,Sn,收益函數(shù)為u1,u2,…,un,用G={S1,S2,…,Sn;u1,u2,…,un}表示此博弈．

對其他參與者在戰(zhàn)略空間S1,…,Si -1,Si +1,…,Sn中每一組可能的戰(zhàn)略(s1,…,si -1,si +1,…,sn)都成立．

2 主要結(jié)果

2.1 n寡頭古諾博弈中的納什均衡

假定古諾的寡頭模型中有n個企業(yè)，令qi代表企業(yè)i的產(chǎn)量，且Q=q1+q2+…+qn表示市場總產(chǎn)量，p表示出清價格，并假設(shè)反需求函數(shù)由P(Q)=a-Q給出(設(shè)Q

現(xiàn)求n寡頭古諾博弈中的納什均衡解．首先將該博弈化為標(biāo)準(zhǔn)式的博弈，n寡頭壟斷模型中有n個參與人，即模型中有n個壟斷企業(yè)，由于產(chǎn)出不可能為負(fù)，每一企業(yè)的戰(zhàn)略空間就可表示為Si=[0,+)，其中一個代表性戰(zhàn)略si就是企業(yè)選擇的產(chǎn)量，qi≥0，特別大的產(chǎn)量是不可能的，不應(yīng)包括在戰(zhàn)略空間中，但由于Q≥a時，P(Q)=0，任一企業(yè)都不會有qi>a的產(chǎn)出．其次，需要把企業(yè)i的收益表示為它自己和另一企業(yè)所選擇戰(zhàn)略的函數(shù)．

假定企業(yè)的收益就是其利潤額，這樣在一般的n個參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，參與者i的收益ui(s1,s2,…,sn)就可寫為：

在古諾的n頭壟斷模型中，上面的條件可具體表述為一對產(chǎn)出組合．

2.2 不同成本的雙寡頭古諾博弈的納什均衡

再考慮在古諾雙頭壟斷模型中，反需求函數(shù)為P(Q)=a-Q，c1為企業(yè)1的邊際成本，c2為企業(yè)2的邊際成本，且c1≠c2．模型中的兩個壟斷企業(yè)為兩參與人，產(chǎn)品的產(chǎn)量為每個企業(yè)可選擇的戰(zhàn)略．每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間可表示為Si=[0,+)，即包含所有非負(fù)實數(shù)，其中一個代表性戰(zhàn)略si就是企業(yè)選擇的產(chǎn)量，qi≥0．要全面表述這一博弈并求其均衡解，還需把企業(yè)i的收益表示為它自己和另一企業(yè)所選擇戰(zhàn)略的函數(shù)，假定企業(yè)的收益就是其利潤額，這樣在一般的兩個參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，參與者i的收益ui(si,sj)可寫為πi(qi,qj)=qi[p(qi+qj)-ci]=qi[a-(qi+qj)-ci].其中0a+c1.

3 結(jié)論

本文將雙寡頭古諾壟斷模型推廣到多個寡頭壟斷，用最優(yōu)化和初等變換等數(shù)學(xué)方法得到了納什均衡解，并得到當(dāng)寡頭無限增多時，總產(chǎn)量無限趨于a-c．另一方面，將古諾的雙寡頭壟斷模型中相同的邊際成本推廣到不同的邊際成本，得到其納什均衡解．該結(jié)果更加貼近地反映市場的運(yùn)營情況，給市場運(yùn)營提供了一定的理論基礎(chǔ)．

[1] 王靜，周學(xué)立．縱向產(chǎn)品差異化市場古諾博弈模型的穩(wěn)定性分析[J]．遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，38(4)：460-463．

[2] 計曉靜，趙自強(qiáng)，沙莎．供應(yīng)鏈競爭下的需求風(fēng)險和匯率風(fēng)險傳導(dǎo)研究：基于古諾模型[J]．南京師范大學(xué)學(xué)報(工程技術(shù)版)，2015，15(4)：82-89．

[3] 葉子，令狐大智．雙寡頭競爭環(huán)境下的碳配額分配策略研究[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐，2015，35(12)：3038-3045．

[4] 何春燕．基于博弈論的我國稀土出口政策研究[D]．北京：中國地質(zhì)大學(xué)，2013．

[5] 李佼瑞，昌?。_定和不確定策略框架下的古諾雙寡頭模型[J]．系統(tǒng)工程學(xué)報，2015，30(5)：594-600．

[6] 陳東立，姚杰，史艷維．基于純策略的區(qū)間數(shù)矩陣博弈模型的研究[J]．重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，26(2)：107-111．

[7] 張明善，唐小我．多個生產(chǎn)商下的動態(tài)古諾模型分析[J]．管理科學(xué)學(xué)報，2002，5(5)：85-90．

[8] 姚洪興，張芳．差異化策略的兩組動態(tài)古諾模型及其穩(wěn)定性控制[J]．江蘇大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，33(3)：364-368．

[9] 胡振華，胡東濱．寡頭壟斷市場古諾模型的研討[J]．中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1997，28(1)：99-102．

[10] 羅伯特·吉本斯．博弈論基礎(chǔ)[M]．北京：中國社會科學(xué)出版社，1999．

TheNashEquilibriumAnalysisofMultiOligopolyCournotModelwithDifferentCost

FENG Jingjing, HU Yan

(School of Intelligent Science and Information Engineering, Xi’an Peihua University, Xi’an 710125, China)

The Cournot duopoly model is generalized to multiple oligopoly monopoly model, the Nash equilibrium of multiple oligopoly Cournot game is analyzed, and Nash equilibrium solution is obtained with optimization and elementary transformation mathematical methods. On this basis, the same marginal cost in the Cournot duopoly model is extended to different marginal cost, the Nash equilibrium of the duopoly Cournot game with different cost is discussed, then the Nash equilibrium solution is obtained.

Cournot model;noligopoly; different cost; Nash equilibrium

2017-03-17

國家自然科學(xué)基金項目(61473239)；陜西省教育廳專項科學(xué)研究項目(2015JK2093)；西安培華學(xué)院校級課題項目(PHKT17028).

馮晶晶(1984-)，女，講師，碩士，主要從事非標(biāo)準(zhǔn)分析理論和金融數(shù)學(xué)研究．E-mail：fengjingjing0105@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.017

O29;F224.32MSC201091A06;91A13

A

1674-232X(2017)06-0665-03