CT圖像重建中基于指數(shù)形式的濾波函數(shù)優(yōu)化

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(蘭州大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000)

CT圖像重建中基于指數(shù)形式的濾波函數(shù)優(yōu)化

馬思漢，張催，陳章谷，張益海，潘小東，商宏杰，李公平

(蘭州大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000)

計算機(jī)斷層成像(CT)技術(shù)廣泛應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)療、國防、航空航天等領(lǐng)域。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，對使用CT來獲得更加精確的材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息提出了更高的要求，希望能在重建圖像中更加完整地表達(dá)組織結(jié)構(gòu)信息。為了獲取更好的圖像質(zhì)量，提出一種基于指數(shù)形式的濾波函數(shù)(EBFF)，在MATLAB平臺下采用EBFF對圖像進(jìn)行重建，并通過相似系數(shù)、歸一化平均值以及歸一化均方根距離等評價手段與幾種傳統(tǒng)的濾波函數(shù)重建圖像結(jié)果進(jìn)行對比，同時在錐束CT實驗平臺下采用EBFF進(jìn)行圖像重建。模擬與試驗均表明EBFF對重建圖像質(zhì)量有一定改善，其較傳統(tǒng)濾波函數(shù)能給出更好的重建結(jié)果，有助于圖像重建結(jié)果的優(yōu)化。

圖像重建；濾波反投影算法；濾波函數(shù)；Radon變換

X射線CT檢測法具有空間和密度分辨率高、掃描速度快、成像時間短以及強(qiáng)穿透力等特點，可以獲取與工件材料結(jié)構(gòu)、成分以及密度等特性相關(guān)的二維斷層圖，并生成三維立體圖像[1]，因此作為一種無損檢測的重要手段，被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域。要得到高質(zhì)量的CT圖像，除硬件條件外，圖像重建方法也扮演著重要角色。CT圖像重建方法主要分為兩類：解析法和迭代法。其中迭代法包括代數(shù)重建法(ART)、最大期望算法(EM)等，解析法包括傅里葉變換重建算法、濾波反投影重建算法(Filtered Back Projection, FBP)和反投影濾波重建算法等[2]。迭代算法適用于投影數(shù)據(jù)不足、投影角缺失以及投影間隔不均勻的場合，但其迭代次數(shù)較多，計算強(qiáng)度較高，需要較長的時間，在工業(yè)和臨床醫(yī)療等方面的應(yīng)用具有較大的局限，一般情況下較少采用。

最常用的一種圖像重建算法是解析法中的FBP算法[13]，雖然該方法要求具有完整的投影數(shù)據(jù)，抗噪能力相對較弱，但其能夠處理龐大的數(shù)據(jù)，具有極快的重建速度，所以，該算法在實際應(yīng)用中最為常見。而在FBP算法中，濾波函數(shù)的選取尤為重要，其決定了重建圖像質(zhì)量的好壞,采用不同的濾波函數(shù)重建圖像可以達(dá)到不同的效果。目前，濾波函數(shù)的優(yōu)化仍然是進(jìn)一步提高CT圖像質(zhì)量的途徑之一。傳統(tǒng)濾波函數(shù)包括Hann、Ram-Lak以及基于其特性改進(jìn)的濾波函數(shù)。筆者從FBP原理出發(fā)提出一種基于指數(shù)形式的優(yōu)化濾波函數(shù)(EBFF)，并對優(yōu)化函數(shù)及傳統(tǒng)濾波函數(shù)的重建圖像質(zhì)量進(jìn)行定量地比較，討論優(yōu)化濾波函數(shù)的濾波特性，并就其對重建圖像質(zhì)量的影響做出評價。

1 濾波反投影重建基礎(chǔ)

1.1 Radon變換

在圖像重建過程中，Radon變換是一種基于基本數(shù)學(xué)理論建立的圖像投影變換方法，Radon變換表明某一物體可用多個投影數(shù)據(jù)來表示，對于穿過物體的一條直線，該投影數(shù)據(jù)表示沿直線所在路徑的線積分，其原理如圖1所示。已知二維分布函數(shù)f(x,y)及二維平面內(nèi)一條直線L，原點到直線L的距離為t，與x軸夾角為α，沿直線的L投影數(shù)據(jù)為q，坐標(biāo)(x,y)可用極坐標(biāo)(r,φ)表示為：

那么投影數(shù)據(jù)用極坐標(biāo)可表示為：

圖1 Radon變換原理示意

1.2 濾波反投影重建原理

以Radon變換為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)據(jù)投影，設(shè)原始圖像數(shù)據(jù)為f(x,y)，δ(x)是一種廣義函數(shù)，定義投影圖像數(shù)據(jù)為

式中：θ為投影角度。

當(dāng)s=xcosθ+ysinθ時，δ(xcosθ+ysinθ-s)=1，其他情況δ(xcosθ+ysinθ-s)=0。那么在投影角度θ下的投影圖像數(shù)據(jù)qθ(s)表示為：

對式(4)進(jìn)行Fourier變換，獲得變換后的投影數(shù)據(jù)Gθ(ω)表示為：

對式(5)加入濾波函數(shù)H(ω)進(jìn)行Fourier逆變換得到濾波修正處理后的數(shù)據(jù)Pθ(s)：

再對數(shù)據(jù)Pθ(s)進(jìn)行反投影變換處理獲得重建圖像。

2 濾波函數(shù)及其特性

2.1 常用濾波函數(shù)

經(jīng)典濾波從功能上主要分為高通濾波、低通濾波和帶通濾波，其每一種又可以分為模擬濾波和數(shù)字濾波，圖像處理要求使用不同頻域范圍內(nèi)的數(shù)字濾波，而對于不同的實際情況會選擇不同的濾波函數(shù)。濾波函數(shù)的幅頻特性是圖像重建誤差的決定性因素，表征幅頻特性的指標(biāo)又分為主瓣特性和旁瓣特性。對于一個良好的濾波函數(shù)，一般要求具有良好的幅頻特性，也就是說在選取濾波函數(shù)時，要遵循一定原則：主瓣幅值高寬度窄，以獲得較陡的過渡帶；第一旁瓣相對主瓣幅值盡可能小，以改善平穩(wěn)度和增大阻帶衰減。在濾波反投影算法中有諸多的濾波函數(shù)可以使用，例如，H(ω)=|ω|rect(ω/2R)表示理想濾波函數(shù),其中|ω|為理想濾波函數(shù)頻率,R為實際圖像頻率的上限。rect為矩形函數(shù)，當(dāng)|ω|

對EBFF函數(shù)中的C取不同的值，得到C取6時，效果較好，分析其濾波函數(shù)特性，并與其他濾波函數(shù)重建圖像比較。不同濾波函數(shù)的頻域特性曲線如圖2所示。

表1 不同濾波函數(shù)的表達(dá)形式

圖2 不同濾波函數(shù)的頻域曲線

2.2 濾波函數(shù)主瓣與旁瓣特性

基于一定的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，對一定頻域內(nèi)的濾波函數(shù)進(jìn)行Fourier變換以及級數(shù)展開分析其幅頻特性，評價濾波效果。已知H(ω)是偶函數(shù)，將其Fourier變換到空域濾波時，函數(shù)h(S)也為偶函數(shù)，其表現(xiàn)形式如式(7)所示。

h(S)可以根據(jù)級數(shù)展開，得到以下展開式：

式(8)進(jìn)一步變換可得到：

式中：m0為主瓣幅值。

令h(S)=0，則

m0-m2(2πS)2/2+m4(2πS)4/24-…=0

得到方程的解Sk(代表k次冪的第k個解)，根據(jù)展開式以及方程的解討論濾波函數(shù)的特性。式(10)中主瓣幅值為m0，寬度為d0=2S0，旁瓣幅值為h(Sk+dk/2)，寬度為dk=Sk+1-Sk，表2給出R=0.5時的幾種濾波函數(shù)在空域下的主瓣與第一旁瓣的幅值與寬度參數(shù)[6]。

對于濾波圖像的空間分辨率，要求濾波函數(shù)主瓣幅值越高寬度越窄，主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶，從而獲得較高的空間分辨率。而對于圖像密度分辨率，要求其旁瓣幅值和寬度盡可能小，以得到較高的密度分辨率。盡量減少濾波函數(shù)主瓣和旁瓣的相對幅度，也就是使信號盡量集中于主瓣，減小峰肩和紋波，進(jìn)行增加阻帶的衰減?？臻g分辨率是指能分辨最小物體的能力，密度分辨率指能分辨圖像的最小密度差，在投影數(shù)據(jù)一定的情況，空間分辨率和密度分辨率互相矛盾。對比表2的數(shù)據(jù)可以看出，Ram-Lak濾波函數(shù)的主瓣幅值最大，寬度最窄，說明圖像的空間分辨率最好，但是其旁瓣幅值較大寬度較寬，密度分辨率較差。Hann和Hamming濾波函數(shù)的主瓣幅值較小，主瓣寬度較寬，第一旁瓣幅值較小，但旁瓣寬度最大。對于EBFF，主瓣寬度相比Hann與Hamming函數(shù)較窄，而較Ram-Lak函數(shù)較寬，主瓣幅值較Ram-Lak函數(shù)小，比Hann與Hamming函數(shù)大，對于旁瓣幅值而言Ram-Lak最大，EBFF幅值最小，并且旁瓣寬度最小，說明其密度分辨率最好，綜上所述，EBFF能在空間和密度分辨率中取得較好的折中。

表2不同濾波函數(shù)主瓣和第一旁瓣的幅值和寬度

濾波函數(shù)主瓣幅值主瓣寬度第一旁瓣幅值第一旁瓣寬度Ram-LakHannHammingEBFF0.25090.08840.07430.21061.55942.05772.29081.6676-0.0823-0.0272-0.0227-0.01770.32300.75850.88680.2765

3 MATLAB試驗?zāi)M

3.1 理想環(huán)境下圖像重建

模擬試驗采用經(jīng)典Shepp-logan頭部模型[8]，重建圖像像素尺寸為512個×512個，對圖像用平行束進(jìn)行投影生成投影圖像，取180個投影角，每一次投影的增加角度為1°，采用Ram-Lak、Hann、Hamming濾波函數(shù)以及優(yōu)化后的EBFF對Shepp-logan模型進(jìn)行全局重建，分析不同函數(shù)的濾波重建效果。重建結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同濾波函數(shù)的重建圖像(MATLAB模擬)

對比圖3中不同濾波函數(shù)的重建效果，可以看出直接反投影圖像模糊，邊界不清，濾波反投影后圖像效果較好，但Ram-Lak濾波圖像比較粗糙，圖像偽影較多，視覺舒適度較差，而Hamming濾波、Hann濾波和EBFF重建圖像較光滑，偽影較少。而相比EBFF重建圖像要好，Hann濾波邊界偽影較多，EBFF圖像偽影相對較少。

對比濾波圖像，取不同濾波函數(shù)重建圖像的第250行灰度數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，分析濾波后灰度值的波動情況，結(jié)果如圖4所示。

圖4 幾種濾波函數(shù)重建圖像與原始圖像的灰度數(shù)據(jù)(第250行)對比

從圖4可看出，Ram-Lak濾波函數(shù)波動較大，原因在于其對頻域內(nèi)的各個頻域部分進(jìn)行了線性放大，在放大高頻分量時，也放大了高頻噪聲，產(chǎn)生嚴(yán)重的Gibbs現(xiàn)象。EBFF能較好地減小Gibbs效應(yīng)的影響，對各個頻域分量進(jìn)行非線性放大的同時，較好地減小了高頻噪聲，弱化了噪聲對重建圖像質(zhì)量的影響，故重建圖像的質(zhì)量較好[7]。

不同濾波函數(shù)的濾波效果會有所不同，重建圖像的質(zhì)量也會有所差異。為量化比較上述濾波函數(shù)對圖像重建質(zhì)量的影響，分別將上述4幅圖像與原始圖像對比，計算其相似系數(shù)ε，歸一化均方根距離d以及歸一化平均值r，信噪比SNR。

表3 不同濾波函數(shù)的評價數(shù)據(jù)比較

ε表示濾波圖像與原始圖像的相似程度，值越大，濾波效果越好，空間分辨率越高；d較為靈敏地反映了少數(shù)點、大誤差的情況[11]；r反映了多數(shù)點、小誤差的變化；與d相反，SNR反映信號值與噪聲大小的比值，值越大，圖像質(zhì)量越好。

對比表3中的計算結(jié)果，Ram-Lak濾波函數(shù)的ε最大，說明與原始圖像最接近，d以及r值都是最小，反映了誤差變化小的特點，但是SNR值最小，說明噪聲干擾較強(qiáng)。EBFF的d值相比Hann，Hamming的要小，三者濾波性能以及圖像分辨率肉眼差異不大。表中可直觀得出EBFF信噪比SNR比Ram-Lak的大，相比Ram-Lak濾波函數(shù)抗噪能力更佳。而EBFF的r值較Hann和Hamming的小，說明對于減小誤差的多數(shù)點而言其圖像效果更佳。 由于Ram-Lak函數(shù)與原始圖像的灰度值相接近，即使波動較大，按照上述公式計算，ε仍然最大，但是得到的SNR最小，圖像偽影較多，視覺效果較差。綜合考慮，選取EBFF函數(shù)能得到一種折中的結(jié)果，獲得較為良好的重建效果。

3.2 噪聲環(huán)境對重建結(jié)果的影響

通常情況下，在濾波重建分析中要考慮噪聲對重建圖像的影響，一般情況下考慮泊松噪聲的影響，因此，在模擬中對數(shù)據(jù)加入泊松噪聲[12]，得下式。

通過改變噪聲參數(shù)λ來改變模擬噪聲的大小，得到重建圖像，分析不同噪聲情況下的重建圖像質(zhì)量，獲得評價數(shù)據(jù),通過ε、d和r對重建圖像質(zhì)量進(jìn)行評價。加入λ=2的泊松噪聲重建圖像如圖5所示，評價數(shù)據(jù)如表4所示。

對比表3及表4，圖5可看出，對于加入噪聲后的圖像質(zhì)量，采用Ram-Lak函數(shù)后的評價值變化最大，其抗噪性能最差，其他濾波函數(shù)的評價值變化相對較緩。由表3可以看出，EBFF的d以及r都小于其他函數(shù)，其對應(yīng)分辨率相比其他函數(shù)要好，加入噪聲后，抗噪性能較好。而對于該濾波函數(shù)在實際中的應(yīng)用效果，還需在試驗中進(jìn)一步驗證。

圖5 加入泊松噪聲 (λ=2)后不同濾波函數(shù)的重建圖像

濾波函數(shù)εdrRam-LakHannHammingEBFF0.91880.97250.97140.97150.42660.31820.32010.31460.54170.40970.40460.3965

4 試驗方法與應(yīng)用

試驗采用外徑1.5 cm的鋁材圓柱管作為重建物體，重建圖像像素尺寸為300個×300個，源距離探測器80.5 cm，源-物距離75 cm,探測器像素尺寸0.127 mm。對圖像用小角度扇形束進(jìn)行投影生成投影圖像，取360個投影角，每一次投影的增加角度為1°，采用Ram-Lak,Hann,Hamming以及EBFF對重建物體全局進(jìn)行重建,取重建圖像某一斷層切片進(jìn)行分析，比較不同函數(shù)的重建效果。鋁圓柱管的不同濾波函數(shù)的試驗重建與MATLAB重建結(jié)果如圖6，7所示，取各濾波函數(shù)的第150行灰度值圖像進(jìn)行分析，如圖8所示。

圖6 鋁圓柱管的不同濾波函數(shù)的試驗重建圖像

圖7 鋁圓柱管的不同濾波函數(shù)的MATLAB圖像重建及其三維圖像

圖8 各濾波函數(shù)重建圖像的第150行灰度數(shù)據(jù)及其局部放大數(shù)據(jù)

對比圖6中的斷層重建結(jié)果，表明EBFF的重建效果相較其他3種濾波函數(shù)要好。圖7為利用MATLAB模擬生成的可視化立體圖像，可明顯看出各種濾波函數(shù)重建圖像能力的差別。對于圖8標(biāo)注部分而言，Ram-Lak灰度值波動最大，EBFF邊緣拐點值與峰值差為0.073 9，Hamming函數(shù)重建圖像灰度拐點值與峰值差為0.112 1,表明EBFF灰度值波動最小，優(yōu)化獲得的圖像質(zhì)量良好。綜上所述，試驗和模擬的結(jié)果吻合得較好，優(yōu)化函數(shù)性能較好。

5 結(jié)論

(1) Hann、Hamming以及EBFF都能很好地消去部分噪聲，減少噪聲的影響;相比傳統(tǒng)濾波函數(shù)，EBFF具有更良好的圖像重建效果，提高了圖片的分辨率，重建圖像質(zhì)量更佳。

(2) EBFF具有較大的主瓣幅值，主瓣附近旁瓣幅值也較小,能使有用信號集中于主瓣，減小了對噪聲的放大，能有效抑制噪聲對圖像的影響，表明EBFF在抗噪方面的性能較好。

(3) 就上述幾種濾波函數(shù)而言，EBFF能得到相對較好的重建圖像質(zhì)量, 但其圖像分辨率和抗噪性能還有待進(jìn)一步提高，圖像銳度還需改善。

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OptimizationofExponential-BasedFilterFunctioninCTImageReconstruction

MA Sihan, ZHANG Cui, CHEN Zhanggu, ZHANG Yihai , PAN Xiaodong,SHANG Hongjie, LI Gongping

(School of Nuclear Science and Technology, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

Computed tomography (CT) has been widely applied in industrial, medical, defense, aerospace and other fields. With the continuous development of science and technology, higher requirements on CT for getting more accurate information on the internal structure of the material are put forward and one hopes to display more detailed and complete organizational structure information in reconstruction image. In this article, an exponential-based filter function(EBFF) is proposed to obtain a better image quality by using exponential-based filter function to reconstruct the image in the MATLAB platform, and the parameters ofε,randdare exploited to compare image reconstruction results with several traditional filter functions. Furthermore, EBFF was used to reconstruct the image under the experimental platform of cone beam CT. Both simulation and experiment results show that EBFF has some improvement on the reconstructed image quality, and compared to the traditional filter function EBFF can give a better reconstruction result and is helpful to the optimization of the results of image reconstruction.

image reconstruction; FBP algorithm; filter function; Radon transformation

TG115.28;TL99

A

1000-6656(2017)12-0001-06

2017-06-13

蘭州大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育基地建設(shè)資助項目

馬思漢(1995-)，男，碩士，主要從事X射線成像研究

李公平，ligp@lzu.edu.cn

10.11973/wsjc201712001