例談高中數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)
——“函數(shù)零點(diǎn)”的教學(xué)反思

陳玉娟

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213003)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容．“函數(shù)與方程”是函數(shù)一章繼指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三種重要函數(shù)模型后函數(shù)思想方法的具體應(yīng)用,主要涉及函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在定理．筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)概念和定理的理解深刻性不夠,綜合應(yīng)用困難較大．為此,本人進(jìn)行了教學(xué)反思,希望同行不吝賜教．

1 在概念和定理的認(rèn)知中,注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力、全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一．

蘇教版《高中數(shù)學(xué)必修1》對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的定義、定理分別是這樣描述的：

定義使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．

定理若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)．

1.1 揭示本質(zhì)特征,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

函數(shù)與方程是密不可分的,圖象是函數(shù)的一種重要表達(dá)方式,為了幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)零點(diǎn)的概念,教學(xué)中可從學(xué)生已有的方程、函數(shù)圖象的知識(shí)入手逐層提供探索的空間．

(1)創(chuàng)設(shè)情境,明確目標(biāo)

試解下列方程：①x2-2x-1=0；②x3-2x-1=0；③lnx+2x-6=0．

(2)觀察對(duì)比,形成概念

在幾何畫(huà)板的幫助下,分別繪制函數(shù)f(x)=x2-2x-1,g(x)=x3-2x-1,h(x)=lnx+2x-6的圖象,引導(dǎo)學(xué)生考察函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)與相應(yīng)方程根之間的聯(lián)系,由此引入函數(shù)零點(diǎn)的概念．

(3)認(rèn)識(shí)關(guān)系,建構(gòu)聯(lián)系

首先,通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示,組織學(xué)生探討二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題,由此建立它與相應(yīng)方程ax2+bx+c=0根的聯(lián)系,得出下表：

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(-b2a,0)無(wú)交點(diǎn)ax2+bx+c=0的根x1,2=-b±Δ2ax1=x2=-b2a無(wú)實(shí)根y=ax2+bx+c的零點(diǎn)x1,2=-b±Δ2ax1=x2=-b2a無(wú)零點(diǎn)

接著組織學(xué)生進(jìn)一步研討得出一般情況下方程與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系：

1.2 創(chuàng)設(shè)新的情境,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)．在完成教材中簡(jiǎn)單的例題教學(xué)之后,教師可進(jìn)行變式和拓展,提出更為深刻的問(wèn)題．如：函數(shù)y=lnx+2x-6存在幾個(gè)零點(diǎn)？

課堂實(shí)踐發(fā)現(xiàn),學(xué)生的策略一是采取列舉嘗試的方法,但發(fā)現(xiàn)該方法不確定因素較多,可能多次嘗試也不一定成功．策略二是畫(huà)出函數(shù)y=lnx+2x-6的圖象,但需結(jié)合函數(shù)性質(zhì),列表、描點(diǎn)才能畫(huà)圖,其中還涉及l(fā)nx的函數(shù)值的計(jì)算,整個(gè)過(guò)程比較繁瑣．

如何才能化繁為簡(jiǎn)呢？教師應(yīng)逐步指點(diǎn)學(xué)生思考的方向,探究靈活簡(jiǎn)捷的思維途徑．

1.3 添加新的條件,培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

在定理的學(xué)習(xí)中,可提出以下問(wèn)題,引領(lǐng)學(xué)生探究：

問(wèn)題1：定理?xiàng)l件中的[a,b]和結(jié)論中(a,b)能互換嗎？能都改為(a,b)(或[a,b])嗎？

問(wèn)題2：定理結(jié)論中僅談及零點(diǎn)的“存在性”,能進(jìn)一步得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)嗎？

問(wèn)題3：定理的逆命題,即“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),則f(a)·f(b)<0”成立嗎？

問(wèn)題4：在定理的具體應(yīng)用中,區(qū)間端a,b的值如何確定？

對(duì)于問(wèn)題1、2、3,可組織學(xué)生自我研討,對(duì)于問(wèn)題4,教師可設(shè)計(jì)典型例題來(lái)解決．

2 在概念和定理的應(yīng)用中,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)智慧

“零點(diǎn)”內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和化歸、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等,教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷由圖形連續(xù)變化的趨勢(shì)來(lái)判斷零點(diǎn)存在與否的過(guò)程,體會(huì)和感悟函數(shù)與方程之間的關(guān)系,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和分類(lèi)討論的方法,化繁為簡(jiǎn)、化難為易解決問(wèn)題．為此,教師應(yīng)設(shè)計(jì)典型例題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)智慧．

例已知a為實(shí)常數(shù),若函數(shù)f(x)=lnx-ax+1恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍．

2.1 分類(lèi)思想巧在“標(biāo)準(zhǔn)”,化“繁”為“簡(jiǎn)”

分類(lèi)思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),將其分成幾個(gè)不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想．對(duì)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,需要采取分類(lèi)討論的解題策略來(lái)解決[1]．應(yīng)用分類(lèi)討論,往往能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．

例題分析由題意,f′(x)=x-1-a．因?yàn)楹袇⒆兞縜,所以需通過(guò)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的圖象,從而進(jìn)一步研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,這是問(wèn)題的突破口．由f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)易知分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)．

①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)a>0時(shí),在區(qū)間(0,a-1)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,得出f(a-1)為函數(shù)f(x)的極大值即最大值,從而可畫(huà)出函數(shù)的大致圖象．

2.2 數(shù)形結(jié)合貴在“結(jié)合”,化“虛”為“實(shí)”

把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究,或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究,這種解決問(wèn)題過(guò)程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略,就是數(shù)形結(jié)合的思想．

例題分析數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),一方面,我們可以借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)”,畫(huà)出y=f(x)的圖象,如圖1.另一方面,我們還需將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,借助于“數(shù)”的精確,規(guī)范地闡明“形”的屬性,以獲得精確的結(jié)論．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值,只能畫(huà)出函數(shù)的“草圖”,定性地分析函數(shù)兩端的圖象趨勢(shì),即當(dāng)x→0時(shí),f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞．由此得出f(a-1)>0,解得0

圖1

因此,當(dāng)我們難以從圖形中采納到精確的信息時(shí),就應(yīng)在觀察圖象的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)精確的代數(shù)計(jì)算來(lái)確定最后的結(jié)論．對(duì)此,華羅庚先生曾有非常精辟的表述：“數(shù)形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛．?dāng)?shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”．

2.3 函數(shù)思想妙在“構(gòu)造”,化“難”為“易”

函數(shù)、方程都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題時(shí)常需要構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造法屬非常規(guī)思維,它適用于對(duì)某些常規(guī)方法不易解決的問(wèn)題．

例題分析由圖1可知,若f(a-1)≤0,則f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn),從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)a的一個(gè)必要條件是f(a-1)>0,即0

定理?xiàng)l件中函數(shù)圖象的連續(xù)性和單調(diào)性是顯然的,關(guān)鍵在于區(qū)間端“a,b”的值的確定,即前文中的問(wèn)題4.不妨設(shè)x1,x2(x10．所以存在x1∈(e-1,a-1),使得f(x1)=0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(e-1,a-1)存在一個(gè)零點(diǎn)．圍繞零點(diǎn)x2區(qū)間端“a,b”值的尋求和證明比較困難,需要直覺(jué)觀察,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行邏輯證明．區(qū)間的左端顯然是a-1,右端需先觀察、猜測(cè)b取大于a-1的e2a-2,再構(gòu)造函數(shù)證明f(e2a-2)<0．因?yàn)閒(e2a-2)=3-2lna-e2a-1,為此,構(gòu)造函數(shù)F(a)=3-2lna-e2a-1(00,F(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以F(a)

圖2

2.4 轉(zhuǎn)化思想重在“歸一”,化“生”為“熟”

轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．我們經(jīng)常通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題．

上文中圍繞零點(diǎn)x2區(qū)間端“a,b”中b的取值,需要先猜后證,給問(wèn)題的解決帶來(lái)了較大困難,大多數(shù)學(xué)生感覺(jué)“猜”的過(guò)程似乎“大海撈針”,“撈”上的也可能不是需要的“針”．產(chǎn)生困難的原因在于f(x)的解析式中含有的lnx,它的函數(shù)值計(jì)算不方便,也較難估算．而且它與-ax+1不是 “同一系列”的函數(shù),如果能把他們轉(zhuǎn)化為“同類(lèi)”關(guān)系,問(wèn)題就容易解決了．另外,還需弄清楚尋找零點(diǎn)x2區(qū)間的右端“b”的最終目的是要達(dá)成定理中的一個(gè)條件,即f(b)<0．兩點(diǎn)結(jié)合起來(lái)看,若能把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為開(kāi)口向下的二次函數(shù)就“猜著了”．

2.5 實(shí)踐體悟數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段．?dāng)?shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映了數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系[3]．筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想形成的前提是讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用的歷練,而教師提供時(shí)間與空間是“方法”提升為“思想”的保證．為了促使學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)的思想方法,提升數(shù)學(xué)的思維能力,教學(xué)中就需要教師進(jìn)一步的引領(lǐng)和學(xué)生群體的互動(dòng)．

若函數(shù)g(x)=f(x)-ax恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

學(xué)生解決問(wèn)題的策略大致歸為兩類(lèi)．

方法1第一步：運(yùn)用轉(zhuǎn)化劃歸的思想方法．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程f(x)-ax=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)a的取值范圍．

第二步：運(yùn)用函數(shù)思想方法．分別構(gòu)造函數(shù)y=f(x)和y=ax,問(wèn)題再次轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．

圖3

教學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),采用方法1的學(xué)生出錯(cuò)率較高,原因一是畫(huà)圖粗糙,沒(méi)能正確求得兩個(gè)特殊位置對(duì)應(yīng)的a的值,二是沒(méi)能準(zhǔn)確地“運(yùn)動(dòng)”觀察、討論兩個(gè)圖象的交點(diǎn)情況．方法2由于巧妙“構(gòu)造”了平行直線系,彌補(bǔ)了以上不足,“看圖說(shuō)話”較方法1容易許多,準(zhǔn)確率較高．

圖4

數(shù)學(xué)思想方法都是以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ),反過(guò)來(lái)又促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深化以及向能力的轉(zhuǎn)化．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)必須鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),不僅是行為上的參與,更要有思維上的參與．筆者認(rèn)為,在高中數(shù)學(xué)的核心概念教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵和的重要規(guī)律．要通過(guò)各種方式激活思維,深化思維,不斷地提高數(shù)學(xué)思維能力．這樣才能逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．