孫慶括

(南昌師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 330032)

①本文系2015年江西省高等學(xué)校教改課題“基礎(chǔ)教育新課改背景下高師《數(shù)學(xué)史》課程體系改革研究”(JXJG-15-23-7)系列成果之一.

自從20世紀(jì)80年代美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德(R.Wilder)提出了數(shù)學(xué)是一種文化體系的觀點(diǎn)后，數(shù)學(xué)文化研究受到了世界各國(guó)的普遍重視，并在世界范圍內(nèi)掀起一股數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教育的研究熱潮.我國(guó)2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》更是把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”作為高中數(shù)學(xué)課程的十項(xiàng)基本理念之一，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，要求把數(shù)學(xué)文化滲透到每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中[1].為落實(shí)這一理念，各種版本的高中數(shù)學(xué)教材在每章節(jié)中都安排了蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)文化價(jià)值的“閱讀材料”.進(jìn)一步，無(wú)論各省市高考自主命題的地方卷，還是新課標(biāo)全國(guó)卷，均出現(xiàn)了以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風(fēng)景，尤其是湖北省，已經(jīng)連續(xù)多年命制此類(lèi)考題，逐漸形成了“依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)文化”高考數(shù)學(xué)命題特色和亮點(diǎn)[2].對(duì)近十年高考數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行剖析，一方面為后續(xù)高考命題者命制出素材更加豐富和題型更加新穎的試題提供啟發(fā).另一方面，為廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師更合理地利用教材進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的探究式教學(xué)提供參考.

1 試題特征分析

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，2008-2016年有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題共34道(數(shù)學(xué)文化的標(biāo)準(zhǔn)不同，本文采用南開(kāi)大學(xué)顧沛教授的數(shù)學(xué)文化廣義內(nèi)涵，包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等)，在高考數(shù)學(xué)試題中的分值比重已越來(lái)越大，涉及湖北、北京、上海、浙江、江蘇、江西、福建、全國(guó)卷等.其中，湖北卷幾乎年均有2-3題左右，全國(guó)卷從2015年開(kāi)始重視，以后每年都有題目出現(xiàn).為更直接地體會(huì)全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)文、理試卷中的數(shù)學(xué)文化試題，按年份列出下表(見(jiàn)表1)，并總結(jié)出了數(shù)學(xué)文化背景試題的一些特征：

第一，從文理試卷分配看，數(shù)學(xué)文化背景試題出現(xiàn)在理科數(shù)學(xué)卷中較多，文科卷相對(duì)較少，但全國(guó)卷中文科卷出現(xiàn)較多.第二，從題型和知識(shí)點(diǎn)分布看，基本以選擇題和填空題為主，計(jì)算題和證明題相對(duì)較少.另外，涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要集中在函數(shù)、數(shù)列、立體幾何證明與計(jì)算、各類(lèi)幾何形體的體積計(jì)算、比例計(jì)算、算法程序框圖等.其中，數(shù)列與幾何形體的體積計(jì)算、算法程序框圖所占比重明顯較大，也出現(xiàn)了有關(guān)數(shù)學(xué)史的幾何證明題，且分值較大.第三，從素材選取來(lái)源來(lái)看，出自我國(guó)數(shù)學(xué)名著的數(shù)學(xué)文化真題幾乎均來(lái)源于《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》及《算數(shù)書(shū)》，其中以《九章算術(shù)》為主.大多以古代社會(huì)人們的生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際為背景，且先用古漢語(yǔ)描述，再以現(xiàn)代漢語(yǔ)予以翻譯和解釋.另外，外國(guó)古代數(shù)學(xué)文化也有涉及，多以數(shù)學(xué)名題為主.可見(jiàn)，命題者也注意到了數(shù)學(xué)的文化多元性思想.第四，從類(lèi)別和價(jià)值上看，涉及數(shù)學(xué)史料中的古算題、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)家人物及優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的文化聯(lián)系等.其中，數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的文化聯(lián)系所占比例較少.進(jìn)一步，突出科學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值及應(yīng)用價(jià)值較多，突出美學(xué)價(jià)值較少.第五，從呈現(xiàn)方式看，僅有顯性和隱性?xún)煞N形式.其中，顯性形式是直接給出數(shù)學(xué)文化背景作為試題的情景或引子，解答與數(shù)學(xué)文化背景基本無(wú)關(guān).而隱性形式是指不直接給出數(shù)學(xué)文化背景，隱含考查與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的知識(shí)和思想方法[3].而顯性和隱性?xún)煞N相結(jié)合的呈現(xiàn)方式?jīng)]有涉及.

表1 2008-2012年全國(guó)高考數(shù)學(xué)文化試題特征統(tǒng)計(jì)

2 試題欣賞與評(píng)析

2.1 以中國(guó)數(shù)學(xué)典籍史料中優(yōu)秀成果為背景

1.算數(shù)書(shū)

評(píng)析此題來(lái)源于成書(shū)于公元前186年以前的《算數(shù)書(shū)》，是目前已知最早的中國(guó)數(shù)學(xué)著作，對(duì)后世《九章算術(shù)》的產(chǎn)生也有一定影響，開(kāi)創(chuàng)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)重應(yīng)用的特色，標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系開(kāi)始初步形成.本題考查圓錐的體積計(jì)算，較為簡(jiǎn)單，答案為B.但它的意義和價(jià)值實(shí)際上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了試題本身，會(huì)激發(fā)考生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識(shí)，了解中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.

2.九章算術(shù)

例3(2015全國(guó)Ⅰ卷·文6)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)“積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( ).

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

圖1

評(píng)析兩道題均來(lái)自于大約成書(shū)于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其內(nèi)容包括方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，全書(shū)共有246個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題均有給出相當(dāng)于數(shù)學(xué)公式的解答.例2和例3從試題形式上看有一定的相似性，較為簡(jiǎn)單.都是以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題為顯性材料，通過(guò)文言與翻譯相匹配理解問(wèn)題的含義，結(jié)合球體積、圓錐體積等立體幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，素材新穎，貼近生活，弘揚(yáng)了中國(guó)數(shù)學(xué)文化.例2根據(jù)球體積公式答案計(jì)算為D.例3根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，進(jìn)而求出其體積，再估算出堆放米的數(shù)量為B.

3.數(shù)書(shū)九章

例4(2013湖北卷·文16)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.注：① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸.

例5(2016全國(guó)Ⅱ卷·理8) 中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=.

A．7 B．12 C．17 D．34

圖2

評(píng)析試題源于成書(shū)1247年南宋時(shí)期秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》，是對(duì)《九章算術(shù)》的繼承和發(fā)展，概括了宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰.例4考查的是幾何形體圓臺(tái)的體積計(jì)算，與例1、例2和例3一樣，都是以典籍史料中的問(wèn)題為背景，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用求得答案為3寸.例5不同于例1-4題，僅局限于把《數(shù)書(shū)九章》中的“多項(xiàng)式值的算法”作為一個(gè)材料背景，而是把其中的秦九韶思想與算法的程序框圖結(jié)合起來(lái)進(jìn)行再創(chuàng)造，讓考生運(yùn)用所學(xué)的基本知識(shí)和技能解決問(wèn)題，正是這道題的創(chuàng)新點(diǎn)，值得推廣.

2.2 以外國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)名題為背景

1.阿波羅尼斯圓

例6(2014湖北卷·文17)已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A(-2,0)，若定點(diǎn)B(b,0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿(mǎn)足：對(duì)圓O上那個(gè)任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則b=,λ=.

2.皮克定理

例7(2013湖北卷·文17)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù)，則稱(chēng)點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱(chēng)該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖3中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.

圖3

(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是；

(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18，則S=.

例8(2011北京卷·理8)設(shè)A(0,0),B(4,0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N(t)的值域?yàn)? ).

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

3.布洛卡點(diǎn)

圖4

例10(2011北京大學(xué)保送試題)△ABC內(nèi)部一點(diǎn)O，滿(mǎn)足∠BAO=∠CAO=∠ACO，

求證：三邊成等比數(shù)列.

2.3 以數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系為背景

例10(2012湖北卷·文17)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99.三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.則：

(1)4位回文數(shù)有個(gè)；(2)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有個(gè).

評(píng)析“回文”是古今中外文學(xué)作品中都有的一種特殊修辭方式，是正讀反讀都能讀通的句子，有回文詩(shī)、回文聯(lián)等.如“靈山大佛，佛大山靈”，其意境和韻味讀來(lái)都是美妙的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)之美.數(shù)學(xué)中的“回文數(shù)”是指無(wú)論從左讀到右還是從右讀到左，都是同一個(gè)數(shù).如121，2002，12321等.第1問(wèn)中4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，即9×10=90；第2問(wèn)中根據(jù)規(guī)律2位數(shù)有回文數(shù)9個(gè)，3位數(shù)有90個(gè)，4位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00，11，22，…99”，故有90個(gè)，即有2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同.而2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0，有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，故個(gè)數(shù)為9×10n.

3 啟示與思考

3.1 命題者要兼顧題型多樣化和設(shè)計(jì)方式創(chuàng)新性

第一，研究數(shù)學(xué)文化題型設(shè)計(jì)的多樣化.改變當(dāng)前多以選擇題和填空題為主，題型單一，考查功能有所缺失的特點(diǎn).研究設(shè)計(jì)包括證明題和計(jì)算題等其他題型，同時(shí)探索多元化的設(shè)問(wèn)方式，提高數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的考查信度和效度.

第二，豐富數(shù)學(xué)文化素材選取的類(lèi)型.目前素材類(lèi)型主要涉及數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名題等，像數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系等其他類(lèi)型涉及較少.因此，從實(shí)際出發(fā)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際和考試效度選擇豐富的數(shù)學(xué)文化素材類(lèi)型設(shè)計(jì)試題至關(guān)重要.比如美國(guó)《數(shù)學(xué)教師》雜志在這方面進(jìn)行了大量研究.從2007-2012年共發(fā)表數(shù)學(xué)文化類(lèi)論文120篇，其中涉及數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、數(shù)學(xué)與文學(xué)、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)與建筑、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與游戲、數(shù)學(xué)與體育等8類(lèi)主題，每類(lèi)主題均開(kāi)發(fā)了大量素材新穎的數(shù)學(xué)文化試題.

第三，創(chuàng)新數(shù)學(xué)文化試題的呈現(xiàn)方式.目前，大多數(shù)試題以數(shù)學(xué)文化背景或數(shù)學(xué)名題“再現(xiàn)”的方法進(jìn)行呈現(xiàn)，考查方式較為傳統(tǒng).因此，要把數(shù)學(xué)文化內(nèi)容與考查學(xué)生的觀察、歸納、概括、猜想、發(fā)現(xiàn)等能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)合起來(lái).比如Suzuki[5]通過(guò)數(shù)學(xué)與詩(shī)歌之間的聯(lián)系，結(jié)合集合和排列知識(shí)，開(kāi)發(fā)了這樣一道試題：詩(shī)歌的每一行末尾是押韻的，分別以A、B、C、D等來(lái)表示各個(gè)韻腳.在數(shù)學(xué)上，這些字母各對(duì)應(yīng)于一些單詞所組成的集合.如A={moon,tune,spoon,…}，B={fate,late,mate,date,…}.若詩(shī)歌的韻律為ABAB，則第一、三行以A中的單詞結(jié)尾，二、四行以B中的單詞結(jié)尾.一首好詩(shī)要求集合A、B、C、…不能有交集.如莎士比亞十四行詩(shī)的韻律為ABAB CDCD EFEF GG.問(wèn)：(1)三個(gè)韻腳A、B和C共有多少種排列？(3!=6).(2)一首6×3=18行的詩(shī)歌應(yīng)包含的所有格式為？(ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA).

3.2 教師要巧用教材中數(shù)學(xué)文化素材展開(kāi)探究教學(xué)

第一，巧用教材中數(shù)學(xué)文化專(zhuān)題或模塊進(jìn)行常規(guī)教學(xué).一方面，挖掘教材中許多專(zhuān)題的獨(dú)特文化背景，利用問(wèn)題、方法的背景或者產(chǎn)生的曲折歷程，創(chuàng)設(shè)充滿(mǎn)濃郁數(shù)學(xué)文化的教學(xué)問(wèn)題情景.另一方面，借助數(shù)學(xué)文化突破教學(xué)難點(diǎn).如對(duì)高中函數(shù)概念的教學(xué)，如果采取傳統(tǒng)的先給出定義，再舉例、練習(xí)強(qiáng)化的方式進(jìn)行教學(xué)，往往效果不佳．教學(xué)中可以先利用函數(shù)概念的發(fā)展史，從變量說(shuō)引入，到對(duì)應(yīng)說(shuō)，再到關(guān)系說(shuō)，再合理應(yīng)用一些“怪的函數(shù)”如符號(hào)函數(shù)和高斯函數(shù)等，可以幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念和本質(zhì)，從而提升學(xué)生對(duì)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

第二，善用教材中隱性數(shù)學(xué)文化知識(shí)進(jìn)行拓展訓(xùn)練.當(dāng)前教材中出現(xiàn)了許多高考數(shù)學(xué)文化命題素材來(lái)源題.如“阿波羅尼斯圓”、“回文數(shù)”、“三角形數(shù)”分別出現(xiàn)在人教版高中數(shù)學(xué)必修2第131頁(yè)習(xí)題4及必修3第51頁(yè)第3題和必修5第28頁(yè)的正文部分.因此，教師上課時(shí)要有意識(shí)的對(duì)這些數(shù)學(xué)文化素材或歷史名題進(jìn)行拓展改編.比如根據(jù)布洛卡點(diǎn)的基本性質(zhì)，就可以結(jié)合余弦定理、外森比克不等式和等比數(shù)列等知識(shí)拓展許多變式問(wèn)題[6].

第三，編寫(xiě)具有數(shù)學(xué)文化的校本課程或講義.比如可以搜集資料編寫(xiě)數(shù)學(xué)歷史名題集和部分高中數(shù)學(xué)知識(shí)歷史發(fā)展專(zhuān)題講義.進(jìn)一步，鼓勵(lì)學(xué)生閱讀關(guān)于與中學(xué)數(shù)學(xué)教育相關(guān)的數(shù)學(xué)文化著作.