胡志廣 阿孜古麗·吉力力

(1. 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 300387； 2. 新疆和田地區(qū)教育學(xué)院 848000 )

在中學(xué)，圖形的相似和位似是兩個教學(xué)內(nèi)容.

定義1如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形相似.

定義2兩個多邊形相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊平行或共線，這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

關(guān)于位似圖形，人教版就采用上面的定義方式.但不同教材給出的定義不盡相同，位似概念引起了很多老師的討論([1-5])，甚至產(chǎn)生誤解(可見[3]).本文，我們給出位似概念的常見誤解剖析，并給出圖形位似的常見等價形式：

定理下面陳述中，當(dāng)圖形都是多邊形時，相互等價：

(1)兩多邊形位似，即它們相似，且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊平行或共線.

(2)兩圖形相似且對應(yīng)點的連線過一固定點.

1 常見誤解的剖析

(a)定理中的相似為“一種存在”，不一定與所給的相似相同.如圖一，正方形ABCD與正方形GFEB相似，而在此對應(yīng)下，對應(yīng)頂點的連線沒有公共交點.但這兩個正方形位似，且有兩個位似中心O和P.

圖一

圖二

圖三

圖四

(b) 定理的(1)中的“對應(yīng)邊平行或共線”不可缺少.如圖二，三角形ABC與ABD關(guān)于AB軸對稱，它們?nèi)?，自然相?顯然它們有對應(yīng)邊不平行，故不位似.也可見[4]中的反例.

(c)定理的(1)中的“相似”不是多余條件.如圖三，梯形ABEF與BCDE不位似.

(d)定理的(1)中的“對應(yīng)頂點的連線相交于一點”不能少.如圖四，三角形的平移不位似.

(e)定理的(2)中的對應(yīng)點不能是“對應(yīng)頂點”，與上(b)同.

(f)定理中的(3)之②的“向量”不能改成“線段”.如位似比為k和-k的圖形組合.

2 定義等價的證明

(2)?(1)設(shè)AB和A′B′是不共線的對應(yīng)邊，假設(shè)AB和A′B′不平行，設(shè)交點為H.取AB和A′B′的中點C和C′，則它們是對應(yīng)點，從而C、C′和O三點共線.由梅涅勞斯定理，用直線COC′分別截△AA′H和△BB′H，得

圖五

這說明AB∥A′B′，矛盾.因此AB∥A′B′.

若AB∥A′B′，則如圖六所示都有

圖六

若AB和A′B′共線，分兩種情況討論.當(dāng)點A、B均不等于點O，則頂點A和B所在的另一邊ZA和BC分別平行于Z′A′和B′C′，于是

注意到kAB至少與kZA和kBC之一相等，不妨設(shè)kAB=kZA.于是

也得到kCD=kZA.

(3)?(2)我們先證明命題：在(3)的條件下, 邊對應(yīng)于邊.

=cos∠A′B′C′，

可知對應(yīng)角相等.因此兩多邊形相似.

3 圖形位似的性質(zhì)

(i)M1與M2位似，位似比為k1，M2與M3位似，位似比為k2，則當(dāng)k1k2≠1時，M1與M3位似，位似比為k1k2；當(dāng)k1k2=1時，M1與M3重合或相差一個平移.

設(shè)位似中心分別為O1和O2，在位似變化下，A1的像為A2，A2的像為A3，于是有

從而

當(dāng)k1k2≠1時，上式可變形為

(ii) 兩有界位似圖形的位似中心至多有兩個.并且有兩個位似中心的多邊形邊數(shù)為偶數(shù).

注：兩平行線有無窮多個位似中心.