沈中宇 沈金興

(1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 200241; 2.浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué) 314500)

1 引言

“平面”是高中數(shù)學(xué)立體幾何中學(xué)生正式接觸到的第一個抽象概念.人教版《數(shù)學(xué)2》(必修)從生活情境引入平面，并利用生活中的實例引出平面的性質(zhì)，這樣的設(shè)計突出了平面的生活氣息，但從生活中的平面抽象到數(shù)學(xué)中的平面，學(xué)生在對平面的進(jìn)一步認(rèn)識上存在障礙.在教學(xué)中，受希爾伯特幾何公理體系的影響，平面概念是作為不加定義的原始概念出現(xiàn)的.于是，教師通常忽視此概念的教學(xué)以及學(xué)生的原有認(rèn)識.

實際上，數(shù)學(xué)教育家早就認(rèn)識到，人的頭腦并不是一個單純的邏輯實體，其內(nèi)部復(fù)雜運行方式與單純的數(shù)學(xué)邏輯不同，因此，我們必須區(qū)分正式定義的數(shù)學(xué)概念和它們在我們認(rèn)知過程中所持有的形式.基于此原因，20世紀(jì)80年代初，D.Tall 和S.Vinner區(qū)分了概念定義和概念意象，概念意象是與某個概念相關(guān)的整個認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1].概念意象包括關(guān)于這個概念的心理圖像(概念的視覺表征和符號等)和與這個概念相關(guān)的性質(zhì).概念意象建立在個體的所有經(jīng)歷之上，隨時間而變化，了解學(xué)生的概念意象對我們非常重要[2].S. Vinner后來又提出“獲得概念就是形成概念意象”，所以形成好的概念意象，會對學(xué)生把握和運用概念有所幫助.但由于概念意象是建立在學(xué)生個體的所有經(jīng)歷之上，而不同個體的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、思維加工方式與學(xué)習(xí)習(xí)慣會不同，使用的工具也可能各異，導(dǎo)致建立的意象可能完全不同.且即便是同一個體，也會隨著時間的推移及學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累與深入，會對原有意象進(jìn)行加工、調(diào)整、補充、修改、提煉等，會形成新的意象，從而使自己的意象越來越接近于概念本身.這進(jìn)一步表明學(xué)生要真正構(gòu)建起完整準(zhǔn)確的概念根本離不開概念意象的幫助.因為它不僅可以讓我們更好地了解學(xué)生，同時對我們的教學(xué)也有促進(jìn)作用[3].

為了深入了解學(xué)生對平面概念所持的原有觀念，克服學(xué)生學(xué)習(xí)平面的障礙，更好地進(jìn)行教學(xué)，我們需要回答一下問題：未學(xué)過“平面”的學(xué)生對此概念持有什么樣的意象？由此我們可以得到什么教學(xué)啟示？

2 研究方法

2.1 樣本的選取

問卷測試的對象來自于一所普通高中的高一學(xué)生共260名，他們的數(shù)學(xué)水平根據(jù)中考的數(shù)學(xué)成績來看，呈正態(tài)分布.數(shù)學(xué)優(yōu)秀生與較薄弱的學(xué)生各占20%，60%集中在中等程度，男女生比例比較接近，具體信息如表1.由于這些學(xué)生剛從初中升入高中不到一個月，因此對高中的數(shù)學(xué)知識還知之不多，基本上停留在初中所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，故學(xué)生的頭腦中還沒有三維空間的立體感，只有二維的平面幾何印象，很適合于了解學(xué)生關(guān)于立體幾何中基本概念“平面”的原始意象是如何表征的.

表1 測試學(xué)生的數(shù)學(xué)水平與性別分布

為了進(jìn)一步了解學(xué)生心中對“平面”究竟是怎么想的，在測試后又進(jìn)行了訪談.共抽取11人作了訪談，其中男生5人，女生6人，數(shù)學(xué)水平按優(yōu)秀、中等、薄弱分別為3人、6人、2人.

2.2 研究工具

問卷調(diào)查的測試題為：當(dāng)你看到“平面”這兩個字時，你會想到什么？把你想到的寫在下面的橫線上(已經(jīng)畫好6條橫線)，有多少寫多少，不夠的可自行添加橫線.

訪談的問題為“你寫的這個內(nèi)容是怎么想到？”，主要目的就是進(jìn)一步了解學(xué)生內(nèi)心的真實想法.

2.3 問卷調(diào)查與訪談的實施

問卷測試安排在自修課上進(jìn)行，且全部有效回收.訪談安排在測試之后的一周進(jìn)行，此時已統(tǒng)計好了所有學(xué)生的回答，并已分類.所以根據(jù)回答類型，分別選擇了不同數(shù)學(xué)程度的學(xué)生.先給他們看當(dāng)時自己的回答，然后再進(jìn)行詢問，對訪談過程全程錄音并作記錄，以供繼續(xù)研究之用.

3 測試結(jié)果

3.1 問卷調(diào)查的結(jié)果

學(xué)生共給出了1110條回答，人均4.27條，其中最少的寫出0條，最多的則寫出了8條.這些回答可以分為以下7類：生活類、舊有知識類(簡稱舊知類)、圖形類、物理屬性類(簡稱物屬類)、幾何屬性類(簡稱幾屬類)、關(guān)系類和想象類.

其中生活類是與生活中學(xué)生所遇到的平面原型相關(guān)的回答，舊知類是指與學(xué)生之前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識相關(guān)的回答，圖形類為與平面圖形相關(guān)的回答，物屬類是與生活中平面原型所具有的一些物理特征相關(guān)的回答，幾屬類是與平面的幾何屬性相關(guān)的回答，關(guān)系類是和平面與點、線、面和空間之間關(guān)系相關(guān)的回答，想象類是與平面概念距離較遠(yuǎn)的一些回答，圖1給出各類意象出現(xiàn)頻率的分布情況.

每位學(xué)生所持意象的豐富程度不同，最少的沒有給出，最多的則給出了6類，平均每人寫出2.83類，圖2給出了各類別數(shù)的分布情況.

接下來對每類的具體情況進(jìn)行描述.

圖1 不同回答類型的頻率分布

圖2 各種類別的分布情況

3.1.1 生活類

生活類所占的頻數(shù)是最多的，有313條(占28.20%).此類為生活中學(xué)生所遇到的平面原型，主要包含以下幾種情況.

日常生活中常見的帶有平面特征的物體(頻數(shù)為216)：“桌面”、“地板”、“墻壁”、“地面”、“紙面”、“玻璃”、“黑板”、“平板電腦”等.

帶有平面特征的自然景觀(頻數(shù)為73)：“海平面”、“河面”、“湖面”等.

比較特殊的例子(頻數(shù)為24)：“銀河系”、“動畫”、“物體的某個面”、“物體與地面的接觸面”、“圖案”等.

3.1.2 舊知類

舊知類是所占頻數(shù)第二多的類別，有244條(占21.98%).此類為學(xué)生之前學(xué)過的與平面相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，可以分為平面幾何的知識和代數(shù)的知識兩大部分.

平面幾何知識(頻數(shù)為153)，其中占的比較多的回答是與平面相關(guān)的“點”、“線”以及平面幾何中關(guān)于點和線的相關(guān)命題(頻數(shù)為66).如“平面上兩條直線與第三條直線平行，則這兩條直線平行”、“過一點只有一條直線與另一條直線平行”等.其余還包括由平面的“平”字聯(lián)想到的“平角”、“平行線”、“平面圖”等，其中一個面為平面的立體幾何圖形如“立方體”、“多面體”等.其余還有“立體幾何”、“三維空間”、“幾何作圖”等.

代數(shù)知識(頻數(shù)為91)，其中所占較多的回答是“平面直角坐標(biāo)系”，其次是由此聯(lián)想到的“拋物線圖象”、“函數(shù)圖象”、“數(shù)軸”、“坐標(biāo)軸”等.

3.1.3 圖形類

圖形類所占的頻數(shù)也比較多，有168條(占15.14%)，此類中有直接回答為“平面圖形”(頻數(shù)為81)，也有寫特殊的平面圖形(頻數(shù)為86)如“圓”、“三角形”、“長方形”等，還有直接畫出平面圖形(頻數(shù)為1)的，如直接畫個長方形在橫線上.

3.1.4 物屬類

物屬類有78條(占7.03%)，在此類中，學(xué)生寫出生活中平面原型所具有的一些物理特征.可以將其分為關(guān)于“平”的特征、關(guān)于“大小”的特征、關(guān)于“厚薄”的特征，每類的具體表現(xiàn)如下.

關(guān)于“平”的特征(頻數(shù)為57)：“不能彎曲”、“沒有弧度”、“平的”、“水平的面”、“光滑的面”、“沒有起伏”、“扁平”等.

關(guān)于“大小”的特征(頻數(shù)為7)：“很廣”、“很大”、“無邊際”、“任意方向”等.

關(guān)于“厚薄”的特征(頻數(shù)為14)：“極薄”、“側(cè)面看是一條線”等.

3.1.5 幾屬類

幾何屬性類有158條(占14.23%)，此類中，學(xué)生對平面的幾何屬性進(jìn)行了一定的抽象刻畫.可以將這些刻畫分為4類，第一類是關(guān)于平面宏觀幾何性質(zhì)的刻畫，第二類是平面微觀幾何性質(zhì)的刻畫，第三類是對平面抽象性質(zhì)的刻畫、第四類是一些對平面性質(zhì)的錯誤刻畫.

關(guān)于平面宏觀幾何性質(zhì)(28條)，這類性質(zhì)包括平面的運動以及平面的上位概念，具體表現(xiàn)有：“旋轉(zhuǎn)”、“平移”、“位置”、“一個面”、“表面”等.

關(guān)于平面微觀幾何性質(zhì)(10條)，這類性質(zhì)包括對平面構(gòu)成的刻畫，具體表現(xiàn)有：“由點組成”、“以點概面”、“點、線構(gòu)成”等.

關(guān)于對平面抽象性質(zhì)的刻畫(110條)，包括了對平面無限延展性和無厚度兩個特性上的認(rèn)識，具體表現(xiàn)有：“二維”、“沒有厚度”、 “非立體”、“沒有長度”、“可延伸”等.

關(guān)于對平面性質(zhì)的錯誤刻畫(10條)，主要是沒有對平面無限延展性這一特性的正確認(rèn)識，具體表現(xiàn)有：“只有長和寬的面”、“封閉圖形”、“限定范圍”、“面積”、“不含點線”等.

3.1.6 關(guān)系類

關(guān)系類有63條(占5.68%)，主要是對平面與點、線、面和空間之間關(guān)系的描述與刻畫.主要可以分為2類，第一類是對點、線、面之間的空間狀態(tài)的描述，第二類是平面與點、線、面之間性質(zhì)的描述.

對點、線、面之間的空間狀態(tài)的描述(41條)包括：“平面與空間”、“同一空間”、“多個平面組成的空間”、“正方體的各面”、“平面與平面平行”、“平面與平面垂直”、“垂直于平面”、“直線與平面”、“平面與平面相交”等.

對平面與點、線、面之間性質(zhì)的描述(22條)包括：“在同一平面上”、“不在同一平面上”、“確定一個平面”、“平行的線在同一平面上”、“同一平面上的直線相交或平行”、“直線所在的平面”等.

3.1.7 想象類

想象類有86條(占7.75%)，主要是對平面一些上層思考，或者與平面概念距離遙遠(yuǎn)通過想象得到的一些圖像.主要可以分為3類，第一類是對平面的上層思考，第二類是與平面基本無關(guān)的圖像，第三類是與平面的物理屬性聯(lián)想到的性質(zhì).

關(guān)于平面的上層思考(21條)，具體表現(xiàn)有：“只是一個概念”、“什么是平面”、“平面從何而來”、“沒有真正意義的平面”、“抽象”、“數(shù)學(xué)”.

與平面字面相關(guān)(56條)，具體表現(xiàn)有：“平面游戲”、“平面模特”、“平面設(shè)計”、“分布”、“想象”、“空白”、“單調(diào)”、“乏味”、“數(shù)學(xué)題”、“三體”、“面條”等.

對平面物理屬性的聯(lián)想(9條)，具體表現(xiàn)有：“鏡面反射”、“視線的范圍”、“平拋的物體運動軌跡是拋物線”等.

3.2 訪談的結(jié)果

通過訪談，進(jìn)一步了解到了學(xué)生心中的真實想法.對學(xué)生心中的“平面”意象原型歸納，主要來自于以下五類.第I類意象原型來自文字直觀，如學(xué)生說：“因為有‘平面’這兩個字，所以讓我想到了平面直角坐標(biāo)系、平面圖形”等.第II類意象原型來自生活中類平面的物體，如桌面、墻面、黑板面，地面等，學(xué)生說：“這些都是我的生活中隨時可見到的象平面的物體”.可見學(xué)生的實物意象也不是空穴來風(fēng)，而是與學(xué)生密切相關(guān)的生活原型，因此學(xué)生整天生活著的空間，教室里的各種類平面物體就成了學(xué)生寫得最多的.第III類意象原型來自興趣愛好，如有一男生寫了“魔方的一面”，問他怎么想到的，該生回答：“我喜歡玩魔方，就自然想到了”；再如一女生，她寫了“平面模特、平面設(shè)計”，問她時說：“前面兩個字‘平面’是由題中‘平面’兩字想到的，后面的‘模特、設(shè)計’是因為平時自己喜歡看服裝設(shè)計類的雜志，愛好這方面而想到的”.第Ⅳ類意象原型來自數(shù)學(xué)中的抽象，如“沒有立體的畫面”、“正方形”、“正方體的一個面”、“由線成面”等，當(dāng)問到是何原因想到這些時，學(xué)生回答：“以前數(shù)學(xué)中學(xué)到的一些象平面的東西”.第Ⅴ類意象原型來自其他學(xué)科中的抽象，如“鏡面反射”、“平坦的光滑面”等，學(xué)生說“平面無厚度，無凹凸，讓人想到物理中的光滑面”.

訪談中表現(xiàn)出來的學(xué)生對平面意象的原型，完全依賴于學(xué)生各自體驗到的客觀物體或?qū)W過的學(xué)科知識經(jīng)驗，它的表征形式也與個人經(jīng)歷息息相關(guān)，包括學(xué)生的興趣特長和愛好，同時也驗證了辨證唯物主義中的哲學(xué)觀點：“物質(zhì)決定意識，意識是客觀事物的主觀反映”.所有這些也為平面教學(xué)帶來某些啟示.

4 結(jié)果分析

4.1 學(xué)生對平面認(rèn)識的初步分析

從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，生活類、舊知類和圖形類是學(xué)生持有最多的前三個意象，占到總條數(shù)的65.32%，因此可以看出學(xué)生對于平面概念的意象主要有兩個來源，一方面來自于生活實踐，對應(yīng)的是生活類.另一方面來源于之前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，對應(yīng)的是舊知類和圖形類.其中生活類中出現(xiàn)最多的還是學(xué)生日常生活中接觸到的物體，舊知類中出現(xiàn)較多的是平面幾何中的知識.圖形類則說明了學(xué)生對于平面的心理圖形基本上是一些具體的圖形.通過訪談部分學(xué)生，得知學(xué)生填寫最多的這三個意象是由于受到了“平面”這兩個字以及日常生活的啟發(fā)，而物屬類、幾屬類、關(guān)系類則主要來源于學(xué)生的抽象思維.

從圖2可知：三江平原北部平原地區(qū)的徑流深小于100.0 mm(多年平均降水量的17.5%)，大部分地區(qū)小于75.0 mm(多年平均降水量的13.2%)。根據(jù)表1，安邦河、撓力河、同撫和蘿北地區(qū)多年平均降水量為574.0 mm,按最小值521.7 mm計算，至少有446.7 mm的降水處于蒸發(fā)和滲漏狀態(tài)。通常降水期間滲漏量是大于蒸發(fā)量的；再者圖2是根據(jù)蓄滿產(chǎn)流模型計算的，因此，該地區(qū)的入滲降水量應(yīng)當(dāng)大于230.0 mm。

物理屬性類中出現(xiàn)最多的是學(xué)生對于平面中“平”的特征的描述，說明這一特征在學(xué)生心目中主要體現(xiàn)在生活中出現(xiàn)的各種與“平”相關(guān)的語言中，如平坦、沒有起伏等.

幾何屬性也是學(xué)生中出現(xiàn)較多的一種回答，其中學(xué)生對于平面屬性認(rèn)識比較清楚的是它沒有厚薄的特性，“二維”這個詞出現(xiàn)的比較頻繁，說明學(xué)生對于平面沒有厚度這一特性認(rèn)識的比較準(zhǔn)備，而對于另一個無限延展的屬性，認(rèn)識到的學(xué)生則相對較少，甚至出現(xiàn)了平面具有大小、封閉圖形等錯誤的認(rèn)識，這可能受到了學(xué)生之前將平面對應(yīng)為具體圖形的影響.

對于關(guān)系類的描述相對較少，其中比較多的體現(xiàn)在學(xué)生將平面與空間進(jìn)行對比，將平面作為立體圖形的一個面上，這也與學(xué)生之前學(xué)過的一些簡單幾何體有關(guān).

想象類的描述則出乎意料的相對較多，說明高中生也具有一定的想象能力，對于沒有學(xué)過平面概念的學(xué)生，他們的答案并不一定是常規(guī)的，其中值得注意的是，有一部分同學(xué)對于平面概念具有一些元認(rèn)知的屬性，能思考平面到底是什么，平面從何而來等具有哲學(xué)意義上的問題.

4.2 學(xué)生對平面概念的歷史相似性

平面的概念在歷史上經(jīng)過了漫長的發(fā)展，早在公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門尼德(Parmenides)對平面概念就已作過刻畫[4]，在這之后，歐幾里得(Euclid, 前3世紀(jì))、古希臘數(shù)學(xué)家海倫(Heron, 約公元1世紀(jì))、英國數(shù)學(xué)家辛松(R. Simson, 1687～1768)、法國數(shù)學(xué)家傅里葉(B. J. Fourier, 1768～1830)、德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G.W.Leibniz, 1646～1710)、德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(D.Hilbert, 1862～1943)等都對平面概念作過刻畫.

巴門尼德將平面定義為“一個二維對象、直的表面”，歐幾里得將平面定義為“與其上直線一樣平放著的面”，海倫將平面定義為“平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合.”，辛松的定義與海倫的類似，傅里葉對平面的定義為“平面由經(jīng)過直線上一點且與直線垂直的所有直線構(gòu)成”，萊布尼茲將平面看成“平面是與兩點等距離的點的集合”，希爾伯特將平面作為不加定義的量.

已有研究表明，非數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生，如社會學(xué)家、小學(xué)老師等工作人員對平面的理解具有歷史相似性[5]，如表2所示，根據(jù)本次測試來看，發(fā)現(xiàn)了未學(xué)過平面概念的學(xué)生對平面的概念意象與歷史上這些數(shù)學(xué)家想法也非常相似，具有顯著的歷史相似性.

表2 學(xué)生對“平面”概念的歷史相似性

4.3 學(xué)生對平面概念的認(rèn)知發(fā)展水平

從學(xué)生的平面概念意象可見，抽象程度和處理相關(guān)線索的能力有鮮明的層次性，因此，可以利用SOLO分類法[6]將學(xué)生對平面概念的認(rèn)知劃分為五個水平：前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展的抽象水平，前結(jié)構(gòu)水平(P)指學(xué)習(xí)者被情景中的無關(guān)方面所迷惑和誤導(dǎo)，為以前所學(xué)的無關(guān)知識所困擾，對應(yīng)的是想象類中很多無關(guān)的想象以及舊知類中以前所學(xué)的無關(guān)知識.單一結(jié)構(gòu)水平(U)指的是學(xué)生關(guān)注主題或問題，但只使用一個相關(guān)的線索，對應(yīng)的是生活類、物屬類和圖形類，學(xué)生提取的線索分別為生活情境、物理屬性和圖形表征.多元結(jié)構(gòu)水平(M)指的是學(xué)生使用多個線索，卻不能覺察到這些線索之間的聯(lián)系，對應(yīng)的是幾屬類，在此類中學(xué)生覺察到了一些相關(guān)的特征，如二維、點線構(gòu)成等，但還較為零散，缺乏有機(jī)整合的能力.關(guān)聯(lián)水平(R)指的是學(xué)生能將線索編入總體框架中，對應(yīng)的是關(guān)系類，此類中，學(xué)生已經(jīng)可以系統(tǒng)的思考點、線、面與平面之間的位置關(guān)系，具有一定的整體結(jié)構(gòu).拓展的抽象水平(E)代表一種更高水平的學(xué)習(xí)能力，代表學(xué)生有更強的鉆研精神和創(chuàng)造意識，對應(yīng)想象類中的關(guān)于平面的上層思考，這一類中學(xué)生認(rèn)識到平面是一個概念、平面在現(xiàn)實生活中并不存在，概括考慮了新的和更抽象的特征.據(jù)此，可以將學(xué)生對平面的七類概念意象根據(jù)不同的抽象水平對應(yīng)如表3所示.

表3 學(xué)生對“平面”概念的認(rèn)知水平與概念意象的對應(yīng)

實際上這五個層次的劃分和平面概念的歷史發(fā)展也是類似的，人類認(rèn)識平面也是從生活中的具體實物以及具體圖形出發(fā)，巴門尼德、歐幾里得等將平面概念的“沒有厚度”、“無限延展性”等核心性質(zhì)突出出來，達(dá)到了較高的認(rèn)知水平，經(jīng)過歷史的發(fā)展，最后由希爾伯特建立幾何公理體系，從而將平面作為不加定義的量，用公理即各概念之間關(guān)系進(jìn)行刻畫，平面概念的抽象程度得到了的進(jìn)一步提升.

將上述五個認(rèn)知水平由低到高依次對應(yīng)于水平0、水平1、水平2、水平3和水平4，并記為L0，L1，L2，L3，L4.表4給出了各水平的分布情況.

表4 學(xué)生關(guān)于平面的認(rèn)知水平

用ni(i=0,1,2,3,4)表示各水平的頻數(shù)，相應(yīng)的權(quán)重di(i=0,1,2,3,4)依次為0，1，2，3，4，則運用公式

5 結(jié)論與啟示

以上我們可以看到，在學(xué)生學(xué)習(xí)平面概念之前，高中生關(guān)于平面的概念意象可分為生活、舊知、圖形、物屬類、幾屬類、關(guān)系和想象7類，每位學(xué)生平均持有的意象為2.83類，學(xué)生基本能寫出3類及以上的意象.學(xué)生的概念意象基本來源于生活與之前的教學(xué)，從某種意義上看，可以發(fā)現(xiàn)其中的歷史相似性比較突出，而且基本可以將這些意象按照SOLO分類法分為幾個認(rèn)知水平，這與歷史上平面概念的發(fā)展階段也是類似的，并且高一學(xué)生對平面概念的認(rèn)知水平中等偏下，因此我們可以得到的教學(xué)啟示有以下幾個方面.

首先，在學(xué)習(xí)平面概念之前，學(xué)生在生活以及之前的學(xué)習(xí)中接觸了很多平面的原型，所以平面概念的教學(xué)可以建立在生活以及舊有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行，但也需要注意的是生活中形成的一些觀念對平面概念的進(jìn)一步學(xué)習(xí)具有阻礙作用，其中尤其要注意的是學(xué)生容易將生活中平面原型具有面積、固定范圍這一特點遷移到學(xué)習(xí)中，阻礙平面無限延展性的學(xué)習(xí).在引入生活實例的時候可以讓學(xué)生提取其中的關(guān)鍵屬性如“平”、“很薄”、“很廣”，為之后進(jìn)一步的抽象做準(zhǔn)備，也可以讓學(xué)生從學(xué)過的一些簡單立體圖形中體會平面的概念.

其次，由于學(xué)生對平面概念的意象具有豐富的歷史相似性，所以可以考慮融入數(shù)學(xué)史的角度進(jìn)行教學(xué)，將學(xué)生的理解與歷史上數(shù)學(xué)家的思想相對應(yīng)，可以讓學(xué)生感受到概念的由來，知道一個概念不是憑空掉下來在教科書中出現(xiàn)的，而是經(jīng)過幾千年的演化而來，同時也增強了學(xué)生的數(shù)學(xué)自信，他們的想法與歷史上數(shù)學(xué)家的想法一致.

最后，荷蘭的著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“與其讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理體系，不如讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理化……一句話，與其讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”[7].從學(xué)生關(guān)于平面概念的意象中我們可以看到學(xué)生不同層次的認(rèn)知水平，這也是對平面概念進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程，從中也可以感受到與平面概念歷史發(fā)展驚人的相似，故可在已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)上安排教學(xué)，這就給我們的教學(xué)設(shè)計提供了參考，可以對平面概念的歷史發(fā)展階段進(jìn)行重構(gòu)，融入到我們的教學(xué)過程中，注重學(xué)生的自主探究和數(shù)學(xué)化的過程，從而真正實現(xiàn)學(xué)生對平面概念的深入理解，同時也獲得寶貴的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與能力.