【摘要】深度的學(xué)習(xí)來自認(rèn)知的不適。在課堂學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生遭遇認(rèn)知遇阻、認(rèn)知沖突與認(rèn)知失衡時便會形成認(rèn)知不適，這種認(rèn)知不適是由學(xué)習(xí)任務(wù)的挑戰(zhàn)性引發(fā)的。本案例意圖通過挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)引發(fā)學(xué)生認(rèn)知不適，從而形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生并走向深入，實(shí)現(xiàn)深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知不適；深度學(xué)習(xí)；線的認(rèn)識

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）65-0055-03

【作者簡介】李培芳，福建省廈門市華昌小學(xué)（福建廈門，361000）教導(dǎo)主任，高級教師，福建省數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

一、抽象與比較，初步感知“線”

師：同學(xué)們，今天我們要認(rèn)識“線”，生活中見過線嗎？

生：見過。

師：閉上眼睛，想象生活中各種各樣的線，有時候閉上眼睛，你可以看到更多。

生：電線。

生：毛線。

生：天線。

生：地平線。

師：真好，同學(xué)們的頭腦里有一個“線的世界”。

師：數(shù)學(xué)中的線和生活中的線會一樣嗎？

（學(xué)生眾說紛紜。）

師（拿出一個盒子）：用生活的眼光看，這是一個盒子，沒有線，用數(shù)學(xué)的眼光看……

生：有線，有4條線。

生：有8條！

師：都看到了嗎？在哪兒呢？看來數(shù)學(xué)中的線和生活中的線有所不同?。?/p>

（課件出示生活中的立體圖形，而后抽象出線。）

數(shù)學(xué)上的線是高度抽象的，以至于在現(xiàn)實(shí)世界中找不到原型。這種水平的抽象小學(xué)生幾乎是無法真正理解的。不過，教學(xué)應(yīng)當(dāng)嘗試去觸碰學(xué)生能接受的“上限”，謹(jǐn)慎地去觸碰，不同水平的學(xué)生在這樣的活動中會有不同的收獲。教學(xué)中教師提出“用生活的眼光看，這顯然只是一個盒子，沒有線，不過，用數(shù)學(xué)的眼光看……”，這個比較還是精妙而妥帖的。比較中學(xué)生的認(rèn)知失衡了，他們突然發(fā)現(xiàn)認(rèn)知中的線和數(shù)學(xué)上的線有所不同，這種感受有助于他們感悟線的抽象性、數(shù)學(xué)的抽象性。

二、想象與分類，整體感知“線”

師：觀察屏幕上的線，這些線有什么不同。

生：有直的，有彎的。

生：有長的，有短的。

屏幕出示：線有（曲直）；線有（長短）。

師：因?yàn)榫€有曲直，所以線分為直直的線和彎彎的線。這節(jié)課，我們只研究直直的線。（課件隱去曲線，留在屏幕上的是三條線段。）

師：想想，線有長短，可以把線怎樣分類呢？

生：可以分成長長的線和短短的線。

生：還有一般長度的線。

生：還有很短很短的線。

生：那還有很長很長的線。

師：同學(xué)們真會想問題，我們要對線分類，到底是要對哪些線分類呢？是只對屏幕上的三條線分類嗎？

生：不是的，是對很多線分類。

生：是要把所有的線分類。

師：這樣，我們的心里就必須有整個線的世界。就像同學(xué)們說的，線還有很短很短的，比畫一下。（學(xué)生比畫）還有很長很長的，也比畫一下。你能說一條很長很長的線嗎？

生：從黑板的這邊到那邊。

生：從教室的前面到后面。

生：從教室到學(xué)校操場。

生：從教室到家里。

生：從廈門到北京。

生：從地球到太陽。（全體學(xué)生情緒激昂。）

師：這樣，咱們不比了，安靜地思考，你能說一條長度讓人無法超越的線嗎？

生：一萬千米，哦，一億千米長。

師：哈哈，顯然會被超越，一億千米再多一米的線就比你說的長了。

生：從宇宙這頭到宇宙的那頭。

師：哈哈，你從這頭到那頭，我兩邊都出頭，是不是就比你說的長了。

生：無邊無際的長。

師：啥意思？（學(xué)生不知如何表達(dá)）是不是這個意思，請看屏幕。

（課件出示一片星空，一條線向兩端無限延伸。）

師：現(xiàn)在，如果按照長短將線分類，你想怎么分？

生：有頭有尾的線分一類，沒頭沒尾的線分一類。

師：想想，有第三類嗎？

生：還有有頭沒尾的線。（課件出示射線）

師：想想，還有第四類嗎？

生：還有沒頭有尾的線。（課件出示反方向的射線。）

生：這和前面那一條是一樣的，只是方向不同。

師生小結(jié)：線分為無限長的線和有限長的線，無限長的線又分為沒頭沒尾的線和有頭沒尾的線。

出示三個概念：線段、射線、直線。

師：同學(xué)們說說，哪個是哪個？

生：有頭有尾的線是線段，有頭沒尾的線是射線，沒頭沒尾的線是直線。

師：生活中你在哪里見過射線？哪里見過直線？（生答略）

在這一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生遇到了相當(dāng)大的困難。一方面，想象是不易的，但卻是必要的。因?yàn)橹本€和射線存在于想象而不是現(xiàn)實(shí)。更多的教學(xué)是直接揭示直線和射線讓學(xué)生想象。而本課意圖讓學(xué)生從“分類需要有一個線的世界”入手，讓學(xué)生硬生生地“憑空”想象出直線和射線來，這種困難是加倍的。另一方面，分類是不易的，但卻是有價值的。因?yàn)榉诸悾€段、射線和直線的認(rèn)知便成了結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知；因?yàn)榉诸?，學(xué)生能充分地領(lǐng)略數(shù)學(xué)分類思考的有序、全面與嚴(yán)謹(jǐn)。教師大膽引導(dǎo)學(xué)生思考“有讓人無法超越的線嗎？”“有第三類嗎？”“有第四類嗎？”……過程中，學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)是受阻的，然而當(dāng)他們跨越阻隔獲得成功后，那種感受卻又是美妙的，我們將這種美妙的感受稱為體驗(yàn)。這樣的教學(xué)設(shè)計源于高立意的教學(xué)追求，追求的是學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)思想的感悟，對數(shù)學(xué)本身的悅納。

三、表示中感悟，外化“線”的特征

師：你能試著畫出直線、射線和線段嗎？要讓別人知道你畫的哪一條是直線，哪一條是射線，哪一條是線段嗎？

（學(xué)生嘗試后交流）

師：同學(xué)們，在畫的時候顯然大家是碰到了困難的。確實(shí)不容易，要將無限長的線畫到有限的紙張里，該怎么畫呢？

方法1：射線一端畫到紙張的邊沿，直線兩端畫到紙張的邊沿。

方法2：射線一端加上箭號，直線兩端加上箭號。

方法3：射線一端加上省略號，直線兩端加上省略號。

方法4：線段兩端有端點(diǎn)的標(biāo)記，射線一端有端點(diǎn)的標(biāo)記，直線兩端沒有端點(diǎn)標(biāo)記。

師：說一說，你喜歡哪一種表示方法。

生：我喜歡方法1，因?yàn)闊o限延長，所以應(yīng)該畫到邊沿。

生：我覺得畫到邊沿也沒有無限長，我喜歡方法3，省略號表示一直延伸。

生：我覺得方法2好，加上箭號就很明顯了。

師：有人喜歡方法4嗎？（只有一人舉手，教師請這位同學(xué)發(fā)言。）

生：我覺得這樣就能分出什么線是線段，什么線是射線，什么線是直線了，還需要那么麻煩嗎？

（學(xué)生看法不一，眾說紛紜。）

師：想不想知道數(shù)學(xué)家是怎么畫的？（想）就是這樣畫的（教師指“方法4”）。

（學(xué)生很訝異）

師：這個阻止線延伸的點(diǎn)叫作端點(diǎn)。說說線段、射線和直線分別有幾個端點(diǎn)？

生：線段有兩個端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)。

師：直線還有一種不同的畫法。（課件出示圖1）你能讀懂?dāng)?shù)學(xué)家的想法嗎？

（圖1）

生：表示這條線可以突破那兩個點(diǎn)，無限延伸。

“無限長的線如何畫到有限的紙張上？”這一充滿矛盾的問題激起學(xué)生認(rèn)知上的沖突，在這種充滿挑戰(zhàn)性的考驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)了學(xué)生巨大的可能性。他們創(chuàng)造性地用生活的思維（畫到邊沿），用不同學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)（省略號），用形象的符號（箭號），用數(shù)學(xué)的符號（端點(diǎn)）等獨(dú)特的方式表示無限。在創(chuàng)造中學(xué)生方法不一卻各有價值，在分享中學(xué)生讀懂別人并反思自己，整個學(xué)習(xí)與分享的過程是迷人的。在充滿挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動中，我們發(fā)現(xiàn)了兒童。

四、比較中概括，理解“線”的特征

課件出示：線段、射線和直線有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？有什么聯(lián)系？

組織全班同學(xué)獨(dú)立思考一分鐘后，再四人小組內(nèi)交流。（按照三個問題的順序有序交流。）

生：都是直直的。

生：它們都是線。

生：線段有兩個端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)。

生：線段長度是有限的，射線和直線的長度是無限的。

生：直線可以向兩端無限延長，射線可以向一端無限延長，線段不能延長。

生：線段可以量出長度，射線和直線無法量出長度。

生：線段如果去掉一個端點(diǎn)就是射線，如果去掉兩個端點(diǎn)就是直線。

師：這樣說可能更好一些，線段如果去掉一個端點(diǎn)，讓它沿一個方向無限延長，就成射線了。

生：在直線中間畫一個點(diǎn)，兩邊就是兩條射線。

師（在黑板上的直線上畫一個點(diǎn)）：這樣，這條線上的這個點(diǎn)和它右邊的部分是一條射線，左邊也是一條射線。

生：直線上畫兩個點(diǎn)，中間的部分是線段。

師（在直線上畫兩個點(diǎn)）：這兩點(diǎn)之間的部分是線段。

師：線段和射線是它們所在直線的一部分。

（組織學(xué)生自學(xué)課本，認(rèn)識線段、射線和直線的讀法。）

系列問題的合并思考往往會形成學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)。本環(huán)節(jié)教師將“線段、射線和直線有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？有什么聯(lián)系？”這三個問題一并拋給學(xué)生，讓他們對系列的問題進(jìn)行思考、討論、交流。我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生個體的思考和表達(dá)往往呈現(xiàn)出無序的、跳躍的樣態(tài)。而在群體交流中，由于教師的介入與引導(dǎo)，學(xué)生的交流可以從無序走向有序。這種充滿挑戰(zhàn)的系統(tǒng)性的思考有助于學(xué)生形成有序思考、有序表達(dá)的意識、能力和習(xí)慣。

五、操作中思考，深化“線”的認(rèn)知

先想一想，再畫一畫：

1.一個點(diǎn)可以畫幾條直線？

2.過兩個點(diǎn)可以畫幾條直線？（這兩點(diǎn)如果離得很遠(yuǎn)呢？為什么？）

曹培英老師認(rèn)為，過兩點(diǎn)能且只能畫一條直線，暗含著存在性和唯一性，有利于學(xué)生感受直線的本質(zhì)特征。學(xué)生并不難完成該操作活動，但是對于“為什么只能畫一條？”這一問題，學(xué)生的表達(dá)是有困難的。但是需要調(diào)整的一個觀念是：有的問題，不能因?yàn)閷W(xué)生無法準(zhǔn)確完整地回答就不問。筆者認(rèn)為，想不出來也是想，想不出來一樣可以滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成長，富有挑戰(zhàn)性的問題的價值還在于此。