發(fā)散思維的多端性也稱流暢性，它是創(chuàng)造思維的核心。它反映發(fā)散思維具有發(fā)散、流暢、敏捷的特性。因?yàn)椋鄤t發(fā)散、多則寬、多則流暢；多中選優(yōu)、優(yōu)中求快、快則敏捷。所以，多端性的重點(diǎn)是突出個(gè)“多”字。即同一個(gè)問題的思考方向多、角度多、途徑多、方法多。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維“多端性”訓(xùn)練，對于培養(yǎng)創(chuàng)造型人才是極其重要的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行發(fā)散思維“多端性”訓(xùn)練，方法是多種多樣的。

一、多方位發(fā)散

這種訓(xùn)練方式是：首先由教師給學(xué)生輸入一個(gè)信息，然后學(xué)生根據(jù)這一信息和已經(jīng)掌握的知識(shí)，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，通過獨(dú)立思考，輸出許多新的信息，獲得許多新的知識(shí)。例如，在“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)中，教師可向?qū)W生提出這樣的一個(gè)問題：“從一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，你知道些什么？”學(xué)生在導(dǎo)出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

之后，從（1）、（2）兩式的等量關(guān)系引導(dǎo)

學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真的思考，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)如下一系列有關(guān)“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的新知識(shí)。

（一）從“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的內(nèi)涵入手牢牢抓?。?）、（2）兩式的相等關(guān)系，運(yùn)用方程或方程組的思想仔細(xì)分析，很容易得出如下應(yīng)用類型

1.已知a、b、c的值，不必解方程，就可直接求出x1+x2與x1·x2的值。例如：已知x1、x2是方程3x2-5x+2=0的兩個(gè)根，求x1+x2與x1·x2的值。

解：由（1）、（2）可直接得x1+x2=，與x1·x2=。

2.已知x1，x2或x1+x2與x1·x2的值，可求出與 的值，但當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=1時(shí)可求出b和c的值，這時(shí)b=-（x1+x2），c=x1·x2。例如：已知方程x2+bx+c=0的兩根分別為3和2，求b與c的值。

解：這里由于a=1，所以b=-（3+2）=-5，c=3×2=6。

3.從方程的角度分別觀察，可看出（1）、（2）兩式中，每一個(gè)等式里只要已知三個(gè)量就可求出其他一個(gè)量。例如：已知方程2x2+bx+6=0的一個(gè)根x1=3，求另一個(gè)根x2的值。分析解答：這里的a=2，c=6，由（2）式x1·x2=得3x2=，故x2=1。

4.從方程組的角度聯(lián)合（1）、（2）兩式，再比較、分析，則易見：只要已知a、b、c、x1及x2的任意三者之值，就能通過解二元方程組而求出其余兩者之值。

例如：已知方程2x2-7x+c=0的一個(gè)根x1=，求另一個(gè)根x2及c的值。

解：由（1） 、（2）兩式得 解這個(gè)方程組得x2=3，c=3。

（二）從“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的外延入手運(yùn)用整體代入法，采用變式手段，直接用“x1+x2”與“x1·x2”解決問題，這類題型由于帶有一定的構(gòu)造性，所以需要教師在教學(xué)中著意培養(yǎng)學(xué)生多方位、多層次靈活觀察、思考問題和整體代換的能力，才能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，克服不利的思維定勢，突破根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用這一教學(xué)難點(diǎn)。

1.由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同除以a得x2+ x+=0對此不難引導(dǎo)學(xué)生看出=-（x1+x2），=x1·x2，所以有x2-（x1+x2）x+x1.x2=0 （3） 這表明，以兩個(gè)數(shù)x1和x2為根且二次項(xiàng)系數(shù)等于1的一元二次方程是（3）。例如：不解方程，求作一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別是方程2x2+3x-7=0的兩根的相反數(shù)。

解：設(shè)方程2x2+3x-7=0的兩個(gè)根是x1、x2，則所求方程的兩個(gè)根是-x1，-x2。

由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1+x2=- ，x1·x2=-

∴ （-x1）+（-x2）=-（x1+x2）=-（-）= （-x1）（-x2）=x1·x2=-∴所求的方程為x2-x-=0 即2x2-3x-7=0

2.不解方程，求一些代數(shù)式的值。這一類題型主要突出一個(gè)“湊”字，就是要設(shè)法將有關(guān)代數(shù)式變形湊成關(guān)于已知方程兩根之和與積的代數(shù)式，這就要求學(xué)生應(yīng)掌握以下關(guān)系式：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5）

（6） 。

例如：設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求p、q的值。

分析解答：這里的x1+x2=-p，x1.x2=q，又因?yàn)閤1+1與x2+1是方程x2+qx+p=0的兩根，所以由（1）式得（x1+1）+（x2+1）=-q，又變?yōu)椋▁1+x2）+2=-q，即：p-q=2，又由（2）式得（x1+1）（x2+1）=p，又變?yōu)椋▁1+x2）+x1x2+1=p，即：2p-q=1；再解方程組： ，得p=-1，q=-3。

二、多途徑解題

這種訓(xùn)練方式是：教師對一道數(shù)學(xué)題，從不同的角度、不同的途徑引導(dǎo)學(xué)生去考慮，得到不同的思路，不同的解法。由于數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系的多樣性與復(fù)雜性，所以引導(dǎo)學(xué)生考慮得愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多。教師若能經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練，不但能開拓學(xué)生的思維，而且還能提高分析、判斷和靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，從而養(yǎng)成“多思、善思”的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。例如：解方程

分析解答一，把方程變形為=-（x+3）通過平方得一元二次方程：x2+5x+6=0，解之得x1=-3，x2=-2，經(jīng)檢驗(yàn)x=-2為增根，所以x=-3。

分析解答二：把原方程變形為x+3+=0，用換元法設(shè)得一元二次方程y2+y=0，解之得y1=0，y2=-1，因?yàn)閥2<0舍去，所以y=0，即=0，得x=-3（檢驗(yàn)略，下同）。

分析解答三：把原方程變形為=-（x+3），由得x+3≥0，即x≥-3，如要使=-（x+3）成立必有-（x+3）≥0，即x≤-3，而不等式x≥-3與x≤-3的解集為x=-3。

分析解答四：把原方程變形為（x+3）+=0，由 必有x+3≥0，因此（x+3）+=0實(shí)際上是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的形式，即（x+3）+=0所以，得x=-3。

分析解答五：把原方程變形為（x+3）+=0聯(lián)想公式（得 ，由因式分解變?yōu)椋?1）=0，因?yàn)?1>0，所以必有=0，從而x=-3。

三、多角度引伸

這種訓(xùn)練方式是：教師對同一題目從多角度作開拓思考引伸出新題型。通過這種訓(xùn)練可以使學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量，減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)。

例如：求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。[證明略]

引伸（一）從四邊形的對角線著手有如下引伸：

1.求證：順次連結(jié)對角線相等的四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形。

2.求證：順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形。

3.求證：順次連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是正方形。

引伸（二）從特殊四邊形著手有如下引伸。

1.求證：順次連結(jié)平行四邊開四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。

2.求證：順次連結(jié)矩形四邊形的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形。

3.求證：順次連結(jié)菱形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形。

4.求證：順次連結(jié)正方形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是正方形。

5.求證：順次連結(jié)等腰梯形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形。

教學(xué)實(shí)踐證明，在教學(xué)中適時(shí)、合理地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維“多端性”訓(xùn)練，可以使學(xué)生更好地激發(fā)創(chuàng)新思維，增強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用，培養(yǎng)解題技能，才能使學(xué)生思路清晰，達(dá)到觸類旁通，舉一反三，不管遇到什么難題，都能得心應(yīng)用，迎刃而解。這樣才能真正把學(xué)生從題海中解放出來，從而達(dá)到減負(fù)的目的。（單位：開州區(qū)鎮(zhèn)東初級(jí)中學(xué)）