例談格點(diǎn)問題的解題策略

周衛(wèi)國

摘 要：尋求“格點(diǎn)”問題解法的關(guān)鍵是抓住題目關(guān)鍵詞，挖掘出題目所含條件的作用，把非格點(diǎn)轉(zhuǎn)化為格點(diǎn)問題處理，合理利用題目已知條件，多種知識處理問題。這也是解決數(shù)學(xué)問題基本方法。

關(guān)鍵詞：抓住題目關(guān)鍵詞;化歸思想;合理處理已知條件

中圖分類號：G633.63????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-068-2

“格點(diǎn)”問題是初中數(shù)學(xué)中一類重要題型，很多數(shù)學(xué)問題都可利用格點(diǎn)問題出現(xiàn)。近幾年中考中，常常出現(xiàn)以“格點(diǎn)”為背景的數(shù)學(xué)問題，但學(xué)生對格點(diǎn)問題往往掌握的不好，得分率不高。如何利用“格點(diǎn)”，并在這類問題中，理清頭緒，解決問題，這需要教師教學(xué)時提煉解題策略，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題，利用“格點(diǎn)”解決問題。下面本文從三個方面來談?wù)劇案顸c(diǎn)”問題的解題策略：

策略一、尋找問題突破口，抓住題目關(guān)鍵詞

例1 （2017泰州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，5），（4，2）。若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是△ABC的外心，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為??? 。

[解題過程] 本題的關(guān)鍵詞：外心。外心是三角形外接圓的圓心，外心是三角形三條中垂線的交點(diǎn)。本題的解決應(yīng)充分利用外心的性質(zhì)：點(diǎn)P在線段AB的中垂線上。解決方法：以點(diǎn)P為圓心，AP長為半徑畫圓，圓P在第一象限內(nèi)的格點(diǎn)即為所求點(diǎn)C，答案為：（1，4）（6，5）（7，4）。

[解后反思] 本題的解題策略在于如何用好“外心”，而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)即為“格點(diǎn)”。可學(xué)生在解答時，往往缺乏分析思路，分析不了外心的作用，同時學(xué)生即使會分析也會出現(xiàn)漏解的情況。因此，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，比解決一道題目更重要：如何用好外心是解決本題的關(guān)鍵。

【變式練習(xí)】

（17鹽城）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，將△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置，則點(diǎn)B運(yùn)動的最短路徑長為?? 。

略解：在本題的教學(xué)中，重點(diǎn)理解好旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心O，點(diǎn)B運(yùn)動的最短路徑為以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，OB為半徑，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，lBB′=90π13180=13π2。

反思：本題的解題策略在于旋轉(zhuǎn)前后的圖形有何聯(lián)系。由旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形，尋找旋轉(zhuǎn)中心，只要找兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線交點(diǎn)即可。利用格線，構(gòu)造中垂線a，b，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心。教學(xué)時，只要緊緊抓住旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行教學(xué)即可。

策略二、化歸思想，把非格點(diǎn)角度轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)”角度

例2 如圖，在2×6的網(wǎng)格中，AD與BC相交于點(diǎn)E，則sin∠DEC=（? ）

A.12??? B.22??? C.32??? D.2/3

師：要求sin∠DEC，你們有什么方法嗎？

生1：轉(zhuǎn)化，把∠DEC轉(zhuǎn)化到“格點(diǎn)角”去，即（如圖）連接AF，過A作AG⊥AD交AD于點(diǎn)G，則∠DEC=∠GAF，利用面積公式算出FG=102，且AF=5，由此可得sin∠DEC=22，答案選B;

生2：還有另一種轉(zhuǎn)化方法：過點(diǎn)C作AD的平行線，交格點(diǎn)于F，連接BF，則∠DEC=∠BCF，易證△BCF為直角三角形，則sin∠DEC=22，答案選B。

師：很好，兩位同學(xué)的方法有異曲同工之妙，都把一個“非格點(diǎn)角”轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)角”，并把它們擺在一個直角三角形中，從而利用三角函數(shù)解決問題。這都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸思想”，你們的思維很有創(chuàng)造性。

點(diǎn)評：在本題的解答中，解題策略是如何轉(zhuǎn)化“非格點(diǎn)角”，在分析這道問題時，老師要利用題目的已知條件，所求角度的正弦值方法有兩種：要么構(gòu)造直角三角形，求解三角函數(shù)值，在本題中顯然不可行，因?yàn)椤螪EC不在格點(diǎn)上，構(gòu)造了直角三角形也無法計算邊長;要么轉(zhuǎn)化角度，把∠DEC轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)角”，再構(gòu)造直角三角形，求解∠DEC的正弦值。有了這一解題策略，整個問題也就不難處理了。

策略三、合理處理題目條件，用多個知識結(jié)合解決問題

例3 在如圖所示的正方形方格紙中，每個小四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格點(diǎn)，AB與CD相交于M，則AM∶BM=______ 。

師：本題有一定的難度，請大家認(rèn)真思考后解決問題？

（學(xué)生埋頭解答，教師教室巡視）

生1：老師，可用相似解決問題：先在圖中X型相似中，利用AMBN=ANBC;再利用A型相似，NECF=DEDF=13，從而可得ANBC=512，∴AM∶BM=5∶12。

生2：老師，我還有一種方法：建系法，即建立平面直角坐標(biāo)系，通過求直線交點(diǎn)的方法求解。解法如下：

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)D（2，3）。直線AB：y=-25x+2，直線CD：y=3x-3，聯(lián)立方程：y=-25x+2y=3x-3，解得點(diǎn)M（1725，2417），利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比求得AM∶BM=5∶12。

師：兩位同學(xué)的解法，非常具有想象力，我們對這兩位同學(xué)的解法表示祝賀（教室里響起熱烈的掌聲）。

點(diǎn)評：本題有一定的難度，難點(diǎn)有兩個：第一點(diǎn)M非“格點(diǎn)”，第二AM∶BM如何求。在破解第一個難點(diǎn)時，這道題目不需轉(zhuǎn)化，它與本文的例2解法有著本質(zhì)區(qū)別。第二個難點(diǎn)為轉(zhuǎn)化AM∶BM，如何轉(zhuǎn)化有兩種思路：方法一利用兩次相似求解;方法二構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為直線解析式求解。這也是解好此類問題的解題策略：當(dāng)所求結(jié)果無法轉(zhuǎn)化時，可合理利用多個數(shù)學(xué)知識處理問題。

“格點(diǎn)”問題是初中數(shù)學(xué)的一種重要題型，要解好這類問題，需要在平時教學(xué)中加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練，在訓(xùn)練中提升學(xué)生能力，在解題中找到解決問題的方法。同時教師在教學(xué)中，應(yīng)注意收集問題，把問題分類并總結(jié)。只有這樣，才能真正讓學(xué)生舉一反三，只有掌握了方法，才真正把握了解決問題的“鑰匙”。