莫建明,呂 剛,高 翔,卿樹濤

(1.西南財經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心，四川 成都 611130；2.西南財經(jīng)大學(xué)公共管理學(xué)院，四川 成都 611130；3.上海財經(jīng)大學(xué)國際工商管理學(xué)院，上海 200433；4.湖南省委黨校經(jīng)濟學(xué)部，湖南 長沙 410006)

Pareto分布下?lián)p失分布法度量誤差變動規(guī)律

莫建明1,呂 剛2,高 翔3,卿樹濤4

(1.西南財經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心，四川 成都 611130；2.西南財經(jīng)大學(xué)公共管理學(xué)院，四川 成都 611130；3.上海財經(jīng)大學(xué)國際工商管理學(xué)院，上海 200433；4.湖南省委黨校經(jīng)濟學(xué)部，湖南 長沙 410006)

重尾分布非預(yù)期損失估計值具有不可忽視的不確定性，為此，本文以操作風(fēng)險度量為例，在Pareto分布下研究損失分布法度量誤差變動規(guī)律后發(fā)現(xiàn)：隨著監(jiān)管資本變動，度量誤差變動具有非常高的敏感性，這意味著損失分布法度量誤差具有不可預(yù)測性；在度量誤差值域內(nèi)，存在著多個極值風(fēng)險狀態(tài)點，且當(dāng)操作風(fēng)險趨近于這些極值狀態(tài)點時，度量誤差會變得非常大(以致趨于無窮大)，此時，無法準(zhǔn)確評價度量結(jié)果的可靠性。被業(yè)界和理論界廣泛使用的損失分布法存在著重大缺陷。

操作風(fēng)險；損失分布法；誤差傳播理論；度量誤差

1 引言

統(tǒng)計學(xué)一般用厚尾來描述分布尾部厚度，即隨機變量的峰度大于3，則稱隨機變量對應(yīng)分布為厚尾分布。但是，當(dāng)該分布的k階矩趨于無窮大時，隨機變量不存在峰度，此時無法用厚尾來描述該分布尾部狀態(tài)，只能采用重尾來刻畫。由此可見，當(dāng)描述某一分布尾部狀態(tài)時，采用重尾來定義分布尾部狀態(tài)更加具有一般性。在高置信度下，重尾分布的非預(yù)期損失估計具有不可忽視的不確定性，主要體現(xiàn)在以下兩方面：

第二，非預(yù)期損失的間接度量特性會加劇不確定程度。理論上，非預(yù)期損失是在某一置信度下重尾分布的分位數(shù)，即非預(yù)期損失與重尾分布模型參數(shù)間存在某種函數(shù)關(guān)系。在以重尾性損失樣本估計出這組模型參數(shù)后，根據(jù)該函數(shù)關(guān)系(度量模型)即可計算出非預(yù)期損失。顯然，該非預(yù)期損失是間接度量值。在間接度量法下，重尾分布的參數(shù)估計誤差會通過誤差傳播機制放大并形成該非預(yù)期損失的度量誤差，可見，間接度量法會加劇非預(yù)期損失估計的不確定程度[2]。

由此可見，在高置信度下，重尾分布的非預(yù)期損失估計結(jié)果在客觀上存在著不可忽視的不確定性。在損失分布法下，在重尾分布與損失頻數(shù)分布復(fù)合而成的復(fù)合分布下估計該非預(yù)期損失，其不確定性更加顯著。

損失分布法源自保險精算，2001年被用于度量操作風(fēng)險，并受到業(yè)界和理論界的一致推崇。隨后，巴塞爾委員會正式給出了損失分布法在操作風(fēng)險度量中的定義：在操作損失事件的損失頻率和損失強度有關(guān)假設(shè)基礎(chǔ)上，對業(yè)務(wù)線/損失事件類型矩陣中的每一類操作損失的損失頻率分布和損失強度分布復(fù)合成的復(fù)合分布分別進(jìn)行估計，從而計算出某一時期一定置信度α下該類型操作損失復(fù)合分布的操作風(fēng)險監(jiān)管資本(the Operational VaR，OpVaR(α))的方法。操作風(fēng)險監(jiān)管資本就是復(fù)合分布的非預(yù)期損失?；诖耍疚臄M以操作風(fēng)險為例，探討損失分布法度量不確定性變動規(guī)律，具有非常重要的實踐意義。

已有實證研究表明操作風(fēng)險具有顯著的重尾性。巴塞爾委員會四次操作損失數(shù)據(jù)收集的實證研究結(jié)果都表明操作風(fēng)險具有顯著重尾性。當(dāng)以廣義Pareto分布來擬合操作損失強度樣本時，其形狀參數(shù)大于0，即損失強度分布為Pareto分布[3]。Moscadelli[4]對巴塞爾委員會所收集的操作損失樣本實證研究結(jié)果表明操作風(fēng)險具有顯著重尾性，同時，司馬則茜等[5]實證研究我國銀行業(yè)操作損失樣本也得到同樣結(jié)果。進(jìn)一步，高麗君和高翔[6]在外部數(shù)據(jù)具有內(nèi)生偏差的情況下，將外部數(shù)據(jù)調(diào)整后納入內(nèi)部數(shù)據(jù)，通過變閾值選擇將損失分為主體和尾部兩個部分來度量操作風(fēng)險后發(fā)現(xiàn)，操作損失樣本尾部分布為重尾性的Pareto分布。可以證明，在廣義Pareto分布中，僅Pareto分布為重尾分布。因此，本文在Pareto分布下研究損失分布法度量誤差隨監(jiān)管資本變動的特征，具有重要的理論意義和實踐意義。

已有實證研究表明操作風(fēng)險監(jiān)管資本度量結(jié)果存在不可忽視的不確定性。Carrillo-Menéndez和Suárez[7]分別以不同度量模型度量操作風(fēng)險監(jiān)管資本發(fā)現(xiàn)，最大負(fù)偏差為-30.54%，最大正偏差為462.20%，顯然該模型偏差不可忽視。在同一度量模型下，模型參數(shù)估計存在顯著的不確定性(誤差)，在間接度量法(非預(yù)期損失估計方法)下，重尾分布的參數(shù)估計誤差會通過誤差傳播機制放大并形成該非預(yù)期損失的度量誤差。由此可見，監(jiān)管資本度量不僅存在不可忽視的模型偏差，而且在同一度量模型下也存在顯著度量誤差。

Opdyke[8]將操作風(fēng)險監(jiān)管資本度量不確定性的影響因素歸納為三方面：一是損失強度分布的重尾性大?。褐匚残苑植级际且越匚卜植紒頂M合，與非截尾分布相比，截尾分布會導(dǎo)致更大的度量偏差；二是置信度大?。罕O(jiān)管資本估計的置信度(99.9%)非常高，其度量偏差非常大；三是損失強度分布特征參數(shù)估計的方差大小：損失樣本量越大，分布特征參數(shù)方差越小，監(jiān)管資本度量誤差越小。這些影響因素使損失分布模型及其特征參數(shù)估計產(chǎn)生不確定性，導(dǎo)致監(jiān)管資本出現(xiàn)模型偏差和度量誤差：

(1)模型偏差主要有兩類：一是樣本外的外推產(chǎn)生的模型偏差。操作風(fēng)險具有顯著重尾性，單個金融機構(gòu)的損失樣本量不能滿足度量要求，可能導(dǎo)致樣本外的外推問題。為此，巴塞爾協(xié)議要求高級計量法必須在共享內(nèi)外部損失的數(shù)據(jù)庫下進(jìn)行度量。但是，即使在共享數(shù)據(jù)庫下尾部損失樣本也很難滿足高置信度下的度量要求，不能避免樣本外的外推問題。這必然會導(dǎo)致不可忽視的模型偏差，引起度量結(jié)果的不確定性[9]。二是樣本內(nèi)的模型偏差。為增加損失樣本量，采用共享數(shù)據(jù)庫會引起新問題：首先，不同金融機構(gòu)記錄操作損失樣本的門檻可能存在差異，這必然使操作損失分布模型及其特征參數(shù)估計出現(xiàn)偏差，進(jìn)而導(dǎo)致模型偏差[10]；其次，來自不同金融機構(gòu)的操作損失樣本存在異質(zhì)性問題，會導(dǎo)致嚴(yán)重模型偏差[11]?？梢?，為解決樣本外的外推問題而采取共享數(shù)據(jù)庫辦法，導(dǎo)致了新的模型偏差。

(2)損失分布特征參數(shù)估計方差導(dǎo)致的度量誤差。已有實證研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)以Pareto分布擬合操作損失強度時，置信度越大，形狀參數(shù)的估計方差越大，尤其在置信度99.9%下形狀參數(shù)的估計方差非常大[3]。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)損失強度分布特征參數(shù)估計方差會對監(jiān)管資本度量誤差產(chǎn)生巨大影響，操作損失樣本量越少，損失強度分布特征參數(shù)估計方差越大，監(jiān)管資本度量誤差越大[9]。可見，操作損失分布特征參數(shù)估計的不確定性(方差)導(dǎo)致了監(jiān)管資本不可忽視的度量誤差。

由此可見，監(jiān)管資本度量不確定性主要來自模型偏差和度量誤差。在現(xiàn)有理論下，模型偏差是無法預(yù)測的，僅模型參數(shù)估計誤差所導(dǎo)致的度量誤差可以預(yù)測。因此，在度量模型確定的條件下，模型偏差不變，僅度量誤差發(fā)生變動。已有文獻(xiàn)從以下兩方面對監(jiān)管資本度量誤差進(jìn)行了系統(tǒng)研究：

第一，監(jiān)管資本度量誤差傳播機理。King[2]認(rèn)為操作風(fēng)險不能直接度量，只能間接度量，在操作風(fēng)險度量結(jié)果及其所依賴的一組度量值之間存在某種函數(shù)關(guān)系，通過對該度量模型的研究，根據(jù)誤差傳播法則，就可以預(yù)測操作風(fēng)險的度量誤差。進(jìn)一步對操作風(fēng)險監(jiān)管資本度量誤差預(yù)測原理的深入研究發(fā)現(xiàn)，損失分布特征參數(shù)的估計誤差會傳導(dǎo)形成監(jiān)管資本度量誤差[9]。但是，兩文獻(xiàn)都未構(gòu)建出操作風(fēng)險度量誤差的預(yù)測模型。以此為基礎(chǔ)，莫建明和周宗放[12]假設(shè)操作損失強度為Weibull分布，系統(tǒng)探討了監(jiān)管資本度量誤差的合成機理：損失樣本分布特征參數(shù)的誤差經(jīng)誤差傳播系數(shù)的傳導(dǎo)，合成操作風(fēng)險價值的誤差。操作風(fēng)險度量誤差傳播機理為進(jìn)一步探索其變動規(guī)律奠定了理論基礎(chǔ)。

第二，監(jiān)管資本度量誤差變動規(guī)律。根據(jù)度量誤差傳播機理，已有文獻(xiàn)主要從置信度和損失分布特征參數(shù)兩個角度探討了度量誤差變動規(guī)律：①置信度變動對度量誤差的影響：Gourier和Farkas等[3]實證研究發(fā)現(xiàn)，監(jiān)管資本在置信度為0.85-0.92時比較穩(wěn)定，但當(dāng)置信度超過0.92后，隨著置信度遞增，監(jiān)管資本變得非常不穩(wěn)定，其度量不確定性增強。莫建明和周宗放[12]以仿真方法分析表明，隨著置信度遞增，操作風(fēng)險監(jiān)管資本度量誤差加速遞增，在高置信度下該度量誤差不可忽視。②損失分布特征參數(shù)變動對度量誤差的影響：莫建明和周宗放[13]以仿真方法分析發(fā)現(xiàn)，在高置信度下，操作風(fēng)險價值置信區(qū)間長度隨形狀參數(shù)遞增而遞增，且形狀參數(shù)是操作風(fēng)險價值置信區(qū)間長度的關(guān)鍵影響參數(shù)。Degen[14]以仿真方法分析發(fā)現(xiàn)，隨著損失頻數(shù)參數(shù)遞增，監(jiān)管資本度量誤差急劇遞增。

以上文獻(xiàn)僅分析了置信度或損失分布特征參數(shù)對度量誤差的影響，但度量誤差大小是相對于監(jiān)管資本大小而言的，只有研究度量誤差隨監(jiān)管資本變動的規(guī)律，才能準(zhǔn)確評估度量誤差大小。為此，本文擬假設(shè)操作損失強度為Pareto分布，進(jìn)一步在損失分布法下研究操作風(fēng)險度量誤差變動規(guī)律，進(jìn)而探尋重尾極值模型下?lián)p失分布法度量誤差變動的一般規(guī)律。

2 監(jiān)管資本及其度量誤差公共影響因子

由于監(jiān)管資本與其度量誤差的影響因子來自其度量模型，因此，以下分別從監(jiān)管資本度量模型及其度量誤差的預(yù)測模型兩方面探尋公共影響因子。

首先，分析監(jiān)管資本的影響因子。在損失分布法下，操作風(fēng)險監(jiān)管資本(the Operational VaR，OpVaR(α))的解析解在一般分布情況下是無法獲得的，Bocker[15]研究發(fā)現(xiàn)，在操作損失強度為重尾性分布的情況下，當(dāng)以損失分布法度量該操作風(fēng)險復(fù)合分布的尾部風(fēng)險時，監(jiān)管資本存在解析解。已有實證研究表明，操作損失強度為重尾性分布，尤其很接近于Pareto分布[3-6]；新巴塞爾協(xié)議規(guī)定，監(jiān)管資本的度量是在置信度α為99.9%的條件下來進(jìn)行，即是估計復(fù)合分布尾部的OpVaR(α)。因此，操作風(fēng)險監(jiān)管資本OpVaR(α)存在解析解：

(1)

式中：Δt表示估計OpVaR(α)的目標(biāo)期間；α表示由損失強度分布和損失頻率分布復(fù)合成的復(fù)合分布的置信度；F(()表示操作損失強度累積分布函數(shù)；EN(Δt)表示當(dāng)目標(biāo)期間為Δt時操作損失頻數(shù)的期望值(為討論方便，以下用符號μ替換EN(Δt))。

Embrechts和Klüppelberg[16]研究表明度量重尾性風(fēng)險的最佳方法是極值模型，在金融機構(gòu)，操作損失發(fā)生的頻率一般比較低，尤其是損失分布尾部的損失發(fā)生頻率更低，因此，一般用廣義Pareto分布模型擬合操作損失強度分布。當(dāng)不考慮位置參數(shù)(不影響本文研究結(jié)果)時，廣義Pareto分布為：

(2)

式中：x表示操作損失強度；θ表示Pareto分布尺度參數(shù)；ξ表示Pareto分布形狀參數(shù)。

將式(2)代入式(1)，可得監(jiān)管資本(即操作風(fēng)險價值，OpVaR(α))

(3)

由式(3)可知，在置信度α一定情況下，監(jiān)管資本的影響因子為損失分布特征參數(shù)：尺度參數(shù)θ、形狀參數(shù)ξ、頻數(shù)參數(shù)μ。

其次，探討監(jiān)管資本度量誤差的影響因子。根據(jù)OpVaR(α)誤差傳播法則[2,9]，在不考慮ξ、θ、μ之間相關(guān)性條件下，得出OpVaR(α)的誤差如下：

(4)

式中，σξ、σθ及σμ分別表示ξ、θ、μ的估計誤差(標(biāo)準(zhǔn)誤)。

由式(4)可得監(jiān)管資本置信區(qū)間為[OpVaR(α)±τσOpVaR]，其中τ為某一置信度下的置信系數(shù)。決定度量誤差(置信區(qū)間長度2τσOpVaR)的變量有兩個：(i)置信系數(shù)τ，由主觀設(shè)定的置信度決定；(ii)OpVaR(α)標(biāo)準(zhǔn)差σOpVaR，由分布特征參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和誤差傳播系數(shù)共同決定?？梢姡诜植继卣鲄?shù)標(biāo)準(zhǔn)差(σξ、σθ及σμ)一定的條件下，度量誤差唯一的客觀影響因子為誤差傳播系數(shù)。

根據(jù)誤差傳播法則的基本原理，定義操作風(fēng)險監(jiān)管資本度量誤差傳播系數(shù)如下：

定義1 誤差傳播系數(shù)是指分布特征參數(shù)(ξ、θ、μ)的標(biāo)準(zhǔn)差合成到OpVaR(α)的標(biāo)準(zhǔn)差中去的比例。分布特征參數(shù)ξ、θ、μ的誤差傳播系數(shù)分別為：

將式(3)代入定義1，可得分布特征參數(shù)的誤差傳播系數(shù)cξ、cθ、cμ分別為：

(5)

(6)

(7)

由定義1及式(5)～(7)可知，在置信度α一定的條件下，誤差傳播系數(shù)的唯一影響因子為損失分布特征參數(shù)。因此，在置信系數(shù)τ一定條件下，監(jiān)管資本度量誤差唯一的客觀影響因子為損失分布特征參數(shù)ξ、θ、μ。

綜合以上兩方面分析可知，監(jiān)管資本與其度量誤差存在公共影響因子：分布特征參數(shù)ξ、θ、μ。通過探討監(jiān)管資本與其度量誤差隨分布特征參數(shù)變動的規(guī)律，可得度量誤差隨監(jiān)管資本變動規(guī)律。

3 操作風(fēng)險度量誤差變動特征

3.1 理論模型

根據(jù)命題1和命題2發(fā)現(xiàn)，不管是尺度參數(shù)還是形狀參數(shù)變動，都存在規(guī)律：隨監(jiān)管資本遞增，度量誤差越大，反之亦然。這意味著，當(dāng)操作損失強度為重尾分布Pareto分布時，盡管是在由操作損失強度分布和損失頻數(shù)分布復(fù)合而成的復(fù)合分布下度量操作風(fēng)險監(jiān)管資本，但是，損失強度分布特征參數(shù)對監(jiān)管資本及其度量誤差的影響規(guī)律，仍然與在單一Pareto分布下的影響規(guī)律相同。

在廣義Pareto分布中，只有Pareto分布屬于重尾分布，其形狀參數(shù)表征分布的尾部特征，又稱為尾指數(shù)，形狀參數(shù)越大，分布尾部越厚。當(dāng)ξ=1時，Pareto分布成為一個特殊分布，被稱為冪分布，屬于典型的標(biāo)準(zhǔn)重尾分布。由命題3可知，在臨界點ξ=1左右，損失強度分布具體不同的尾部形態(tài)，度量誤差變動趨勢存在顯著差異：

當(dāng)ξ>1時，Pareto分布尾部厚度比冪分布尾部厚，此時，大于一階矩都不存在，無法估計其峰度，此時，在頻數(shù)參數(shù)影響下，隨著監(jiān)管資本遞增，度量誤差增大，反之亦然。

當(dāng)ξ<1時，Pareto分布尾部厚度比冪分布尾部薄，此時，在頻數(shù)參數(shù)影響下，隨著監(jiān)管資本變動，度量誤差變動極其敏感，其變動趨勢線是一條存在多個極值狀態(tài)點的曲線。

因此，損失頻數(shù)變動對度量誤差的影響規(guī)律，與損失強度分布的尾部形態(tài)有關(guān)。在不同損失強度分布尾部形態(tài)下，度量誤差變動特征完全不同。

綜合上述命題1～命題3所得結(jié)果可知，隨著操作風(fēng)險增大，監(jiān)管資本遞增，在損失強度分布特征參數(shù)影響下，度量誤差增大，在頻數(shù)參數(shù)影響下，度量誤差變動呈現(xiàn)出顯著的敏感性，其變動趨勢曲線存在多個極值風(fēng)險狀態(tài)點。這意味著在某些風(fēng)險狀態(tài)下，度量誤差可能變得非常大(極大值)。

3.2 實例檢驗

由于操作損失數(shù)據(jù)的機密性，目前沒有公開的操作損失專業(yè)數(shù)據(jù)庫可供研究，因此，本研究根據(jù)已有文獻(xiàn)實證擬合所得操作損失分布的特征參數(shù)值，對上述理論進(jìn)行檢驗。到目前為止，在所有對巴塞爾委員會收集的操作損失數(shù)據(jù)(Loss Data Collection Exercise)的研究中，唯有Moscadelli(2004)[4]的實證研究全面地對業(yè)務(wù)線BL1～ BL8的操作損失頻數(shù)分布和損失強度分布進(jìn)行了擬合，并估計出特征參數(shù)值，如表1所示。根據(jù)BASELⅢ定量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在以下實例分析中，設(shè)α=99.9%。

由命題1知，監(jiān)管資本及其度量誤差相對于尺度參數(shù)的靈敏度為常數(shù)，因此，驗證命題2，在形狀參數(shù)影響下，度量誤差變動趨勢。假設(shè)α=99.9%，得如下表1。

表1 在形狀參數(shù)影響下監(jiān)管資本及其度量誤差變動趨勢

注：1、表中參數(shù)μ、ξ、θ的數(shù)值來自文獻(xiàn)Moscadelli[4]；2、業(yè)務(wù)線BL1-BL8的分類是以BASELⅡ為分類標(biāo)準(zhǔn)

由表1有如下結(jié)論：

2)業(yè)務(wù)線BL1～ BL8的操作損失強度分布具有顯著重尾性，即操作風(fēng)險具有顯著重尾性。統(tǒng)計學(xué)一般用峰度來描述分布尾部厚度，即隨機變量的峰度大于3，則稱隨機變量對應(yīng)分布為厚尾分布。但是，當(dāng)該分布的3階矩趨于無窮大時，隨機變量不存在峰度，此時無法用峰度來描述該分布尾部狀態(tài)，只能采用重尾性來刻畫。由表1可知，存在ξ>1/3，所有業(yè)務(wù)線的損失分布都不存在峰度，因此，只能用重尾性來定義，不能用峰度來定義。這意味著，所有業(yè)務(wù)線損失分布的尾部厚度比一般的能夠用峰度來定義的分布都要厚得多。

上述分析表明，本文所得命題具有實踐意義，該實例所有業(yè)務(wù)線損失強度分布具有重尾性，在形狀參數(shù)影響下，隨監(jiān)管資本遞增，度量誤差遞增。

然后，驗證命題3，在頻數(shù)參數(shù)影響下，度量誤差變動趨勢。假設(shè)α=99.9%，可得表2如下。

由表2可知，損失強度分布形狀參數(shù)變動范圍在0.85～1.39之間，其三階矩都不存在，其厚尾程度僅僅比冪分布(當(dāng)ξ=1時)略薄(BL7～BL8)或略厚(業(yè)務(wù)線BL1～ BL6)，但是，其度量誤差變動趨勢卻有完全不同的兩種情況：

上述實例分析表明，在頻數(shù)參數(shù)影響下，隨監(jiān)管資本遞增，針對業(yè)務(wù)線BL1～ BL6，其度量誤差增大，針對業(yè)務(wù)線BL7～ BL8，度量誤差變動趨勢曲線存在著多個極值狀態(tài)點。

表2 在頻數(shù)參數(shù)影響下監(jiān)管資本及其度量誤差變動趨勢

4 結(jié)語

已有實證研究表明操作風(fēng)險具有顯著重尾性。在高置信度下，當(dāng)以損失分布法來度量重尾性操作風(fēng)險時，其度量結(jié)果存在不可忽視的不確定性。為此，本文假設(shè)操作損失強度為Pareto分布，應(yīng)用損失分布法度量操作風(fēng)險，通過系統(tǒng)研究獲知監(jiān)管資本度量誤差變動的規(guī)律：隨著操作風(fēng)險增大，監(jiān)管資本遞增，在損失強度分布特征參數(shù)影響下，度量誤差遞增；在頻數(shù)參數(shù)影響下，當(dāng)ξ≥1時，度量誤差遞增，當(dāng)ξ<1時，度量誤差變動趨勢曲線存在多個極值狀態(tài)點。

由此可見，隨著監(jiān)管資本變動，度量誤差變動具有非常高的敏感性，這意味著監(jiān)管資本度量誤差具有不可預(yù)測性；在度量誤差值域內(nèi)，存在著極值狀態(tài)點，且在這些極值風(fēng)險狀態(tài)下，相對于監(jiān)管資本來說，度量誤差會變得非常大(以致趨于無窮大)，此時無法準(zhǔn)確評價度量結(jié)果的可靠性?？梢姡?dāng)損失強度分布為重尾性分布，在高置信度下使用損失分布法，其度量結(jié)果可能出現(xiàn)嚴(yán)重缺陷。本研究進(jìn)一步探明了當(dāng)損失強度具有顯著重尾性時，損失分布法度量誤差的變動規(guī)律，為該方法在重尾性風(fēng)險度量中的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

附錄

附錄A，命題1證明過程：

附錄B，命題2證明過程：

證明：將(3)式代入定義2，可得

(B1)

將(5)式代入定義2，可得：

(B2)

(B3)

(B4)

附錄C，命題3證明過程：

證明：將(3)式代入定義2可得：

(C1)

(C2)

(C3)

(C4)

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Change Rule of Loss Distribution Approach’s Measurement Error underthe Pareto Distribution

MOJian-ming1,LVGang2,GAOXiang3,QINGShu-tao4

(1. Chinese Finance Research Institute of SWUFE, Chengdu 610074,China;2. The School of Public Administration of SWUFE, Chengdu 611130,China;3. School of International Business Administration, SHUFE, Shanghai 200433,China;4. Hunan provincial Party School Department of Economics, Changsha 410006,China)

According to the extreme value statistical theory, unexpected loss estimation in a heavy-tailed distribution objectively has uncertainty that cannot be neglected in a high confidence level. Existing empirical research shows that the operating loss intensity distribution has a significant heavy-tailed quality. Therefore, under the loss distribution approach, namely in the composite distribution compounded of heavy-tailed operating loss intensity distribution and loss frequency distribution, the regulatory capital of operational risk is in great uncertainty that cannot be neglected. The uncertainty of regulatory capital is mainly from model error and measurement error. In the existing theory, the model biases are unpredictable, and only the model parameter estimation error caused by the measurement error can be predicted. Therefore, in the condition of fixing measurement model and the model deviation is invariable, only the measurement error changes.

Theoretical research shows that only Pareto distribution is heavy-tailed distribution in the generalized Pareto distribution. Therefore, the operational risk measurement is taken for example in this paper. After measuring error variation by loss distribution approach in Pareto distribution, it is found: As the operational risk increases and the regulatory capital increases progressively, and under the influence of characteristics parameters of loss intensity distribution, the measurement error increases. Under the influence of frequency parameters, when the shape parameter is greater than 1, the measurement error increases. However, when the shape parameter is less than 1, the measurement error trend line has multiple extreme points. Furthermore, according to the fitting results of operating loss frequency distribution and loss intensity distribution using the Basel committee operating loss data samples, they can verify the validity of the proposed theoretical model in this paper.

Thus’ it can be seen that with the changes in regulatory capital, the measurement error changes in high sensitivity, and this means that the measurement error of regulatory capital is unpredictable. Within the range of measurement error, there exists the extreme points, and in the condition of these extreme risk, the measurement error becomes very large (tends to infinity) in relative to the regulatory capital. At this moment, the reliability of the measurement results cannot be accurately evaluated. Obviously, when loss intensity distribution is a heavy-tail distribution, the measurement results may appear serious faults with the loss distribution approach in a high confidence level. Furthermore， the regularity of error variation measured by loss distribution approach when the loss intensity has a significant heavy tail and lays a theoretical foundation for applying LDA in heavy-tailed risk measurement is explored.

operational risk; loss distribution approach; error propagation theory; measurement error

1003-207(2017)11-0134-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.11.014

F830；TP202

A

2016-02-01；

2017-04-17

國家自然科學(xué)基金資助項目(71171167,71501117,71671144,71373213,71301130); 教育部項目(16YJA790038, 13YJC790024); 國家社科基金重大項目資助項目(13&ZD030)

莫建明(1970-)，男(漢族)，四川眉山人，西南財經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心副教授，研究方向：金融工程、金融風(fēng)險，E-mail: mojm@swufe.edu.cn.