Lebesgue外測度可列可加性的充要條件

謝天夏+徐晗+朱翰宬

【摘要】本文研究了Lebesgue外測度可列可加性的問題，利用外測度距離可加性和可測集隔離的方法，得到了外測度具有可列可加性的一個充要條件.該問題包含了外測度有限可加性和可列無窮多時的情況，是對已有的Lebesgue外測度有限可加性充要條件以及可列可加性充分條件的進(jìn)一步推廣.

【關(guān)鍵詞】Lebesgue外測度；可列可加性；開覆蓋

一、引 言

在實(shí)變函數(shù)論中，Lebesgue外測度一般是不滿足可列可加性的，由此定義出可測集，當(dāng)集合列中每一個集合都是可測集，且互不相交時，則能夠證明出該集合列的Lebesgue外測度滿足可列可加性.但是，這不是一個充要條件.此外，有些文獻(xiàn)在論述外測度時，常常提出一些外測度有限可加性的充分條件：若E1與E2是RL（L維歐式空間）中的有界點(diǎn)集，且ρ（E1，E2）>0（ρ表示E1和E2的距離），則m*（E1∪E2）=m*（E1）+m*（E2），其中m*表示外測度，這就是外測度的隔離性定理.

通過隔離性定理可以獲得一定的啟發(fā)，如果用可測集列來“隔離”集合列中每一個集合元素，即對于集合列中的每一個集合元素，若能找到一個可測集，這些找到的可測集互不相交，那么就有可能得出這個集合列具有可列可加性，而且這種假設(shè)包含了互不相交的可測集列滿足可列可加性的情況，而這種猜想的正確性由下面給出的定理1和定理2驗(yàn)證了.

二、主要結(jié)果

定理2說明了，若集合列外測度滿足可列可加性，則必定存在另一個可測集合列，對應(yīng)集合包含上述集合列中元素，且該可測集合列互不相交.

定理1和定理2聯(lián)系起來看，得出下述結(jié)論：若集合列外測度滿足可列可加性，則等價于該集合列中每個集合元素都能找到一個可測集合，且可測集合互不相交.