三角換元技巧與三元函數(shù)最值

江蘇省泰州市蘇陳中學(xué) (225300)

房園園

三角換元技巧與三元函數(shù)最值

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三角換元技巧是一種用三角函數(shù)代替問題中的字母，然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系而達(dá)到解題目的的一種代換方法，此法應(yīng)用廣泛，本文僅就這種方法在求解三元函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，精選部分高考數(shù)學(xué)題為例說明如下.

一、解最大值問題

分析:考題為三元二次方程限定下，求三元分式的最值問題，解決本題通?？蛇\(yùn)用換元思想，反用條件解題，但都較繁，然而根據(jù)條件，通過先配方，再利用三角換元技巧可簡明求得其解.

點(diǎn)評(píng):本題考查的是三元函數(shù)最值的求法，它既是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，又是一道具有潛在價(jià)值的新穎題目.本題運(yùn)用三角換元技巧求解，構(gòu)思巧妙，別具一格，充分顯現(xiàn)了三角換元技巧在解題中的重要作用，其解法簡明流暢，令人贊嘆.

二、解最小值問題

分析:本題所求的最小值是關(guān)于分式的三元函數(shù)，難度大，然而通過變換與變形便能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到了三角換元求解就簡便了.

分析:本題為三元函數(shù)的最值問題，由于試題橫向入口較寬，縱向難度較大，綜合性和技巧性很強(qiáng)，因而學(xué)生感到很棘手.然而根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)特征巧妙將已知條件變形，再運(yùn)用三角換元技巧就可將三元函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求最小值，從而解題就便利了.

點(diǎn)評(píng):上述方法是從條件入手，通過配方，將已知條件三角化后代入目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來處理.本題運(yùn)用三角換元技巧法求解，不僅簡潔明快，解法流暢，而且能啟迪學(xué)生思維，提高解題速度，拓寬視野，符合新課程改革的理念，對(duì)于有效指導(dǎo)學(xué)生解題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，均頗有益處.

三、解最大值和最小值問題

例4 (2015年蘇錫常三市高考二模試題)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最大值和最小值.

分析:本題如從已知條件入手求解，則很難，但從結(jié)論入手通過設(shè)a=rcosθ,b=rsinθ,則可聯(lián)系三角函數(shù)知識(shí)求得結(jié)果.此題設(shè)計(jì)精巧，根據(jù)題中條件的結(jié)構(gòu)特征，利用三角換元思想解題可謂別具一格.

點(diǎn)評(píng):本題屬于三元條件最值問題，直接用代數(shù)方法解較難.然而根據(jù)已知條件式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想三角換元，利用正弦函數(shù)有界性求得最大值和最小值.其解法思維自然，過程流暢，從而溝通了題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，使問題輕松得到解決.這種創(chuàng)新的思維流程，對(duì)于有效指導(dǎo)學(xué)生解題，激發(fā)學(xué)生的解題熱情，提高學(xué)生的解題能力，大有裨益.

從以上各例可以看出用三角換元技巧求高考最值問題，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中隱藏的三角函數(shù)關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與代數(shù)有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，以達(dá)到解題目的.

用三角換元技巧求解高考最值問題之所以具有新穎別致、獨(dú)特創(chuàng)新的靈活性和創(chuàng)造性，是因?yàn)樵诮忸}過程中往往容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時(shí)，就能化繁為簡，變難為易.

[1]于志洪.應(yīng)用三角換元法解高考最值問題.[J].數(shù)學(xué)通訊(下期)，2014(1).

[2]于志洪.應(yīng)用三角換元法解競賽最值問題[J].數(shù)學(xué)通訊(上期)，2015(4).

[3]于志洪.代數(shù)法求最值十二曲[J].中學(xué)生理科應(yīng)試.2013(4).

[4]于志洪，吳春勝.應(yīng)用換元法解高考最值問題[J].中學(xué)生百科(高中學(xué)習(xí)).2013(3).