廣義有序加權(quán)指數(shù)平均算子及其應(yīng)用

杜迎雪,常 娟,劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

廣義有序加權(quán)指數(shù)平均算子及其應(yīng)用

杜迎雪,常 娟,劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

基于罰函數(shù)通過構(gòu)造優(yōu)化模型提出了一種新的算子——廣義有序加權(quán)指數(shù)平均算子(GOWEA)，并且研究了GOWEA算子的性質(zhì).為了確定權(quán)重，提出了GOWEA算子的orness測度并研究了orness測度的性質(zhì).最后,將GOWEA算子應(yīng)用到多屬性群決策問題中.

多屬性決策；廣義加權(quán)指數(shù)平均算子；廣義有序加權(quán)指數(shù)平均算子；有序加權(quán)平均算子

多屬性決策作為現(xiàn)代決策理論的一個重要分支，其理論與方法廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、工程諸多領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)效益評價、供應(yīng)商選擇、武器裝備性能評價、工程招標(biāo)與投標(biāo)等.多屬性決策的核心問題之一是各個屬性值按照什么方式進(jìn)行綜合，即集成算子的確定；核心問題之二是在將屬性值進(jìn)行綜合時，各個屬性的重要性權(quán)重如何確定，即集成函數(shù)中各個待集成參數(shù)的重要性權(quán)重.一個有效的集成算子能夠更加明確地反映決策結(jié)果，使多種屬性值在進(jìn)行綜合應(yīng)用時不能缺失，正確體現(xiàn)決策效果.鑒于集成算子及其權(quán)重在多屬性決策中的重要性，許多學(xué)者對信息集成算子及其相關(guān)問題進(jìn)行了廣泛深入的研究.Yager[1]于1988年提出了有序加權(quán)平均算子；Chiclana等[2]和Xu等[3]將OWA算子進(jìn)行推廣，提出了有序加權(quán)幾何平均(OWGA)算子；陳華友等[4]提出了有序加權(quán)調(diào)和平均算子等.2004年，Yager[5]將OWA算子和廣義有序加權(quán)平均結(jié)合，提出了廣義有序加權(quán)平均(GOWO)算子；周禮剛等[6-9]以基于罰函數(shù)的優(yōu)化模型，通過求解優(yōu)化模型來獲取信息集成函數(shù)，從而提出了一些廣義信息集結(jié)算子：廣義有序加權(quán)對數(shù)平均算子、廣義有序加權(quán)平均算子、廣義有序加權(quán)指數(shù)比例平均算子、廣義有序加權(quán)對數(shù)比例平均算子等，由這種方法構(gòu)建的集結(jié)算子能夠從一定程度上反映原始數(shù)據(jù)的大量信息，并且具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)，而不同罰函數(shù)構(gòu)建的優(yōu)化模型得到的信息集結(jié)算子也不同.目前，關(guān)于這類更具有理論性質(zhì)的集成算子的討論仍然不是很多，所以有必要進(jìn)行進(jìn)一步研究.

本課題構(gòu)造了一個新的罰函數(shù)，通過構(gòu)建一個偏差模型得到了一種信息集結(jié)算子——廣義加權(quán)指數(shù)平均算子(GWEA)，進(jìn)而定義了廣義有序加權(quán)指數(shù)平均算子(GOWEA)，并研究其性質(zhì).為了確定廣義有序指數(shù)加權(quán)平均算子的集結(jié)權(quán)重，定義了GOWEA 算子的orness測度，并且研究了orness測度的性質(zhì).為了確定權(quán)重，基于orness測度提出了廣義最小平方法優(yōu)化模型.最后，通過實(shí)例研究GOWEA 算子在多屬性群決策中的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

minJ=∑ωi[(ey)λ-(eai)λ]2.

定義1若函數(shù)GWEA∶Mn→M，滿足

例1設(shè)a1=4，a2=3，a3=5，a4=3，加權(quán)向量ω=(0.2,0.3,0.4,0.1)T，當(dāng)參數(shù)λ=0.5時，則

GWEA(4,3,5,3)=ln(0.2×e2+0.3×e1.5+0.4×e2.5+0.1×e1.5)=4.194 4.

若考慮數(shù)據(jù)的排序，則得到下面的GOWEA算子.

例2利用例1中數(shù)據(jù)，b1=a3=5，b2=a1=4,b3=a2=3,b4=aa=3,當(dāng)參數(shù)λ=0.5時，則

GOWEA(4,3,5,3)=ln(0.2×e2.5+0.3×e2+0.4×e1.5+0.1×e1.5)2=3.861 4.

表1 GOWEA算子集結(jié)結(jié)果Tab.1 The solution of the GOWEA

故GOWEA算子可以看作OWA算子的推廣.

例3利用例1中數(shù)據(jù)，b1=a3=5,b2=a1=4,b3=a2=3,b4=a4=3，分別取λ=-1,0.000 1,0.5,1,2，根據(jù)GOWEA算子計算得到表1.

下面討論GOWEA算子的性質(zhì).

定理1(單調(diào)性) 設(shè)f為GOWEA算子，若對任意的i有ai≥ci，則f(a1,a2,…,an)≥f(c1,c2,…,cn).

式中:bj是數(shù)據(jù)ai中第j大的數(shù);dj是數(shù)據(jù)ci中第j大的數(shù).由于ai≥ci，所以bj≥dj.

f(a1,a2,…,an)≥f(c1,c2,…,cn).

定理2(置換不變性) 設(shè)f為GOWEA算子，(c1,c2,…,cn)為(a1,a2,…,an)的任一置換，則

f(a1,a2,…,an)=f(c1,c2,…,cn).

定理3(冪等性) 設(shè)f為GOWEA算子，若對于(a1,a2,…,an)，有a1=a2=…=an=a，那么，

f(a1,a2,…,an)=a.

證明由定理1和定理3可證.

定理5(關(guān)于λ的單調(diào)性) 設(shè)f為GOWEA算子，若參數(shù)λ1≥λ2，則f(λ1)≥f(λ2).

注2 由定理5關(guān)于λ的單調(diào)性及GOWEA算子的有界性可知：若λ→+∞，則GOWEA算子可轉(zhuǎn)化為極大值算子；若λ→+∞，則GOWEA算子可轉(zhuǎn)化為極小值算子.

定理6(平移不變性) 設(shè)f為GOWEA算子，若對于(a1,a2,…,an)及常數(shù)c，則f(a1+c,a2+c,…,an+c)=f(a1,a2,…,an)+c.

2 GOWEA算子的orness測度

參見文獻(xiàn)[10-12]，給出GOWEA算子的orness測度.

顯然，當(dāng)ω=(1,0,…,0)時，ornessλ(ω)=1；當(dāng)ω=(0,0,…,1)時,ornessλ(ω)=0.

定理7orness測度的有界性：0≤ornessλ(ω)≤1.

證明從ornessλ(ω)定義中可知其與GOWEA算子之間的關(guān)系為

定理9若λ1≥λ2，則ornessλ1(ω)≥ornessλ2(ω).

定理11若設(shè)權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，其反序向量為ω′=(ωn,ωn-1,…,ω1)T，則有ornessλ(ω′)=1-orness-λ(ω).

3 確定GOWEA算子權(quán)重的最小平方法

在給定orness水平下，為了確定GOWEA算子權(quán)重可構(gòu)造如下優(yōu)化模型：

上述確定權(quán)重的方法稱為廣義指數(shù)平方法，該方法要求相鄰兩項(xiàng)權(quán)重越接近越好，而不考慮權(quán)重的分布情況.決策者可以根據(jù)需要來選擇α的值.此模型為非線性規(guī)劃模型，可以利用Matlab最優(yōu)化工具箱或者Lingo軟件來求解.

4 基于GOWEA算子的決策方法

在多屬性決策中，屬性(或稱為指標(biāo))的物理量綱或者數(shù)量級不同，首先對屬性值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.屬性分為兩種：效益型和成本型.

可以選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)化方法[13]，根據(jù)GOWEA算子的多屬性，決策方法步驟如下：

步驟2根據(jù)廣義指數(shù)平方法計算屬性權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T.

步驟4根據(jù)廣義指數(shù)平方法計算決策者權(quán)重向量ω=(v1,v2,…,vt)T.

步驟6根據(jù)集結(jié)結(jié)果進(jìn)行排序，選出最優(yōu)方案.

表2 專家1決策矩陣A(1)-d1Tab.2 The decision matrix of expert 1 A(1)-d1

5 決策應(yīng)用

例4考慮一個采購問題.某航空公司需要采購飛機(jī)，經(jīng)過市場分析有6家飛機(jī)制造商待選：x1,x2,x3,x4,x5,x6.為了選出最佳采購商，經(jīng)過仔細(xì)分析，航空公司組織了一個3人決策專家組，他們決定從以下幾個屬性進(jìn)行評價：價格c1、工期c2、風(fēng)險c3、質(zhì)量c4、施工技術(shù)c5、企業(yè)信譽(yù)c6，專家組就這6個屬性對6家公司進(jìn)行評價，得到的評價結(jié)果見表2至表4.

表3 專家2決策矩陣A(2)-d2Tab.3 The decision matrix of expert 2 A(2)-d2

表4 專家3決策矩陣A(3)-d3Tab.4 The decision matrix of expert 3 A(3)-d3

步驟1屬性c1,c2,c3為成本型屬性，c4,c5,c6為效益型屬性，對決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣：

步驟2根據(jù)廣義指數(shù)平方法(λ=1,μ=2,α=0.5)得到權(quán)重向量為

ω=(0.123 2,0.140 8,0.161 9,0.180 2,0.193 4,0.200 5)T.

步驟3利用GOWEA算子(λ=1)的R(1),R(2),R(3)進(jìn)行集結(jié)，得到

r11=1.675 3,r12=1.394 1,r13=1.388 3,r21=1.553 5,r22=1.274 0,r23=1.288 9,r31=1.500 9,r32=1.200 5,r33=1.127 2,r41=1.404 8,r42=1.172 3,r43=1.219 9,r51=1.568 6,r52=1.320 4,r53=1.339 5,r61=1.296 5,r62=1.167 1,r63=1.250 4.

步驟4利用廣義指數(shù)平方法(λ=1,μ=2,α=0.5)得到?jīng)Q策者權(quán)重向量為

v=(0.246 3,0.347 6,0.406 1)T.

步驟5再利用GOWEA算子(λ=1)得到方案綜合屬性值：

r1=1.468 9，r2=1.355 3，r3=1.256 5，r4=1.250 6，r5=1.393 7，r6=1.229 3.

步驟6綜合屬性值降序排列為r1>r5>r2>r3>r4>r6.

步驟7根據(jù)綜合屬性值的排序，方案的排序結(jié)果為x1?x5?x2?x3?x4?x6.因而，最優(yōu)方案為x1.

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Generalizedorderedweightedexponentialaveragingoperatoranditsapplications

DUYingxue,CHANGJuan,LIUWeifeng

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouUniversityofAeronautics,Zhengzhou450015,China)

We present a new operator called the generalized ordered weighted exponential averaging (GOWEA) operator based on a minimization problem with penalty function. We discuss different properties of the operator. To determine the GOWEA operator weights, we propose the orness measure and the generalized least squares method which does not follow a regular distribution. Finally, we give an applied example to illustrate the validity and practicability of projection method.

multi-attribute decision-making; generalized weighted exponential averaging; generalized ordered weighted exponential averaging; ordered weighted averaging operator

C934

A

1674-330X(2017)04-0076-07

2017-09-07

國家自然科學(xué)基金(11501525)；河南省基礎(chǔ)前沿研究計劃項(xiàng)目(152300410126)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14A630017)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金(2014113001，2016113003，2017113003)

杜迎雪(1979-)，女，河南許昌人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.