許德勝

（上海同豪土木工程咨詢有限公司，上海市 200092）

組合梁橋徐變分析的超級單元法

許德勝

（上海同豪土木工程咨詢有限公司，上海市 200092）

基于多軸應(yīng)力狀態(tài)下的粘彈性本構(gòu)關(guān)系，提出了鋼-混凝土組合梁橋徐變分析的超級元法。采用廣義Maxwell模型描述混凝土徐變行為，利用超級元法縮減分析規(guī)模，并通過Newton-Raphson迭代方法求解結(jié)構(gòu)徐變響應(yīng)。以兩跨鋼-混凝土連續(xù)梁橋為例分析了徐變對結(jié)構(gòu)的影響，可供相關(guān)工程設(shè)計和實踐參考。

徐變；組合梁橋；粘彈性；超級單元；廣義Maxwell模型

0 引言

鋼-混凝土組合梁橋充分發(fā)揮了鋼、混凝土兩種材料的受力性能，已在橋梁工程中得到廣泛應(yīng)用?；炷列熳儠菇M合梁撓度隨時間不斷增大，并導(dǎo)致鋼梁與混凝土板間的應(yīng)力重分布，對鋼-混凝土組合梁橋的徐變進行研究具有重要意義。

徐變效應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)測依賴于對徐變機理的準(zhǔn)確描述。Ichinose等和Guedes等采用Kelvin粘彈性模型對軸壓狀態(tài)下混凝土徐變做了研究[1,2]。Diab等和Jo等分別基于廣義Maxwell粘彈性模型研究了混凝土的長期性能[3,4]。Kwak等基于應(yīng)變協(xié)調(diào)條件，采用Dirichlet級數(shù)表達的徐變模型研究了組合梁橋的徐變響應(yīng)[5]。程曉東等采用三參數(shù)粘彈性模型分析了鋼-混凝土組合梁橋的徐變效應(yīng)[6]。需要指出，Kelvin模型不能考慮混凝土的瞬時變形，而Maxwell模型不能模擬其長期變形。可同時考慮混凝土瞬時和長期變形的最簡單模型為三參數(shù)模型和線性固體模型，但該類模型因采用單一松弛時間，在混凝土的整個徐變時間內(nèi)與實驗數(shù)據(jù)吻合的能力并不好[7]。此外，多數(shù)研究[1-5]都基于單軸應(yīng)力狀態(tài)下的粘彈性本構(gòu)關(guān)系，無法考慮混凝土的三維應(yīng)力狀態(tài)?；趶V義Maxwell粘彈性模型，采用實體單元分析可在理論上克服上述缺陷，但考慮到龐大的計算量，難以在實際工程中應(yīng)用。

本文基于三維粘彈性理論，采用廣義Maxwell模型，構(gòu)造了考慮混凝土徐變的超級元模型，并將該模型用于兩跨鋼-混凝土組合梁橋的徐變分析。

1 混凝土徐變的增量本構(gòu)關(guān)系

本文采用廣義Maxwell模型模擬混凝土徐變，見圖1。其中，每個支路可采用長短不同的松弛時間，以準(zhǔn)確模擬混凝土的徐變歷程。根據(jù)應(yīng)力松弛試驗下的Laplace變換和Laplace逆變換可得單軸應(yīng)力狀態(tài)下的松弛模量，

圖1 廣義Maxwell模型

式中：τi=ηi/ki為第i個支路的松弛時間。

利用Boltzmann疊加原理，由式（1）可得單軸應(yīng)力狀態(tài)下混凝土的積分型本構(gòu)關(guān)系：

考慮到Laplace變換只影響時間參數(shù)，可將上面的本構(gòu)關(guān)系直接推廣到多軸應(yīng)力狀態(tài)：

式中：Sij和eij為應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量；σm和εm為平均應(yīng)力和平均應(yīng)變；Gi和Ki為剪切模量和體積模量相關(guān)的材料常數(shù)，可根據(jù)試驗或規(guī)范給出的徐變系數(shù)確定。

將式（3）的時間變量進行離散，記時間分點為0=t0＜t1＜tn＜tn+1＜…，為求算由整個應(yīng)變歷史所描述的積分項，可由前一時刻tn的解答遞推得到當(dāng)前時刻tn+1的解答[8]。此時，需要將混凝土多軸應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系表達為增量形式，即

式中：時間步長Δtn=tn+1-tn。

2 考慮徐變的超級單元列式

為縮減組合梁橋徐變分析的空間離散規(guī)模，本文將述模型引入基于二次等參映射方法和非協(xié)調(diào)元理論構(gòu)造的超級單元。

超級單元有八個節(jié)點，并可以含有多個積分子域，不同子域代表不同的材料或構(gòu)件。單元子域的局部坐標(biāo)系見圖2。

則局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系下的位移轉(zhuǎn)換矩陣可表達為：

式中：lx′，mx′，nx′分別為 x′軸與整體坐標(biāo)軸x,y,z的夾角余弦，其余符號含義相似。

記單元內(nèi)任意點的整體坐標(biāo)為x={x,y,z}T，對應(yīng)的自然坐標(biāo)為ξ={ξ，n，ζ}T，在子域?qū)?yīng)的母單元中的坐標(biāo)為ξ′={ξ′，η′，ζ′}T，則 x 與ξ間的等參變換可定義為初次等參變換，ξ與ξ′間的變換為第二次等參變換，見圖3。

圖3 超級單元等參映射

則存在：

為改善超級元各子域的變形并采用完全三維的本構(gòu)關(guān)系，為每個子域局部坐標(biāo)系下的位移分量附加下述非協(xié)調(diào)位移[9]：

利用式（5）將式（7）中局部坐標(biāo)系下的位移轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中，可得第k個子域的切線剛度矩陣：

式中：m為超級元所包含的子域數(shù)。

將式（9）中的單元剛度矩陣組集，可得整個離散系統(tǒng)的切線剛度矩陣KT，用Newton-Raphson法求解混凝土徐變這類非線性問題時可采用下述迭代格式：

式中：k=0，1，2，…，上標(biāo)（k）表示第 k 個迭代步對應(yīng)的物理量；F為外力等效節(jié)點力為第k個迭代步的內(nèi)力等效節(jié)點力。式（10a）的右端代表殘差，表征迭代過程中的不平衡量，可作為迭代收斂的依據(jù)。

3 鋼-混凝土組合梁橋的徐變分析

本節(jié)將利用Kwak等的兩跨鋼-混凝土組合梁，闡述超級元法在鋼-混凝土組合梁橋徐變分析中的應(yīng)用。

鋼-混凝土組合梁橋的幾何尺寸見圖4，荷載q由表1中各項荷載分量確定。

圖4 兩跨連續(xù)組合梁橋 (單位：cm)

表1 組合梁橋荷載條件 kN/m

組合梁橋的材料性質(zhì)參數(shù)取值見表2，考慮到Kwak等分析時采用了ACI徐變模型，本文采用4個Maxwell支路對ACI模型的徐變系數(shù)進行非線性最小二乘擬合，確定的模型參數(shù)見表3。為便于分析，將鋼材視為各Maxwell支路的剪切模量和體積模量均為零的特殊粘彈性材料。

表2 組合梁橋材料性質(zhì)參數(shù)

表3 廣義Maxwell模型材料參數(shù)

將圖4中的連續(xù)梁在縱向每2 m劃分1個單元，在橫向劃分2個單元，見圖5。其中，混凝土板采用僅含1個子域的超級元劃分；工字鋼梁采用含有5個子域的超級元劃分，但其中2個空子域不參與剛度矩陣計算。整個系統(tǒng)共劃分了40個單元和126個節(jié)點(含虛擬節(jié)點)。徐變分析中，取等時間步長1.0 d，計算開始加載后1 000 d內(nèi)混凝土徐變效應(yīng)。為考查本文方法的計算精度，還采用ABAQUS程序分析了該問題。需要指出，為能夠準(zhǔn)確描述鋼-混凝土組合截面的幾何形狀，采用ABAQUS三維實體單元分析時至少需劃分504個節(jié)點和240個單元。

圖5 有限元網(wǎng)格

表4 跨中（x=10 m）測點A撓度 mm

表4給出了不同時間跨中位置測點A的撓度變化。不難看出，超級元法僅需1/4的系統(tǒng)自由度即可獲得與ABAQUS程序接近的解答（誤差3%以內(nèi)），證實了本文方法的可靠性和有效性。

圖6給出了不同齡期沿梁軸線x方向的撓度變化；因未考慮混凝土的收縮變形，撓度計算值要比Kwak等的解答略小。圖7為混凝土徐變導(dǎo)致的跨中位置B、C測點的軸向應(yīng)力變化。徐變引起鋼-混凝土間的應(yīng)力重分布，導(dǎo)致鋼梁應(yīng)力增長和混凝土板應(yīng)力下降。

圖6 撓度隨時間的變化

圖7 軸向應(yīng)力隨時間的變化

4 結(jié)論

（1）本文基于三維粘彈性理論，采用廣義Maxwell模型考慮混凝土的徐變特性。相對于具有單一松弛時間的粘彈性模型，廣義Maxwell模型可以更好地反映混凝土的徐變規(guī)律。

（2）超級元法允許單個單元內(nèi)含有不同的材料和構(gòu)件，縮減了徐變分析中空間離散所需的計算量，提高了計算效率。

（3）類似于對ACI徐變模型的模擬，可采用廣義Maxwell模型對《預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG D62-2004)給出的混凝土徐變系數(shù)進行非線性最小二乘擬合，使本文方法可直接按04規(guī)范要求分析混凝土橋梁的徐變效應(yīng)。進一步研究表明，通常僅需3-4個Maxwell支路即可很好地擬合04規(guī)范給出的徐變系數(shù)。

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1009-7716（2017）12-0040-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.12.012

2017-06-30

許德勝(1979-)，男，山東東營人，工程師，從事橋梁結(jié)構(gòu)分析理論研究與結(jié)構(gòu)分析軟件研發(fā)工作。