費荔枝，呂恒民，季偉偉

（吉安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.師范學(xué)院；b.公共基礎(chǔ)課教學(xué)部，江西 吉安 343000）

一類具有時滯和非連續(xù)治愈的脈沖SEIR模型分析

費荔枝a，呂恒民b，季偉偉b

（吉安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.師范學(xué)院；b.公共基礎(chǔ)課教學(xué)部，江西 吉安 343000）

文章研究了具有時滯和非連續(xù)治愈的脈沖SEIR傳染病模型，運用脈沖微分方程的比較定理，得到系統(tǒng)無病周期解的全局吸引性和全局漸進(jìn)穩(wěn)定性條件，通過計算得到了疾病消亡與否的閾值R*和R*當(dāng)R*＜1時疾病會消亡；當(dāng)R*＞1時疾病持久存在，最終會形成地方性疾病。

傳染?。粫r滯；脈沖接種；持久性

傳染病是有病毒、細(xì)菌等病原微生物和寄生蟲感染人體后產(chǎn)生的具有傳染性的疾病，給人類的生存帶來了很多的危害，嚴(yán)重影響著人類的生活和社會經(jīng)濟(jì)[1]。傳染病在其傳播的過程中，其表現(xiàn)的形式是多樣的，比如艾滋病，乙肝等在人類感染之后并不會馬上有臨床癥狀，而是在人體內(nèi)潛伏若干年后有所表現(xiàn)，這樣以來就出現(xiàn)時滯效應(yīng)。近年來，具有時滯的傳染病模型在不同程度上受到國內(nèi)外學(xué)者共同關(guān)注[2-4]。而對傳染病的預(yù)防和控制，學(xué)者們研究了連續(xù)接種[5]和脈沖接種[6],像麻疹、乙肝、結(jié)核等傳染病來說，采用脈沖接種是一種非常有效的控制疾病的策略[7]；像瘧疾、班氏絲蟲病、馬來絲蟲病、乙型腦炎、登革熱等依靠媒介傳播的疾病，脈沖撲殺媒介也是控制疾病傳播有效策略[8]。為更真實的描述的傳播過程及預(yù)防和控制，人們往往同時將時滯和脈沖接種考慮在模型之中,這就構(gòu)成了時滯脈沖傳染病模型，其分析方法有別于時滯微分方程和脈沖微分方程?；谝陨险撌鑫覀儗⒔⒕哂屑膊摲?、脈沖預(yù)防接種和分時斷治療的SEIR模型分析，將利用脈沖比較方程理論和右端不連續(xù)微分方程理論討論系統(tǒng)無病周期解和地方病周期的相關(guān)性態(tài)。

1 SEIR傳染病模型的建立

Zhang等在文獻(xiàn)中研究了帶有雙線性的SEIR傳染病模型[9]：

其中，S(t)表示易感者，E(t)表示感染疾病沒有爆發(fā)的潛伏者，I(t)表示感染者，R(t)表示恢復(fù)者。在系統(tǒng)（1）中，作者僅考慮非連續(xù)治愈h(I)，而現(xiàn)實環(huán)境中許多傳染病具有一定的潛伏周期，時滯的出現(xiàn)很好的的解釋了這一現(xiàn)象。同時，在控制傳染病的策略中脈沖接種是人常用的一種方法。因此，我們將研究如下帶有脈沖接種策略和時滯的傳染病模型：

其中，Λ為易感類出生率，μ為自然死亡率，γ為恢復(fù)率，τ表示傳染病的潛伏周期。函數(shù)h(I)=φ(I)I表示治愈率，且0≤h(I)≤1。其中，φ(I)隨感染類I(t)的增加而增加。為便于研究，假設(shè)：

(H1)φ:是單調(diào)不減且是分段連續(xù)的,即除了可數(shù)個孤立的點是間斷的，其他點都是連續(xù)的。不失一般性，φ在I=0時是連續(xù)的，否則,我們可以修改φ在0的取值為φ(0+)，可以發(fā)現(xiàn)這樣做并不會改變h在0的取值，即我們?nèi)杂衕(0)=0，并且不會引起系統(tǒng)(2)和(3)的變化。定義φ(0)是φ(.)的極限，即φ(0-),φ(0+)分別是φ(I)的左極限和右極限，當(dāng)I→0-或I→0+。

因為系統(tǒng)（2）的第一和第三個方程中沒有E(t)和R(t)，所以系統(tǒng)（2）可簡化為：

系統(tǒng)（3）的初始條件為：S(θ)=?1(θ),I(θ)=?2(θ),其中，是分段函數(shù)在第一類不連續(xù)點-nT(n∈N)的左連續(xù)，即?(-nT-)=?(-nT)上的空間，其中同時C又是Banach空間，且有唯一的模：

設(shè)N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)，由系統(tǒng)（2）前四個方程相加可得：

因此個體總量在某一時間內(nèi)是可變的，并且N(t)在t∈[0,+∞)是連續(xù)的。由系統(tǒng)（4）可得因為和I′(t)|s=0=0，在t≠nT,n∈N時，有S(nT+)=(1-θ)S(nT),1(nT+)=1(nT),n∈N。

如果系統(tǒng)（3）在[0,T)的任何緊子空間內(nèi)是連續(xù)的，并且在[0,T)的每一處都滿足如下微包方程

且該映射是一非空緊凸值的上半連續(xù)集值映射。

注意到(H1)意味著并且h(I)在0連續(xù)。根據(jù)φ在I=0的連續(xù)性，存在正常數(shù)?使得當(dāng)時,φ(I)是連續(xù)的并且(5)中的微分包含式變成下面的右端連續(xù)的微分方程:

由上面的討論，可得一下引理：

引理 1Ω是系統(tǒng)（6）的正不變集，其中充分小。

引理2[10]下列脈沖微分方程

如果a＞0,b＞0,0＜θ＜1，則系統(tǒng)（7）存在唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正周期解

引理3[11,12]下列時滯微分方程

其中，a1,a2和τ正常數(shù)，且x(t)＞0,當(dāng)t∈[-τ,0]時，則有：

(i)如果a1＜a2則

(ii)如果a1＞a2則

2 模型的吸引性

首先，當(dāng)所有t≥0時I=0，分析無病周期解的存在性。易感類S(t)在t∈(nT,(n+1)T]時滿足如下方程組：

由引理2，可以得到系統(tǒng)（7）的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的周期解：

定理1如果R*＜1,則無病周期解(s(t),0)在Ω上是全局吸引的，其中

證明因為R*＜1，取充分小的?0＞0使得βe-μτξ＜δ+γ。

由系統(tǒng)（6）的第一個方程得

由引理2得系統(tǒng)（8）有唯一全局漸進(jìn)周期解

設(shè) (S(t),I(t))是系統(tǒng)（6）的解 ，S(θ)=?1(θ),θ∈[-τ,0],u(t)是系統(tǒng)（8）在初值條件u(θ)=?1(θ),θ∈[-τ,0]下的解。由脈沖比較方程定理可得,存在一個常數(shù)n1使得

進(jìn)一步可得

由系統(tǒng)（6）的第二個方程得

考慮如下輔助系統(tǒng)

由引理3可得

根據(jù)比較定理和I(t)的非負(fù)性可得

因此，對于充分小的ε0＞0,存在一個常數(shù)n2＞n1(其中n2T＞n1T+τ)使得，如果t＞n2T，則I(t)＜ε0。

從系統(tǒng)（6）的第一個方程，當(dāng)t＞n2T+τ時，有S′(t)＞Λ-(μ+βε0)S(t)和根據(jù)比較定理和I(t)的非負(fù)性可得

我們考慮下面兩個比較脈沖方程對于t＞n2T+τ和n2＞n1，

由引理 2可知，系統(tǒng)（11）和（12）有唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的周期解分別是：

由脈沖比較方程可知，存在一個常數(shù)n3＞n2,使得n3＞n2+τ且

因為ε0可以任意小，所以由（13）可得

由（10）和（14）可知，系統(tǒng)（6）的無病周期解是全局吸引的。定理證畢。

由定理1，易得如下結(jié)論。

推論1如果則系統(tǒng)（6）的無病周期解是全局吸引。

推論2假設(shè)如 果θ＞θ*或T＜T*或τ＞τ*，則系統(tǒng)（6）的無病周期解(Ss(t),0)是全局吸引的，其中，

3 模型的持久性

在一個相當(dāng)長的時間內(nèi)，如果感染類持續(xù)在某一個閾值水平之上，稱該傳染病為地方病。在研究傳染病的持久性之前，先給出有關(guān)定義和引理。

定義1如果存在常數(shù)η＞0（獨立于初始條件）使解(S(t),I(t))在初始條件（3）不變的情況下滿足

則稱系統(tǒng)（6）是一致持久的。

記兩個等式：

引理 4如果R*＞1，則對任意t0＞0，不可能有I(t)＜I*對所有的t≥t0。

證明假設(shè)矛盾，則有t0＞0使得I(t)＜I*，對所有t≥t0。根據(jù)系統(tǒng)（6）的任意解(S(t),I(t))，定義

系統(tǒng)（6）的第二個方程可以寫為

可以得到V沿著系統(tǒng)（6）解得導(dǎo)數(shù)

由系統(tǒng)（6）的第一個方程可得

則可以構(gòu)建比較方程，對t≥t0,

由引理2，可得系統(tǒng)（17）唯一的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的周期解，對nT＜t≤(n+1)T,有

由脈沖比較方程定理可知，存在一個整數(shù)t1(t1＞t0)和充分小的ε＞0使得

則有

由（15）和（17），有

因為R*＞1，易得I*＞0進(jìn)一步，則存在充分小的ε＞0使得

由上面的結(jié)果，可以得到

I(t)≥m,當(dāng)t1≤t≤t1+τ+T*,I(t1+τ+T*)=m和I′(t1+τ+T*)≤ 0。

由系統(tǒng)（6）的第二個方程和（18），得

由（20）式 可 得I′(t1+τ+T*)＞0 ，這 和I′(t1+τ+T*)≤0。因此，I(t)≥m，當(dāng)所有t≥t1，從（21）可得

即V(t)→∞,t→∞。由（15）得相矛盾。因此，對任意t0＞0，不可能有I(t)＜I*，當(dāng)所有t＞t0。

定理2如果R*＞1，則存在正常數(shù)P，使得系統(tǒng)（6）的任意解都滿足I(t)≥P，當(dāng)t充分大時。

證明基于定理的結(jié)論，從兩個方面證明：

（i）I(t)≥I*，當(dāng)t充分大時。

（ii）I(t)關(guān)于I*震蕩，當(dāng)t充分大時。

因為系統(tǒng)（6）的解是一致有界的，脈沖對I(t)沒有影響，且是一直連續(xù)的，因此存在一個正常數(shù)k使得其中k滿足k＜τ，且獨立于和。設(shè)其 中p*=I*e-(μ+γ+φ(λ))。接下來討論下面三種情形。

情形Ⅰ如果則很明顯有I(t)≥k,時間t充分大時；

情形Ⅱ如果由系統(tǒng)（6）的第二個方程可得，I′(t)＞-(μ+γ+φ(I))I(t)。因為由比較定理可得

定理3如果R*＞1，系統(tǒng)（6）是持久的。

證明設(shè)(S(t),I(t))是系統(tǒng)（6）的任意解。由系統(tǒng)（6）的第一個方程可得

其比較方程為

?1充分小。定義 Ω0={(S,I)|S≥M,I≥k,S+I≤λ}由上面的討論和定理2，可以知道Ω0是全局吸引的且Ω0是正不變集。

4 結(jié)束語

系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）相比較，考慮了傳染病的潛伏性，在時間上就體現(xiàn)為時滯，而脈沖接種和非連續(xù)治療是預(yù)防和治療常用的方法，在系統(tǒng)（2）中都有所體現(xiàn)。為了更接近真實情形，疾病的發(fā)生率我們采用了飽和發(fā)生率的形式。從定理1和定理3可以看出時滯τ和脈沖接種率θ對傳染病的消亡有很大的影響，當(dāng)潛伏時間越長，接種的次數(shù)越多傳染病就越容易消亡，反之就容易形成地方性疾病。該結(jié)論可以為疾病控制等相關(guān)部門提供理論依據(jù)。

[1]許碧云，楊志春.對具有脈沖接種和分布時滯的SEIR傳染病模型的定性分析[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2015,32(6):98-102.

[2]謝棟梁，盧金梅，李永鳳.具有飽和發(fā)生率和時滯的脈沖SEIR模型分析[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,29(4):490-493.

[3]Yuan Y,Zhao X Q.Global stability for non-monotone delay equations[J].Journal of Differential Equations,2012,252:2189-2209.

[4]Hou L L,Zong G D,Wu Y Q.Finite-time Control for Discrete-Time Switched Systems with Time Delay[J].International Journal of Control,Automation and Systems,2012,10(4):855-860.

[5]王壽斌，雒志學(xué)，王麗敏.具有連續(xù)預(yù)防接種和非線性傳染率的SEIR傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J].寧夏大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015,36(4):302-305.

[6]王壽斌，王麗敏，張 娣.一類具有脈沖接種和非線性傳染率的SEIR傳染病模型的分析[J].溫州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,36(2):44-50.

[7]Zou Q,Gao S J,Zhong Q.Pulse Vaccination Strategy in an Epidemic Model with Time Delays and Nonlinear Incidence[J].Advanced Studies in Biology,2009,1(7):307-321.

[8]Xu X X,Xiao Y N,Robert A.Cheke.Models of impulsive culling of mosquitoes to interrupt transmission of West Nile virus to birds[J].Applied Mathematical Modelling,2015,39(13):3549-3568.

[9]Zhang T L,Kang R N,Wang K,et al.Global dynamics of an SEIR epidemic model with discontinuous treatment[J].Advances in Difference Equations,2015,2015:361-372.

[10]Gao S J,Chen L S,Juan J,et al.Analysis of a delayed epiemic model with pulse vaccination and saturation incidence[J],Vaccine,2006,24:6037-6045.

[11]Yang K.Delay Differential Equation with Application in Population Dynamics[M].New York:Academic Press,1993.

[12]Xiao Y N，Chen L S．Modeling and analysis of a predator-prey model with disease in the prey[J]．Mathematical Biosciences,2001,171(1):59-82．

Analysis of impulsive SEIR model with time delay and discontinuous treatment

FEI Li-zhia,LV Heng-minb,JI Wei-weib
(a.Normal College;b.Department of Basic Course Education,Ji'an College,Ji’an Jiangxi343000,China)

An impulsive SEIR epidemic model with time delay and discontinuous treatment was formulated and studied．Based on comparison theorem of impulsive differential equation,the research proves that the global attractive and the globally asymptotically stable of the disease free periodic solution.The thresholdR*andR*for disease to be extinct or not is calculated.IfR*＜1,the disease is extinct;IfR*＞1,the disease is permanence.Eventually,there will be endemic.

epidemic;time delay;pulse vaccination;permanence

O175.13文獻(xiàn)識別碼：A

1004-4329（2017）04-001-06

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）04-001-06

2017-09-12

吉安職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研項目（16JY137）資助。

費荔枝（1982－ ），女，碩士，助教，研究方向：生物數(shù)學(xué)。