劉穩(wěn)殿+韓占中

摘 要：通過對(duì)2017年9月百校聯(lián)盟數(shù)學(xué)（文）的一道三角函數(shù)求值題進(jìn)行研究探討，發(fā)現(xiàn)本題當(dāng)中所給的兩個(gè)條件互相矛盾，如果已知tanB=ktanA（k≠0），那么cosAsinB的值必須受到k的限制，否則題中的條件就會(huì)相互矛盾，導(dǎo)致本題無意義。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}題目；tanB=ktanA（k≠0）；cosAsinB的值；限制；矛盾

試卷講評(píng)是高三復(fù)習(xí)的一種重要課型，在講解試卷的時(shí)候，認(rèn)真分析每個(gè)題，思考多種解法，進(jìn)行簡(jiǎn)單變形，思考考查的知識(shí)點(diǎn)與方法，思考出題的意圖與出題方法……是教師備試卷講評(píng)課的基本內(nèi)容。在高三頻繁的考試中難免遇到“問題題目”，如果對(duì)“問題題目”加以剖析，進(jìn)行加工，那么“問題題目”所呈現(xiàn)出的意義遠(yuǎn)大于題目本身的意義。下面探討2017年9月百校聯(lián)盟數(shù)學(xué)（文）選擇題第7題。

原題：已知tanB=2tanA，且cosAsinB=45，則cos（A-B-3π2）=（ ）

A. -45

B. 45

C. -25

D. 25

給出的參考答案如下：

依題意，sinBcosB=2sinAcosA，故sinBcosA=2sinAcosB，故sinAcosB=25，則

cos（A-B-3π2）=-sin（A-B）=-sinAcosB+cosAsinB=25，

故，選D。

單獨(dú)看本題的解題思路是毫無破綻的，但是仔細(xì)推敲會(huì)發(fā)現(xiàn)：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=25+45=65>1與-1≤sin（A+B）≤1矛盾。

問題出在哪？

假設(shè)1：設(shè)tanB=ktanA（k>0）且cosAsinB=a，則k與a有什么關(guān)系呢？

由tanB=ktanA（k>0）得到：sinBcosA=ksinAcosB，故sinAcosB=ak，從而有：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=a+ak=a（k+1）k （1）

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=ak-a=a（1-k）k （2）

要使（1）（2）兩式同時(shí)有意義，則必須滿足：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

當(dāng)k=1時(shí)，得-12≤a≤12

當(dāng)k≠1時(shí)，得：|a|≤kk+1

|a|≤|k1-k|

又因?yàn)閗k+1<|k1-k|，所以|a|≤kk+1

本題中k=2>0，那么a應(yīng)該滿足|a|≤kk+1，即|a|≤23，即a∈[-23，23]，而題中給的a=45，顯然45[-23，23]，故本題中給的兩個(gè)條件是矛盾的，即條件不能成立。

假設(shè)2：設(shè)tanB=ktanA（k<0）且cosAsinB=a，則k與a有什么關(guān)系呢？

與假設(shè)1同理有：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

當(dāng)k=-1時(shí)，得-12≤a≤12，

當(dāng)k≠-1時(shí)，得：|a|≤|kk+1|

|a|≤kk-1

又因?yàn)閨kk+1|>kk-1，所以|a|≤kk-1

結(jié)論：設(shè)tanB=ktanA（k≠0）且cosAsinB=a，則k與a有如下關(guān)系：

當(dāng)k=±1時(shí)，-12≤a≤12；當(dāng)k>0且k≠1時(shí)，|a|≤kk+1；當(dāng)k<0且k≠-1時(shí)，|a|≤kk-1。

通過對(duì)該問題的分析，我們不僅得出了k與a的關(guān)系，而且體現(xiàn)了分類討論思想，除考查三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)外，還考查了不等式解法。我們?cè)谥v解及編寫習(xí)題的時(shí)候，要深入分析條件之間的隱含關(guān)系，避免題目當(dāng)中所給條件互相矛盾。

作者簡(jiǎn)介：

劉穩(wěn)殿，韓占中，陜西省安康市，白河高級(jí)中學(xué)。endprint