初值試探敲門磚構(gòu)建遞推見(jiàn)真章

方義和

【摘要】利用歸納和遞推關(guān)系解決的幾何中計(jì)數(shù)問(wèn)題、環(huán)狀染色問(wèn)題等.

【關(guān)鍵詞】歸納推理;遞推數(shù)列

歸納與遞推思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，用它來(lái)思考解決一類與自然數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題或涉及操作次數(shù)較多的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)從特殊情況入手，歸納規(guī)律，尋找遞推關(guān)系式并結(jié)合初始條件，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，輕松解決.

一、幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題

例1平面內(nèi)有n條直線，任何兩條不平行，任何三條不交于一點(diǎn)，試問(wèn)這n條直線將該平面分成多少個(gè)部分？

分析設(shè)這n條直線將平面分成的區(qū)域個(gè)數(shù)記為an，先考查特殊情況，如下圖所示：

n=1n=2n=3n=4

a1=2，a2=4，a3=7，a4=11，…從平面區(qū)域產(chǎn)生的過(guò)程，考查前后兩次平面區(qū)域的個(gè)數(shù)知道，a2=a1+2，a3=a2+3，a4=a3+4，…事實(shí)上，當(dāng)平面內(nèi)已有n-1條直線將平面分成an-1個(gè)部分，再增加一條直線，因?yàn)槿魏蝺蓷l不平行，任何三條不交于一點(diǎn)，所以這條直線與前面n-1條直線共有n-1交點(diǎn)，這n-1個(gè)交點(diǎn)將這條直線分成n部分，每個(gè)部分將它所在的平面一分為二，故平面的個(gè)數(shù)增加n個(gè)部分，所以本題的遞推關(guān)系是an=an-1+n（n≥2且n∈N），由a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，運(yùn)用累加法，得an=n2+n+22.

變式1平面內(nèi)有n個(gè)圓，任何兩個(gè)圓恰好相交于兩點(diǎn)，且任何三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求這些圓將平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù).

分析與例1類似，設(shè)這n個(gè)圓將平面分成的區(qū)域個(gè)數(shù)記為an，如下圖n=1，2，3，4情形可知：a1=2，a2=4，a3=8，a4=14，…當(dāng)平面內(nèi)已有n-1個(gè)圓將平面分成an-1個(gè)部分，再增加一個(gè)圓，這個(gè)圓與前面n-1圓共有2（n-1）交點(diǎn)，這2（n-1）交點(diǎn)將這個(gè)圓分成2（n-1）部分，每個(gè)部分將它所在的平面一分為二，故平面的個(gè)數(shù)增加2（n-1）個(gè)部分，所以遞推關(guān)系為an=an-1+2（n-1），從而由遞推數(shù)列的累加法可得an=n2-n+2.

n=1n=2n=3n=4

變式2空間中有n個(gè)平面，任何兩個(gè)不平行，任何三個(gè)不相交于一條直線，這n個(gè)平面將空間分成多少個(gè)部分？

分析與例1類似，設(shè)這n個(gè)平面將空間分成的區(qū)域個(gè)數(shù)記為an，當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)a1=2，a2=4，a3=8，a4=14，…當(dāng)空間已有n-1個(gè)平面將空間分成an-1個(gè)部分，再增加一個(gè)平面，這個(gè)平面與前面n-1平面有n-1條交線，這n-1條交線任何兩條不平行，任何三條不交于一點(diǎn)，從而將增加的平面分成了（n-1）2+（n-1）+22個(gè)部分，每個(gè)部分將它所在的空間一分為二，故空間的個(gè)數(shù)增加（n-1）2+（n-1）+22部分，所以遞推關(guān)系式為：an=an-1+（n-1）2+（n-1）+22，由遞推數(shù)列的累加法可得an=n36+5n6+1.

二、環(huán)狀染色問(wèn)題

例2用4種顏色對(duì)圓分成的n個(gè)扇形染色，要求每個(gè)扇形染一種顏色，且相鄰的扇形不同色，有多少種不同的染色方法？

分析設(shè)不同的染色方法有an種，當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，如下圖所示：

n=1n=2n=3n=4

a1=4，a2=12，a3=24，a4=84，…當(dāng)圓被分成的n個(gè)扇形后，第一個(gè)扇形有4種染色方法，第二個(gè)扇形與第一個(gè)扇形不同色，有3種染色方法，第三個(gè)扇形與第二個(gè)扇形不同色，因此，也有3種染色方法…，同理，第n-1個(gè)扇形有3種染色方法，第n個(gè)扇形與第n-1個(gè)扇形不同色，有3種染色方法，此時(shí)，如果每個(gè)扇形與它前面的扇形染色不同，根據(jù)乘法原理，則共有4×3n-1種不同的染色方法，但以上染法只考慮每個(gè)扇形與它前面的扇形染色不同，而沒(méi)考慮與它后面的扇形染色的情況，當(dāng)?shù)趎個(gè)扇形與第1個(gè)扇形同色時(shí)，不符合要求的，這時(shí)，把第n個(gè)扇形與第1個(gè)扇形看成一個(gè)扇形，其染色方法相當(dāng)于用4種顏色對(duì)n-1個(gè)扇形染色，其染色數(shù)為an-1種，因此，有an=4×3n-1-an-1（n≥3），即an-3n=-（an-1-3n-1）（n≥3），數(shù)列{an-3n}是以a2-32為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，從而有an-3n=（a2-32）（-1）n-2，∴an=3n+3×（-1）n（n≥2），故an=4（n=1），

3n+3×（-1）n-2（n≥2）.

推廣（環(huán)狀染色）用m種顏色對(duì)圓分成的n個(gè)扇形染色（其中m，n≥3），要求每一個(gè)扇形染一種顏色，且相鄰扇形不同色，一共有an=（m-1）n+（m-1）（-1）n.（n≥3）種不同的染色方法.

（證明讀者可自己完成）

練習(xí)1（如右圖所示）在一個(gè)正六邊形的6個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊中栽種同一種植物，相鄰的兩塊栽種不同的植物，現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種栽種方案.

分析本題相當(dāng)于推廣中n=6，m=4的情況：

a6=（4-1）6+（4-1）（-1）6=732.

練習(xí)2（如下圖所示）某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，有多少種不同栽種方式？

分析本題第2，3，4，5，6部分相當(dāng)于一個(gè)環(huán)狀染色，第一步：栽種第一部分，有4種栽種方式;第二步：環(huán)狀染色，相當(dāng)于推廣中n=5，m=3的情況：a5=（3-1）5+（3-1）（-1）5=30，所以由乘法原理共有4×30=120種不同的栽種方式.

遞推思想作為一種從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的數(shù)學(xué)思想，是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要工具.而在建立遞推關(guān)系遇到困難時(shí)，則可列舉簡(jiǎn)單情形尋求啟示，可謂是“初值試探敲門磚，構(gòu)建遞推見(jiàn)真章”.在教學(xué)中若能通過(guò)一些典型例題的教學(xué)滲透遞推思想，這對(duì)優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有好處.函數(shù)基本性質(zhì)在數(shù)列不等式證明中應(yīng)用函數(shù)基本性質(zhì)在數(shù)列不等式證明中應(yīng)用

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