韓貴花，張雪霞，趙文彬，王 慧

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

正交異性材料雙層板彎曲斷裂分析

韓貴花，張雪霞，趙文彬，王 慧

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

研究含界面裂紋正交異性復(fù)合材料雙層板在彎曲載荷作用下的裂紋尖端場問題。利用復(fù)變函數(shù)方法，引入含待定實系數(shù)的撓度函數(shù)，利用待定系數(shù)法，建立滿足邊界條件的非齊次線性方程組。求解得到滿足控制方程和邊界條件的撓度函數(shù)，推導(dǎo)出特征方程判別式均大于零時受彎曲載荷作用的正交異性復(fù)合材料雙層板界面裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)力強(qiáng)度因子、彎矩和扭矩的解析表達(dá)式。最后通過算例分析了極角取定值時，彎矩隨極徑改變的變化曲線以及極徑取定值時，彎矩的角分布曲線。

正交異性材料雙層板；界面裂紋；復(fù)變函數(shù)；彎矩

復(fù)合式材料雙層板是由兩種或者兩種以上不同性能的材料構(gòu)成，粘結(jié)部分存在界面，由于材料的制作與設(shè)計，界面處通常會有缺陷。在載荷的影響下，裂紋處經(jīng)常出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，以致于裂紋擴(kuò)展，最終導(dǎo)致材料結(jié)構(gòu)失效。目前，很多研究者對復(fù)合材料雙層板界面斷裂力學(xué)進(jìn)行了研究。A. D. Szekrenyes[1]利用三階剪切變形板式理論分析了復(fù)合型材料式雙層板在裂紋缺陷附近的應(yīng)力以及能量釋放率，考慮到平衡性問題再加上位移在界面處應(yīng)具有連續(xù)性，制定出滿足邊界條件的控制方程。并用J積分方程對II、III型裂紋在缺陷尖端處的能量型釋放率的分布形式進(jìn)行了一定分析。SihGc[2]等對各向同性式雙層材料板在純彎載荷影響下的界面缺陷問題進(jìn)行了分析，推理出含界面裂紋復(fù)合式材料在裂尖附近全場解的理論公式。鄭百林[3]等通過傅里葉級數(shù)展開方法將位移場的位移函數(shù)用級數(shù)形式來代替，通過傅里葉變換，對復(fù)合式材料雙層板的Ⅲ型界面裂紋尖端的應(yīng)力場進(jìn)行分析，并指出裂紋尖端存在奇異性，得到了全場解。楊維陽[4-6]等對復(fù)合式材料單層板裂紋在不同載荷情況的裂紋尖端場都進(jìn)行了理論研究及力學(xué)分析，推算出受不同載荷作用下的復(fù)合材料板在裂尖處的應(yīng)力場和位移場。張雪霞[7-8]，李俊林[9]等對正交異性式雙層材料板關(guān)于Ⅱ型和彎曲界面裂紋尖端附近的力學(xué)性態(tài)分別進(jìn)行了理論探討，憑借構(gòu)造新的含待定系數(shù)的應(yīng)力函數(shù)，根據(jù)復(fù)變法，推算出了含Ⅱ型界面裂紋的復(fù)合式材料雙層板在裂紋尖端處受面內(nèi)載荷作用下的應(yīng)力、位移的理論計算公式，并對振蕩奇異性進(jìn)行了說明。Xian-Fang Li, GuoJin[10]對雙材料在剪切力加載到環(huán)形界面裂紋表面時的應(yīng)力強(qiáng)度因子以及尖端場問題進(jìn)行了分析。根據(jù)裂紋的軸對稱問題得到了混合邊界條件，求解出一組沒有振蕩奇性的封閉解。M. Li[11], T. H. Long Rong[12]等用有限元法分別在笛卡兒坐標(biāo)和極坐標(biāo)下分析了界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)力場。基于拉格朗日插值法直接構(gòu)造一階偏微分方程矩陣，從而獲得一組線性代數(shù)方程形式的控制方程和邊界條件。用邊界配置法對裂紋尖端奇異性和應(yīng)力場進(jìn)行了討論和的數(shù)值求解，推導(dǎo)出復(fù)合式材料雙層板在裂尖附近全場解的表達(dá)式。

1 力學(xué)模型

含有中心穿透裂紋長為2a的正交異性復(fù)合材料雙層板，厚度為h,x軸和y軸與彈性主方向的關(guān)系為平行，受對稱彎曲載荷M0作用，如圖1所示，在直角坐標(biāo)系xoy下，設(shè)y>0部分為正交異性雙材料復(fù)合材料板1，y<0部分為正交異性復(fù)合材料板2，y=0,xa部分為雙材料板粘結(jié)面，(x,y)為點M的直角坐標(biāo)。Ej1,Ej2,νj1,νj2,μj(j=1,2)為復(fù)合式材料j的彈性系數(shù)。

每種復(fù)合式材料的柔度系數(shù)(A11)j, (A12)j, (A22)j, (A66)j剛度系數(shù)(D11)j, (D22)j, (D12)j和抗扭剛度系數(shù)(D66)j與它的彈性常數(shù)Ej1,Ej2,νj1,νj2,μj之間滿足關(guān)系如下：

(1)

根據(jù)彈性板的彎曲理論可知，撓度函數(shù)wj所滿足的控制方程為[4]：

圖1 含界面裂紋正交異性雙層材料板

(2)

受彎曲載荷作用的正交異性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料雙層板界面裂紋邊界條件為：

y=0,x

(3)

y=0,x>a：(My)1=(My)2,(Ny)1=(Ny)2

(4)

y→+：(My)j=M0,(Hxy)j=0

(5)

于是討論受彎曲載荷作用下的正交異性復(fù)合式雙材料界面裂紋斷裂問題就轉(zhuǎn)化為非齊次偏微分方程組式(3)-式(5)的邊值問題。下面利用復(fù)變函數(shù)方法，通過引入含參數(shù)的撓度函數(shù)，從而求解偏微分方程組邊值問題。

2 彎曲型界面裂紋的撓度函數(shù)

令中面撓度函數(shù)wj=wj(x+sjy)可得控制方程(2)的特征方程為：

(D22)jsj4+2[(D12)j+2(D66)j]sj2+(D11)j=0

(6)

這是雙二次方程，定義其判別式：

(7)

本文討論兩種材料的判別式Δj均大于零，即Δ1>0,Δ2>0的情形。

所以特征方程式的根為：sjk=iβjk,sj(k+2)=-iβjk, (j,k=1,2)

(8)

式中βj2>βj1>0, 由(6)式可知：

(9)

若記：zjk=x+sjky=xjk+iyjk

(10)

利用復(fù)變函數(shù)和微積分知識可知：

(11)

根據(jù)(11)式，那么方程(2)式就可化為廣義形式的重調(diào)和方程：

(12)

(13)

(14)

由方程式(14)和復(fù)數(shù)表示式(10)可知，復(fù)變量zjk的解析函數(shù)的實部或虛部都是基本方程(2)式的解，即方程一定有解析解。

3 待定系數(shù)法

考慮到k,m=1,2，故選取撓度函數(shù)wj為如下含有兩個應(yīng)力奇異指數(shù)λ1,λ2的級數(shù)形式：

(15)

根據(jù)彈性板彎曲理論的應(yīng)力、彎矩和扭矩的基本公式，可以得到：

iBjk,λm)sjk2wjk,λm(zjk)]

(16)

iBjk,λm)sjk2wjk,λm(zjk)]

(17)

(18)

iBjk,λm)sjk2wjk,λm(zjk)]

(19)

iBjk,λm)sjk2wjk,λm(zjk)]

(20)

(21)

[(Ajk,λm-iBjk,λm)sjk3wjk,λm′(r,θ)]

(22)

考慮到復(fù)合材料雙層板受遠(yuǎn)場彎曲載荷M0的作用，特別選取撓度函數(shù)為：

(23)

(24)

因為zjk=x+sjky,zjk-a=rcosθ+sjkrsinθ, 所以zjk=rcosθ+sjkrsinθ+a, 從而：

將式(24)代入式(20)、式(22)，再結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，再帶進(jìn)邊界條件式(3)，可得：

[(D22)1β112-(D12)1]cosλmπ·A11,λm+[(D22)1β122-(D12)1]cosλmπ·A12,λm

+[(D22)1β112-(D12)1]sinλmπ·B11,λm+[(D22)1β122-(D12)1]sinλmπ·B12,λm=0

(25)

{β11[(D12)1+2(D66)1]-(D22)1β113}sinλmπ·A11,λm-{β11[(D12)1+2(D66)1]-

(D22)1β113}·cosλmπ·B11,λm+{β12[(D12)1+2(D66)1]-(D22)1β123}sinλmπ·A12,λm-

{β12[(D12)1+2(D66)1]-(D22)1β123}cosλmπ·B12,λm=0

(26)

[(D12)2-(D22)2β212]cosλmπ·A21,λm+[(D12)2-(D22)2β222]cosλmπ·A22,λm-[(D12)2-

(27)

β21sinλmπ·A21,λm+β22sinλmπ·A22,λm+β21cosλmπ·B21,λm+β22cosλmπ·B22,λm=0

(28)

將式(24)代入式(20)、式(22)，再結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，再帶進(jìn)邊界條件式(4)，可得：

[(D22)1β112-(D12)1]A11,λm+[(D22)1β122-(D12)1]A12,λm-[(D22)2β212-(D12)2]A21,λm-

[(D22)2β222-(D12)2]A22,λm=0

(29)

{β113(D22)1-β11[(D12)1+2(D66)1]}B11,λm+{β123(D22)1-β12[(D12)1+2(D66)1]}B12,λm-

{β213(D22)2-β21[(D12)2+2(D66)2]}B21,λm-{β223(D22)2-β22[(D12)2+2(D66)2]}B22,λm=0

(30)

將式(24)代入式(20)、式(21)，再結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，再帶進(jìn)邊界條件式(5)，可得：

(31)

(32)

β11B11,λm+β12B12,λm=0

(33)

β21B21,λm+β22B22,λm=0

(34)

為了方便計算，記：

p1=β112D221-D121,q1=β122D221-D121,p2=β212D222-D122,q2=β222D222-D122.

所以方程組式(25)-(34)共十個方程八個未知數(shù)，將這非齊次線性方程組的系數(shù)以及常數(shù)項用矩陣表示，根據(jù)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等是非齊次線性方程組有解的充分必要條件，推導(dǎo)出：

(35)

(36)

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

考慮到zjk→a時，則撓度函數(shù)

定義受彎曲載荷作用的無限大正交異性復(fù)合材料雙層板Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

(37)

觀察式(35)和式(37)知，在彎曲載荷作用下的正交異性復(fù)合材料雙層板界面裂紋尖端場的應(yīng)力強(qiáng)度因子，不僅與裂紋的形狀有關(guān)系，還取決于雙材料的彈性常數(shù)。

4 應(yīng)力、彎矩、扭矩表達(dá)式

(38)

將兩種材料所得系數(shù)A11,λm,A12,λm,A21,λm,A22,λm,B11,λm,B12,λm,B21,λm,B22,λm和式(37)代入式(16)-式(21)，分別得到正交異性復(fù)合材料板1和正交異性復(fù)合材料板2在裂紋尖端附近的應(yīng)力、彎矩和扭矩的解析表達(dá)式：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

5 算例分析

選取兩組正交異性復(fù)合材料雙層板進(jìn)行測定，分別得到兩組雙層材料板的彈性系數(shù)如表1所示。將每組材料雙層板的彈性常數(shù)代入(1)式，得到每組雙材料相應(yīng)材料板的抗彎剛度常數(shù)和抗扭剛度常數(shù)。并將所得剛度系數(shù)代入(7)式，得到每組雙材料的判別式如表2所示。

表1 兩組雙材料中每種材料的彈性常數(shù)

Tab.1 Elasticity constant of each material in two sets of double-materials

雙材料E1/GPaE2/GPaν21μ12/GPaA材料j=1材料j=21421389．788．960．420．306．067．1B材料j=1材料j=21481819．6510．30．300．284．557．17

給定材料板厚度h=4 mm, 裂紋長2a=10 mm, 將每組雙材料參數(shù)代入彎矩的解析標(biāo)表達(dá)式(47)和(48)式，當(dāng)極角取定值時，根據(jù)直角坐標(biāo)系與極角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式，利用Matlab軟件繪出Myj/M0與極徑的關(guān)系曲線，如圖2所示。給定M0，隨著極徑的增加，正交異性復(fù)合材料雙層板彎矩Myj逐漸減小，即無量綱彎矩隨著極徑的增加而減小。

給定材料板厚度h=4 mm, 裂紋長度2a=10 mm, 當(dāng)極徑r=0.5 mm時，將每組雙材料參數(shù)代入彎矩的解析表達(dá)式(47)和(48)式，根據(jù)直角坐標(biāo)系與極角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式，利用Matlab軟件，繪出正交異性復(fù)合材料雙層板彎矩的角分布曲線，如圖3所示。隨著極角的增大，彎矩Myj有著相同的增減趨勢，但是不對稱。

表2 兩組雙材料剛度系數(shù)和判別式

Tab.2 Stiffness coefficient and the discriminant in wo sets of double material

雙材料D11D22D12D66ΔjA材料j=1材料j=2-4．8508e-7-1．9060e-6-3．3409e-8-1．2375e-7-2．0373e-7-5．7179e-73．2320e-83．7867e-811．25282．6653B材料j=1材料j=2-2．0756e-6-2．5557e-6-1．3533e-7-1．4544e-7-6．2265e-7-7．1562e-72．4267e-83．8240e-810．64056．9587

6 結(jié) 論

選用復(fù)變函數(shù)法和待定系數(shù)法，研究了含界面裂紋正交異性復(fù)合材料雙層板的彎曲斷裂問題，推算出正交異性復(fù)合式材料雙層板在界面裂尖附近的應(yīng)力、彎矩、扭矩、和應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式。通過算例對兩組雙材料的彎矩進(jìn)行了數(shù)值分析，結(jié)果表明：

(1)在極角大小一定的情況下，隨著極徑的增加，正交異性復(fù)合材料雙層板彎矩Myj逐漸減小。

(2)在極徑大小一定的情況下，隨著極角的增加，正交異性復(fù)合材料雙層板彎矩Myj有著相同的增減趨勢，但是不對稱。

圖2 雙材料彎矩曲線

圖3 雙材料裂紋尖端彎矩的角分布曲線Fig.3 Angular variation curve of bending moment in the crack-tip field bimaterial

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BendingFractureAnalysisofOrthotropicMaterialDoublePlates

HAN Gui-hua, ZHANG Xue-xia, ZHAO Wen-bin, WANG Hui

(School of Applied Sciences, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024)

The crack tip field problems on the interface crack of orthotropic composite material double-layer plates under the bending load were studied.With the help of the complex function method, introducing the deflection function containing undetermined real coefficients, based on the boundary conditions and undetermined coefficients method, a non-homogeneous linear equations were established. The deflection function of satisfying the boundary conditions were got by solving equations. When the characteristic root discriminant were greater than zero, we can deduc the orthotropic composite materials interface crack tip stress field, the stress intensity factor, the analytic expression of bending moment and torque. Finally, through analyzing by an example, the polar angle is fixed bending moment along with the change of pole diameter change curve and the distribution curve of angle of the bending moment fixing polar diameter.

orthotropic bi-materials, interface crack, complex function method, bending moment

1673-2057(2018)01-0076-09

2016-07-20

國家自然基金(51574171)，太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項目(20151037)

韓貴花(1988-)，女，碩士研究生，主要研究方向為偏微分方程及其應(yīng)用。

O157.5

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2018.01.014