曹曉丹

直觀操作活動(dòng)在小學(xué)幾何教學(xué)中有著十分重要的地位和作用，所以幾何圖形教學(xué)時(shí)一般都先安排學(xué)生觀察、觸摸、測(cè)量、剪拼等探究活動(dòng)。毋庸置疑，操作、觀察層面的活動(dòng)為幾何概念的學(xué)習(xí)積累了鮮活的感性體驗(yàn)和直觀認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，但是，操作活動(dòng)也因其處在較低的直觀層面，有著不可避免的局限性。

比如：研究圓的特征時(shí)，經(jīng)?？吹嚼蠋熃M織學(xué)生用畫(huà)、折、量等方式研究圓內(nèi)半徑、直徑的數(shù)量以及之間的關(guān)系。筆者在一次聽(tīng)課中聽(tīng)到學(xué)生在低聲說(shuō)：“我量到的半徑怎么不一樣長(zhǎng)？”我們不禁思考：圓的特征真的是通過(guò)畫(huà)、量、折得出的嗎？

為了避免直觀操作的局限性，我們是否應(yīng)該在重視操作體驗(yàn)、積累感性經(jīng)驗(yàn)、得到直觀提示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考、部署如何在此基礎(chǔ)上適時(shí)適度地組織學(xué)生跨越直觀操作層面，組織學(xué)生進(jìn)行說(shuō)理、推理、想象等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)推理與數(shù)學(xué)化表達(dá)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行更高層次的思考，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、操作之后加強(qiáng)說(shuō)理，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思考

圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)時(shí)，在我們用折的方式，或者多媒體演示的方式研究得出“同一圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑（直徑），所有半徑（直徑）都相等”后，可以追問(wèn)：根據(jù)圓的定義，為什么同一圓內(nèi)有無(wú)數(shù)條半徑（直徑），所有半徑（直徑）都相等呢？說(shuō)說(shuō)理由。大家知道，在平面幾何中，圓的定義可以是：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。既然圓周是點(diǎn)的集合，那么圓上就會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，任意一個(gè)點(diǎn)與圓心相連，都是半徑，自然同一圓內(nèi)有無(wú)數(shù)條半徑，直徑以及半徑與直徑的長(zhǎng)度關(guān)系，也可以同樣說(shuō)明。

解決思考問(wèn)題時(shí)，不能僅憑眼睛看到的，手觸摸到的。在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生“做”后“想”，適時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的語(yǔ)言，激活學(xué)生的思維，這樣既提高和發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，又彌補(bǔ)了直觀操作的不足，消除了操作中的誤差帶來(lái)的疑慮，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平。

二、操作之后適當(dāng)推理，防止思維“同化”

以三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)為例，書(shū)上給出的是三種不同類(lèi)型的三角形（直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形），每種兩個(gè)，目的顯然是為了拼成平行四邊形。那么三角形面積的推導(dǎo)是否只能拼成平行四邊形呢？教材在“你知道嗎”中介紹了《九章算術(shù)》的“半廣以乘正從”的方法，受此影響學(xué)生還能想到其他的一些推導(dǎo)方法，曹培英老師一共總結(jié)出學(xué)生的6種不同方法。

在這6種方法中學(xué)生充分運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱(chēng)等圖形變換知識(shí)，如果只是單純展示學(xué)生的求異方法，顯然這樣的幾何思維水平處于比較底的層次。操作之后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言適當(dāng)說(shuō)說(shuō)推理與思考的過(guò)程，盡管學(xué)生可能不能完全解釋清楚自己的操作推理，也許只是一種直覺(jué)思維，但是給學(xué)生推理表述的時(shí)間和空間，長(zhǎng)期訓(xùn)練之下，一定可以彌補(bǔ)直觀操作的不足，把學(xué)生的思維帶向一定的深度。

三、操作之后輔以想象，滲透數(shù)學(xué)思想

如教學(xué)圓的面積時(shí)，學(xué)生思考怎樣推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式。有學(xué)生提出：我想要把圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的圖形，但圓的邊是曲線，怎么拼成直直的邊呢？“化曲為直”的思想方法呼之欲出。接著學(xué)生利用圓形紙片有的折、有的剪拼，努力向“直邊”靠近。

經(jīng)過(guò)一番觀察、動(dòng)手操作之后發(fā)現(xiàn)把圓8等分之后，拼成的圖形比較接近平行四邊形。如果繼續(xù)等分會(huì)怎么樣呢？學(xué)生猜測(cè)：應(yīng)該更像平行四邊形。此時(shí)繼續(xù)操作比較麻煩，可以用多媒體演示，運(yùn)用電腦軟件我們甚至可以將圓平均分成一千多份，拼成的圖形的確幾乎就是一個(gè)長(zhǎng)方形了，但這樣的直觀演示是否具有思維的價(jià)值呢？

不妨換個(gè)角度，當(dāng)學(xué)生初步感知分的份數(shù)越多，拼成的圖形將越來(lái)越接近長(zhǎng)方形時(shí)，閉上眼睛想象上下兩條邊的變換，當(dāng)分的份數(shù)越來(lái)越多的時(shí)候，這條邊將越來(lái)越直。這不就是一開(kāi)始困擾學(xué)生的怎樣“化曲為直”嗎？“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想，無(wú)限接近的極限思想，如春雨潤(rùn)土般，悄悄潛入學(xué)生的思維。如果將數(shù)學(xué)思想方法的滲透比作一滴墨水滴在不同的紙上，有的學(xué)生會(huì)化開(kāi)很多，有的學(xué)生會(huì)化開(kāi)很少，但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，只有經(jīng)常刺激、不斷積累，才能逐漸將思想內(nèi)化。

誠(chéng)然，直觀操作在學(xué)生的幾何圖形學(xué)習(xí)中扮演著重要的角色，但是數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)研究不能只停留在用眼觀察、動(dòng)手操作這些“實(shí)”的方面，教師還要重視“虛”這一方面，要帶領(lǐng)學(xué)生在充分觀察、操作的基礎(chǔ)上去想象、去推理、去表達(dá)，跨越直觀操作，激活學(xué)生的理性思維，提升思維品質(zhì)。

作者單位江蘇省海門(mén)市通源小學(xué)endprint