陳 霄, 劉 忠, 張建強(qiáng), 董 蛟

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院, 湖北 武漢 430000)

0 引 言

路徑跟蹤問題是無人艇(unmanned surface vehicles,USV)運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域備受關(guān)注的研究熱點(diǎn),定義為USV在控制系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)下,無時(shí)間跟蹤要求,從任意初始狀態(tài)出發(fā),收斂到一條給定的期望路徑,并以期望的縱向速度沿該參考路徑運(yùn)動(dòng)[1]。不具有側(cè)向推進(jìn)器或側(cè)向推進(jìn)器在高速航行時(shí)失效的USV是一類典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),由于控制輸入個(gè)數(shù)少于其所需控制的自由度個(gè)數(shù),故該類系統(tǒng)存在不可積的加速度約束[2]。目前國內(nèi)外對于欠驅(qū)動(dòng)USV路徑跟蹤控制已有較多的研究成果,根據(jù)所要跟蹤路徑的幾何形狀可分為直線和曲線路徑跟蹤,兩者的主要區(qū)別在于USV直線路徑跟蹤是在平衡點(diǎn)附近的較小鄰域內(nèi)進(jìn)行鎮(zhèn)定控制,通常的做法是對模型進(jìn)行一定的線性化處理且忽略橫向漂移,在特定的條件下滿足控制要求;曲線路徑跟蹤控制需要考慮USV的操縱運(yùn)動(dòng),橫向漂移不可忽略[1]。基于視線(line-of-sight, LOS)導(dǎo)引策略常用于USV的路徑跟蹤控制中,文獻(xiàn)[3]研究了非對稱USV模型的直線路徑跟蹤問題,設(shè)計(jì)了基于坐標(biāo)變換的全局k指數(shù)路徑跟蹤控制器和海流觀測器,但并未考慮更為一般的曲線路徑跟蹤控制問題。文獻(xiàn)[4]為克服USV實(shí)際航行中時(shí)變漂角對路徑跟蹤控制質(zhì)量的影響,設(shè)計(jì)并驗(yàn)證了一種基于LOS制導(dǎo)和模糊自適應(yīng)比例-積分-微分(proportional-integral-differential,PID)航向控制的直線路徑跟蹤控制算法。文獻(xiàn)[5]利用增量PID、模糊PID等控制算法實(shí)現(xiàn)了海流環(huán)境下欠驅(qū)動(dòng)USV的直線路徑控制,實(shí)驗(yàn)證明所采用的控制算法可有效抵抗外界海流擾動(dòng),具有一定的魯棒性,同樣未考慮曲線路徑跟蹤問題。文獻(xiàn)[6]考慮海流等外界干擾對USV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的擾動(dòng)進(jìn)行了路徑跟蹤控制研究,設(shè)計(jì)了基于積分LOS制導(dǎo)律和反饋線性化的直線路徑跟蹤控制器,并證明了當(dāng)控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí),控制系統(tǒng)的一致全局k指數(shù)穩(wěn)定性,但忽略了USV模型的非對稱特性。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種參數(shù)在線優(yōu)化的路徑跟蹤自抗擾控制器,實(shí)現(xiàn)了存在海流擾動(dòng)及模型參數(shù)攝動(dòng)下的直線和曲線路徑跟蹤控制,但并未給出控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[8]基于LOS導(dǎo)引策略和抗飽和PID控制算法設(shè)計(jì)了直線航跡跟蹤控制器,并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[9]提出了用于補(bǔ)償外界環(huán)境干擾的積分視線(integral LOS,ILOS)導(dǎo)引控制律,并給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。文獻(xiàn)[10]將外界干擾視為常值擾動(dòng),提出了間接自適應(yīng)LOS制導(dǎo)律和直接自適應(yīng)LOS制導(dǎo)律,并基于相對運(yùn)動(dòng)速度的量測,與滑模航向跟蹤控制器共同作用,分別獲得了兩種曲線路徑跟蹤控制系統(tǒng)的一致全局k指數(shù)穩(wěn)定性和一致全局穩(wěn)定性。

以上文獻(xiàn)以及目前大多數(shù)USV路徑跟蹤研究成果中,為便于控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性證明,通常忽略USV的前后不對稱性,假定USV前后左右均對稱,采用慣性系數(shù)矩陣和阻尼系數(shù)矩陣均為嚴(yán)格對角型的模型,而實(shí)際船體一般為左右對稱、前后不對稱的結(jié)構(gòu),存在建模誤差;在考慮外界環(huán)境干擾時(shí),多數(shù)文獻(xiàn)忽略海流對USV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的擾動(dòng),而將其與風(fēng)、浪以及未建模動(dòng)態(tài)一起看作是USV動(dòng)力學(xué)模型上的擾動(dòng)。而實(shí)際中,海流對USV操縱運(yùn)動(dòng)的影響只是運(yùn)動(dòng)學(xué)上的,引起USV漂移而改變其速度和位置,使其偏離計(jì)劃航線和航向。此外,多數(shù)基于LOS制導(dǎo)律的路徑跟蹤控制器不能同時(shí)滿足直線和曲線路徑跟蹤控制的需要。

針對以上問題,本文考慮海流對USV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的擾動(dòng),建立非對稱性USV數(shù)學(xué)模型,利用合適的坐標(biāo)變換,解除控制輸入與欠驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)自由度的耦合。其次,基于級聯(lián)系統(tǒng)理論,分別設(shè)計(jì)自適應(yīng)位置誤差控制律和艏向誤差控制律,實(shí)現(xiàn)了USV對任意期望路徑的跟蹤控制。之后,基于級聯(lián)系統(tǒng)理論和李雅普諾夫理論證明了當(dāng)所有控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí),控制系統(tǒng)為一致半全局指數(shù)穩(wěn)定和一致全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,相比現(xiàn)有文獻(xiàn)中控制系統(tǒng)的一致全局k指數(shù)穩(wěn)定性,一致半全局指數(shù)穩(wěn)定具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的魯棒性。最后,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出算法的有效性和先進(jìn)性。

1 非對稱USV運(yùn)動(dòng)模型及問題描述

1.1 USV運(yùn)動(dòng)建模

欠驅(qū)動(dòng)USV的水平面三自由運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型[1]為

(1)

(2)

(7)

由式(4)和式(5)可以看出,USV在非完全對稱的情況下,慣性系數(shù)矩陣M和阻尼系數(shù)矩陣D(vr)的非對角線元素存在非零項(xiàng),因此前向推力和橫向運(yùn)動(dòng)之間存在耦合關(guān)系,這就給控制器的設(shè)計(jì)帶來復(fù)雜性。

1.2 模型坐標(biāo)變換

為便于下文控制器的設(shè)計(jì),本文將船體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)變換到船體樞心位置處,去除偏航力矩對橫向運(yùn)動(dòng)的直接影響[2]。定義

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3 問題描述

(18)

(19)

圖1 基于前視距離的LOS導(dǎo)引策略原理圖Fig.1 Diagram of LOS guidance based on lookahead distance

將式(9)和式(10)代入式(19)中,得

(20)

(21)

那么,式(20)可改寫為

(22)

2 基于級聯(lián)理論的USV路徑跟蹤控制律設(shè)計(jì)

2.1 級聯(lián)系統(tǒng)

圖2 二階濾波器Fig.2 Second-order filter

(23)

(24)

(25)

(27)

此外,由三角函數(shù)知識(shí)可以得到

(28)

(29)

至此,根據(jù)式(22)、式(24)以及假設(shè)1,USV的路徑跟蹤位置誤差可重寫為

(30)

式中,sinβe≈βe；cosβe≈1。

(31)

式中,系統(tǒng)∑1由其標(biāo)稱系統(tǒng)∑1n和系統(tǒng)∑2對其的擾動(dòng)構(gòu)成?！?n的表達(dá)式為

(32)

2.2 級聯(lián)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

(33)

式中,yint為虛擬控制輸入,是一個(gè)積分項(xiàng),用以補(bǔ)償擾動(dòng)側(cè)滑角βe;Δ為前視距離,一般取Δ=nL,n≥1,L為船長?？紤]到時(shí)變的前視距離可使得USV操縱更加靈活,即小的前視距離使USV快速地逼近期望航線,大的前視距離可減少位置誤差的超調(diào),基于該設(shè)計(jì)思想[10,14],定義

(34)

式中,σ1為嚴(yán)格大于0的常值參數(shù);Δmax、Δmin分別為前視距離的最大和最小值,其選擇要綜合考慮船舶的操縱性能,通常情況下前視距離一般取2～15倍的船長[1]。

而由式(33)得

(35)

(36)

則位置誤差動(dòng)態(tài)方程可重寫為

(37)

由于位置誤差和前視距離是時(shí)變量,可取非自治的Lyapunov函數(shù)為

(38)

(39)

故可取虛擬控制律和自適應(yīng)律為

(40)

(41)

式中,λ為積分增益。由文獻(xiàn)[14]可知,固定積分增益可能會(huì)累積不必要的積分作用,產(chǎn)生積分飽和及超調(diào)現(xiàn)象,破壞控制系統(tǒng)的性能,故考慮設(shè)計(jì)時(shí)變的積分增益,定義

(42)

將式(40)、式(41)代入式(39)中,得

(43)

考慮擾動(dòng)側(cè)滑角的自適應(yīng)估計(jì)誤差動(dòng)態(tài),將系統(tǒng)式(31)重新整理為

(44)

(45)

(46)

定義1系統(tǒng)稱為一致半全局指數(shù)穩(wěn)定(uniform semiglobal exponential stable， USGES),滿足:對每一個(gè)r>0和所有的(t0,x(t0))∈R+×Br,存在k>0和γ>0,使得‖x(t)‖

證明首先假定時(shí)變量Δ和λ為大于0的常數(shù),之后討論時(shí)變量Δ和λ對級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。取非自治的Lyapunov函數(shù)為

(47)

對式(47)微分得

(48)

由式(47)和式(48)可得

?t≥t0

(49)

定義

(50)

(51)

(52)

w(t)=e-2c*(r)(t-t0)v2(t0)

(53)

(54)

(55)

最后,討論時(shí)變參數(shù)Δ和積分增益λ對導(dǎo)引子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,具體如下:

=c*(r),

證畢

步驟2考慮系統(tǒng)∑2。

采用反饋線性化比例微分控制方法設(shè)計(jì)艏向控制輸入Tr,根據(jù)式(14)得

(56)

同理根據(jù)式(12)可得航速控制輸入Tu為

(57)

將式(14)和式(56)代入系統(tǒng)∑2,則系統(tǒng)∑2可重寫為

(58)

則系統(tǒng)式(44)可重新整理為

(59)

證畢

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文提出的欠驅(qū)動(dòng)USV自適應(yīng)路徑跟蹤控制算法的有效性,以文獻(xiàn)[18]中的模型為例,在Matlab/Simulink中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。USV模型具體參數(shù)如表1所示。

表1 USV模型參數(shù)

航速控制律式中,參數(shù)kur的設(shè)置:由于航速控制律利用動(dòng)態(tài)反饋線性化比例控制進(jìn)行設(shè)計(jì),因此同樣遵循PID參數(shù)整定的基本原則,即設(shè)置參數(shù)kur(等價(jià)于PID參數(shù)整定中的P環(huán)節(jié))從0開始遞增,當(dāng)USV能夠較快速地跟蹤上給定的期望航速、震蕩較小且達(dá)到較為滿意的效果時(shí),參數(shù)kur=4。

工況1期望航線為y=0,直線路徑跟蹤的仿真結(jié)果如圖3～圖13所示,其中,傳統(tǒng)自適應(yīng)ILOS導(dǎo)引路徑跟蹤算法(以下簡稱為算法1)和本文提出的路徑跟蹤控制算法(以下簡稱為算法2)分別對應(yīng)變量下標(biāo)為1和2的仿真結(jié)果。

圖3 直線路徑跟蹤軌跡Fig.3 Straight path following

圖4 橫向誤差的變化Fig.4 Varying of cross-track error

圖5 前視距離的變化Fig.5 Varying of lookahead distance

圖6 算法1下作用下的擾動(dòng)側(cè)滑角及其自適應(yīng)估計(jì)值Fig.6 Sideslip angle and its adaptive estimation with algorithm 1

圖7 算法2下作用下的擾動(dòng)側(cè)滑角及其自適應(yīng)估計(jì)值Fig.7 Sideslip angle and its adaptive estimation with algorithm 2

由圖3和圖4可以看出,算法1和算法2分別在60 s和25 s時(shí)收斂到期望路徑,相比算法1,算法2能夠使得USV更快地收斂到計(jì)劃航線,且沒有大的超調(diào)行為,運(yùn)動(dòng)軌跡相對平滑;由圖4可以看出,在算法2的控制作用下,USV路徑跟蹤過程中基本無超調(diào)行為,跟蹤誤差曲線較為平滑,而算法1存在較大超調(diào)現(xiàn)象,最大超調(diào)量約為2.3 m,這意味著算法2能夠使USV有更好的航跡保持能力。這是由于算法2使得USV在距離計(jì)劃航線較遠(yuǎn)時(shí)能夠快速逼近計(jì)劃航線,而在距離計(jì)劃航線較近時(shí),平緩的靠近計(jì)劃航線,這與圖5中算法2對應(yīng)的時(shí)變前視距離的變化情況是一致的。時(shí)變的前視距離帶給USV更加靈活的操縱性能,當(dāng)USV距離計(jì)劃航線較近時(shí),控制器自適應(yīng)選擇較小的前視距離,以使得USV快速逼近計(jì)劃航線;當(dāng)USV距離計(jì)劃航線較遠(yuǎn)時(shí),控制器中選擇大的前視距離,使得USV平緩靠近計(jì)劃航線,避免明顯的超調(diào)行為。

圖8 積分增益的變化Fig.8 Varying of integral gains

圖9 算法1作用下濾波后的期望艏向角及艏向角的變化Fig.9 Varying of expected heading angle after filtering andactual heading angle with algorithm 1

圖10 算法2作用下濾波后的期望艏向角及艏向角的變化Fig.10 Varying of expected heading angle after filtering and actual heading angle with algorithm 2

圖11 算法1作用下濾波后的期望艏向角速率及艏向角速率的變化Fig.11 Varying of expected heading angle rate after filtering and actual heading angle rate with algorithm 1

圖12 算法2作用下濾波后的期望艏向角速率及艏向角速率的變化Fig.12 Varying of expected heading angle rate after filtering andactual heading angle rate with algorithm 2

圖13 艏搖力矩控制輸入Fig.13 Control input of heading angle moment

圖6和圖7給出了擾動(dòng)漂角及其自適應(yīng)估計(jì)值,可以看出,兩種算法均能夠有效地估計(jì)緩慢時(shí)變的擾動(dòng)漂角,且相比算法1,算法2對擾動(dòng)側(cè)滑角的自適應(yīng)估計(jì)值更為精確。由圖7可以看出,算法2在時(shí)間約12 s(對應(yīng)位置誤差約為-0.8 m)后才開始對擾動(dòng)側(cè)滑角進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)并補(bǔ)償,即USV在距離計(jì)劃航線較近時(shí)才讓算法中的虛擬控制律(即積分環(huán)節(jié))起作用,而算法1中的固定積分增益使得積分作用在距離計(jì)劃航線較遠(yuǎn)的初始階段就開始累積,可能會(huì)引起積分飽和及超調(diào)現(xiàn)象,這與圖8中兩種算法積分增益的變化情況是一致的,因此算法2可有效避免積分飽和及超調(diào)行為。

圖9～圖12分別給出了USV濾波后的期望艏向角(角速率)及其艏向角(角速率)的變化情況,可以看出,在兩種控制算法的作用下,艏向角及其艏向角速率都能夠快速收斂到相應(yīng)的期望值,且算法2對應(yīng)的艏向及其角速率曲線更為平滑。圖13中給出了USV航行過程中偏航力矩的變化情況,可以看出,兩種算法中所需的偏航力矩均沒有超過其限制值(2N),但相比算法1,算法2所需的偏航力矩在多數(shù)時(shí)間內(nèi)都更小,這意味著算法2使用較小的能量就能夠完成轉(zhuǎn)艏和艏向鎮(zhèn)定任務(wù),這對USV續(xù)航能力的提高具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

工況2給定5個(gè)航路點(diǎn)(0,0)、(50,10)、(80,40)、(120,35)、(140,130),利用3次樣條插值算法獲得一條連續(xù)的計(jì)劃航線,曲線路徑的跟蹤仿真結(jié)果如圖14～圖24所示。

圖14 曲線路徑跟蹤軌跡Fig.14 Curve path following

圖15 橫向誤差的變化Fig.15 Varying of cross-track error

圖16 前視距離的變化Fig.16 Varying of lookahead distance

圖17 算法1下作用下的擾動(dòng)側(cè)滑角及其自適應(yīng)估計(jì)值Fig.17 Sideslip angle and its adaptive estimation with algorithm 1

圖18 算法2下作用下的擾動(dòng)側(cè)滑角及其自適應(yīng)估計(jì)值Fig.18 Sideslip angle and its adaptive estimation with algorithm 2

圖14和圖15給出了兩種算法作用下USV的航行軌跡和位置跟蹤誤差,可以看出,在兩種算法作用下,USV在航路點(diǎn)附近時(shí)位置誤差都出現(xiàn)了超調(diào)現(xiàn)象,算法1最大超調(diào)量為2 m,算法2最大超調(diào)量為0.2 m,且算法1在50 s時(shí)震蕩行為減小,算法2在整個(gè)跟蹤過程中震蕩幅度較小,約為0.4 m,相比算法1,算法2作用下的USV航行軌跡更為平滑,位置誤差超調(diào)也更小,這意味著算法2使得USV具有更好的航跡保持能力。圖18中,算法2也是大約在12 s(對應(yīng)位置誤差約為-0.9 m)后才開始對擾動(dòng)漂角進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)并補(bǔ)償,其與圖19的分析與工況1類似。

圖19 積分增益的變化Fig.19 Varying of integral gains

圖20 算法1作用下濾波后的期望艏向角及艏向角的變化Fig.20 Varying of expected heading angle after filtering andactual heading angle with algorithm 1

圖21 算法2作用下濾波后的期望艏向角及艏向角的變化Fig.21 Varying of expected heading angle after filtering andactual heading angle with algorithm 2

圖22 算法1作用下濾波后的期望艏向角速率及艏向角速率的變化Fig.22 Varying of expected heading angle rate after filtering andactual heading angle rate with algorithm 1

圖23 算法2作用下濾波后的期望艏向角速率及艏向角速率的變化Fig.23 Varying of expected heading angle rate after filtering andactual heading angle rate with algorithm 2

圖24 艏搖力矩控制輸入Fig.24 Control input of heading angle moment

由圖20～圖23可以看出,兩種控制算法的艏向角及其艏向角速率都能夠快速收斂到相應(yīng)的期望值,且在仿真初始階段,算法2對應(yīng)的艏向及其角速率曲線則更為平滑;從圖24中可以看出,偏航力矩在仿真時(shí)間0～50 s的分析與工況1相同,而50 s后兩種算法所需的偏航力矩相差很小。

4 結(jié) 論

(1)針對海流等外界環(huán)境干擾下欠驅(qū)動(dòng)USV的路徑跟蹤問題,提出一種基于非對稱模型的改進(jìn)的自適應(yīng)控制算法,其中自適應(yīng)位置誤差和期望艏向角控制律中前視距離和積分增益都是以位置誤差為函數(shù)的時(shí)變量,自適應(yīng)估計(jì)并補(bǔ)償外界擾動(dòng)造成的側(cè)滑角,可有效避免積分飽和以及超調(diào)現(xiàn)象。

(2)基于級聯(lián)系統(tǒng)理論和李雅普諾夫理論證明了當(dāng)所有控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí),控制系統(tǒng)為USGES和UGAS。

(3) 通過與傳統(tǒng)的ILOS導(dǎo)引路徑跟蹤算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對比分析可以看出,文中所提出的改進(jìn)的自適應(yīng)控制算法具有更好的路徑跟蹤效果和動(dòng)態(tài)性能,具有一定的先進(jìn)性。

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