王建新,王 健(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 淄博 255049)

時(shí)間序列的突變檢驗(yàn)在生活中很多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，例如水文氣象序列的突變時(shí)間研究.隨著全球氣候的變化威脅著人類的生活環(huán)境，關(guān)于水文氣象序列的研究越來(lái)越重要.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法要求的假定條件較少，運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，更容易使研究者理解應(yīng)用推廣.因此，研究非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法有重要的意義.目前關(guān)于突變檢驗(yàn)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法有很多，如Mann-Kendall法，pettitt 法，Reverse Spearman’s rho test ,pettitt 法，WMW法等. 眾所周知，非參數(shù)秩檢驗(yàn)受原始數(shù)據(jù)是否存在自相關(guān)的先驗(yàn)假設(shè)條件限制，但高階自相關(guān)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一階自相關(guān)帶來(lái)的誤差可以忽略.許多學(xué)者也認(rèn)識(shí)到非參數(shù)統(tǒng)計(jì)法方法會(huì)受到一些序列自身性質(zhì)的影響，而傾向研究小波理論等引入的新方法.[1-3]本文將通過(guò)蒙特卡洛模擬的方法驗(yàn)證剖析不同一階自相關(guān)系數(shù)的存在對(duì)Mann-Kendall突變檢驗(yàn)產(chǎn)生的具體差異影響，從而對(duì)其進(jìn)行修正,并探討不同樣本空間所帶來(lái)的的突變次數(shù)的改變.為檢驗(yàn)相關(guān)問(wèn)題提供更加簡(jiǎn)單可行的分析方法及運(yùn)算步驟.

1 Mann-Kendall 突變檢驗(yàn)

設(shè)時(shí)間序列{Xt},觀察值序列{xt,t=1,2,...,n}.構(gòu)造秩序列

其中

在時(shí)間序列隨機(jī)獨(dú)立的假定下，定義統(tǒng)計(jì)量：

(k=1,2,...,n)

其中UF1=0，當(dāng)x1,x2,...,xn相互獨(dú)立，且連續(xù)同分布，

UFk是按時(shí)間序列x順序x1,x2,...,xn計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量序列.按時(shí)間序列x逆序xn,xn-1,...,x1,再重復(fù)上述過(guò)程，然后使計(jì)算值乘上-1，即可得到UBk序列.分別繪制UFk和UBk曲線圖，如果UFk和UBk曲線交點(diǎn)在置信線之間，那么交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻便是突變開(kāi)始的時(shí)間.

2 AR(1)過(guò)程的影響

2.1 模擬條件

為了驗(yàn)證存在一階自相關(guān)對(duì)于Mann-Kendall 突變檢驗(yàn)方法產(chǎn)生的影響，將利用蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)對(duì)于不同一階自相關(guān)系數(shù)ρ1的序列進(jìn)行分析[4-5].設(shè)

Xt=μX+ρ1(Xt-1-μX)+εt

(1)

(2)

2.2 模擬結(jié)果及分析

蒙特卡洛模擬如圖1、圖2所示.

圖1 正相關(guān)AR(1)影響結(jié)果Fig. 1 Effect of positive serial correlation

圖2 負(fù)相關(guān)AR(1)影響結(jié)果Fig. 2 Effect of negative serial correlation

通過(guò)圖1和圖2可以看出，當(dāng)時(shí)間序列存在正相關(guān)AR(1)過(guò)程時(shí)，隨著正相關(guān)系數(shù)的不斷增加，檢驗(yàn)出突變次數(shù)呈明顯的逐漸下降趨勢(shì).另外，隨著樣本空間的增大，檢驗(yàn)出突變點(diǎn)的概率均隨著增高，這符合現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知.當(dāng)時(shí)間序列存在負(fù)相關(guān)AR(1)過(guò)程時(shí)，隨著負(fù)相關(guān)強(qiáng)度的增加，檢驗(yàn)出突變次數(shù)和正相關(guān)情況相反呈逐漸上升的趨勢(shì).通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，存在負(fù)相關(guān)AR(1)過(guò)程的樣本要比存在正相關(guān)AR(1)過(guò)程的樣本檢驗(yàn)出突變的次數(shù)的概率均有所增加.因此，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)如果時(shí)間序列存在自相關(guān)性對(duì)Mann-Kendall 突變檢驗(yàn)方法將產(chǎn)生較大的影響，消除時(shí)間序列的自相關(guān)性在進(jìn)行突變檢驗(yàn)可能會(huì)產(chǎn)生更加精確的結(jié)果.

下面利用Pre-whitening法對(duì)蒙特卡洛模擬產(chǎn)生的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)處理，然后再進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).

3 Pre-whitening 處理

Pre-whitening法[6]是von Storch 提出，并被Yue S等人用于減少AR(1)過(guò)程對(duì)于MK檢驗(yàn)趨勢(shì)分析產(chǎn)生的影響中，下面驗(yàn)證其在處理突變檢驗(yàn)中的效果.樣本序列可以通過(guò)公式進(jìn)行Pre-whitening處理：

Yt=Xt-ρ1Xt-1

然后對(duì)新的時(shí)間序列{Yt}進(jìn)行蒙特卡洛模擬.

圖3 Pre-whitening 修正Fig. 3 Modified by Pre-whitening

從圖3可以看出，運(yùn)用Pre-whitening 處理后的時(shí)間序列再進(jìn)行蒙特卡洛模擬的Mann-Kendall突變檢驗(yàn)已經(jīng)去除了不同自相關(guān)系數(shù)對(duì)于突變檢驗(yàn)的影響，各個(gè)樣本空間的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果均和自相關(guān)系數(shù)等于0時(shí)保持在幾乎同一水平.說(shuō)明Pre-whitening 處理對(duì)于Mann-Kendall突變檢驗(yàn)也是一種有效的方法.

4 實(shí)例分析

以全國(guó)1949-2008年洪災(zāi)數(shù)據(jù)為例，利用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法Mann-Kendall突變檢驗(yàn)進(jìn)行修正前后分析結(jié)果的分析對(duì)比.首先，判斷洪災(zāi)數(shù)據(jù)是否存在一階自相關(guān)性.

表1 一階自相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)
Tab.1 The test of significance of lag-1 serial correlation coefficient

參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差t值近似Pr>|t|滯后MU9763．1994．855099．81<．00010AR1，10．401250．120303．340．00151

通過(guò)利用SAS軟件進(jìn)行條件最小二乘估計(jì)(見(jiàn)表1).可以看出一階自相關(guān)系數(shù)0.40125，并且系數(shù)的t檢驗(yàn)p值小于0.01，說(shuō)明該序列具有較強(qiáng)的一階自相關(guān)性，系數(shù)顯著非零，該數(shù)據(jù)具有一定的討論意義.利用Pre-whitening 處理洪災(zāi)數(shù)據(jù)，消除一階自相關(guān)對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的影響.

圖4 全國(guó)1949—2008年洪災(zāi)數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前、后折線對(duì)比圖Fig. 4 Line chart of flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

利用pre-whitening 處理全國(guó)洪災(zāi)數(shù)據(jù)后，消除了數(shù)據(jù)本身存在的一階自相關(guān)性.通過(guò)圖4的折線圖對(duì)比可以看出，數(shù)據(jù)處理前后波動(dòng)起伏變化非常小，沒(méi)有改變?cè)紨?shù)據(jù)的核心信息.同時(shí)更好的滿足了利用非參數(shù)秩檢驗(yàn)方法所受到原始數(shù)據(jù)是否存在自相關(guān)的先驗(yàn)假設(shè)條件.

圖5 全國(guó)1949-2008洪災(zāi)數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前、后MK突變檢驗(yàn)對(duì)比圖Fig. 5 Line chart of the MK test based on the flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

Mann-Kendall突變檢驗(yàn)，如果UFk和UBk曲線交點(diǎn)在置信線之間，那么交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻便是突變開(kāi)始的時(shí)間.從圖5可以看出全國(guó)1949-2008洪災(zāi)數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前后的Mann-Kendall突變檢驗(yàn)結(jié)果有所差異.因已算出原始數(shù)據(jù)一階自相關(guān)系數(shù)ρ1=0.401 25，觀察第三節(jié)中所做的不同一階自相關(guān)系數(shù)在不同樣本空間下對(duì)Mann-Kendall突變檢驗(yàn)產(chǎn)生影響的分析結(jié)果，可以看出存在ρ1=0.4的不同樣本空間下均會(huì)產(chǎn)生突變次數(shù)少許降低的影響. 對(duì)圖5分析可以看出數(shù)據(jù)處理前Mann-Kendall突變檢驗(yàn)只檢驗(yàn)出1980年左右一次明顯的突變，但數(shù)據(jù)處理后發(fā)現(xiàn)在原有的突變點(diǎn)外還有較小的波動(dòng)，這對(duì)分析數(shù)據(jù)即會(huì)產(chǎn)生影響.同時(shí)將隨著一階自相關(guān)系數(shù)的增加以及樣本量的變化產(chǎn)生更大的影響，更對(duì)剖析突變的成因，突變開(kāi)始的時(shí)間點(diǎn)及突變的發(fā)展趨勢(shì)等產(chǎn)生干擾，因而不容忽視. 通過(guò)修正的Mann-Kendall突變檢驗(yàn)可以看出1980年前后發(fā)生了2次突變，其中1980年左右發(fā)生的突變最為顯著，使全國(guó)洪災(zāi)受災(zāi)面積呈上升的趨勢(shì).不難發(fā)現(xiàn)靠前的一次突變可能是1980年突變產(chǎn)生的根源所在，值得引起我們的深入分析. 因此通過(guò)Pre-whitening 處理后的Mann-Kendall突變檢驗(yàn)方法對(duì)進(jìn)一步分析全國(guó)洪水災(zāi)害變化的趨勢(shì)以及產(chǎn)生的原因可以做出更加精確的解釋.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)可以看出，存在AR(1)過(guò)程的時(shí)間序列，在進(jìn)行Mann-Kendall突變檢驗(yàn)時(shí)會(huì)對(duì)檢驗(yàn)的結(jié)果產(chǎn)生影響.并且不同的自相關(guān)系數(shù)對(duì)分析結(jié)果影響程度不同，可以分別從正負(fù)自相關(guān)系數(shù)來(lái)解釋.因此，在利用Mann-Kendall突變檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)時(shí)間序列的實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)先判斷時(shí)間序列是否存在自相關(guān)性.本文利用蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Pre-whitening 處理方法在Mann-Kendall突變檢驗(yàn)時(shí)間序列中修正的可行性.另外，通過(guò)實(shí)驗(yàn)不難看出，當(dāng)一階自相關(guān)系數(shù)ρ1≥0.2時(shí)，即將對(duì)Mann-Kendall突變檢驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生不可忽視的誤差.同時(shí)，當(dāng)樣本量n≥100，一階自相關(guān)系數(shù)-0.1<ρ1<0.1時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便可以忽略其誤差.當(dāng)一階自相關(guān)系數(shù)ρ1≤-0.2時(shí)，Mann-Kendall突變檢驗(yàn)結(jié)果也產(chǎn)生不可忽視的誤差. Mann-Kendall突變檢驗(yàn)方法適用于多類時(shí)間序列的突變檢驗(yàn)，可以推廣到其他水文氣象領(lǐng)域或金融等領(lǐng)域的應(yīng)用問(wèn)題中，具有重要的研究及應(yīng)用價(jià)值.

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