劉雪梅 楊國政 張學(xué)勇 楊星辰

（航天長征化學(xué)工程股份有限公司）

0 前言

換熱器是用于不同溫度流體之間熱量傳遞的裝置，是石油化工等行業(yè)廣泛使用的重要設(shè)備。大型管殼式換熱器中的換熱管較多，工況較復(fù)雜。其中管板是換熱器中受力最為復(fù)雜的部件，管板的設(shè)計是換熱器設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)。

早期由于條件的限制，無法直接對換熱器管板進行分析，因此將管板視為受均布載荷作用、具有有效彈性模量和有效泊松比的圓形平板，以彎曲受載為基礎(chǔ)計算板中最大應(yīng)力。很多標(biāo)準(zhǔn)體系采用了這個理論并不斷地進行改善，逐漸形成了現(xiàn)在的換熱器管板常規(guī)設(shè)計方法。當(dāng)量實心板理論在換熱器管板的設(shè)計演變歷程中扮演著相當(dāng)重要的角色，本文即對當(dāng)量實心板理論的發(fā)展歷程進行相應(yīng)的概述與總結(jié)。

1 當(dāng)量實心板理論的研究概述

當(dāng)量實心板理論是Gardner[1]于1948年在進行浮頭式換熱器設(shè)計時提出的概念，即將多孔板替換成具有相同尺寸以及等效抗彎剛度的實心板，然后根據(jù)圓平板理論求解管板應(yīng)力。

1.1 三角形布管管板的有效彈性常數(shù)研究

早期人們主要對三角形布管管板的有效彈性常數(shù)進行研究，對于正方形布管管板的研究較少。1948年Gardner引入了管孔削弱系數(shù)μ和撓度系數(shù)η，管孔削弱系數(shù)μ表示管孔對管板的削弱程度，撓度系數(shù)η表示開孔對管板彎曲剛度D的削弱。設(shè)D*為多孔板削弱之后的當(dāng)量彎曲剛度，則等效彎曲剛度 D*和管孔削弱系數(shù) μ的表達式如式 （1）、式 （2）所示，其中所涉及的管孔模型如圖1所示。

式中 p——管孔中心距；

d——管子外徑。

圖1 管孔示意圖

1952年，Gardner[2]將此方法應(yīng)用到固定管板式換熱器的設(shè)計中，但其不足之處在于未考慮管子對管板的支撐作用。

1952年，Miller[3]彌補了Gardner理論中的不足，考慮了管子對管板的支撐作用，將當(dāng)量實心板視為置于彈性基礎(chǔ)之上的圓平板并改進了撓度系數(shù)η的計算方法。同年，Malkin[4]與Horvay[5]采用等效方法導(dǎo)出了當(dāng)量實心板的有效彈性模量E*與有效泊松比v*，并將E*/E和v*代替了當(dāng)量實心板的抗彎剛度D*。

1959年和1960年，Sampson[6-7]使用光彈法對承受平面載荷和彎曲載荷的多孔板進行了實驗，發(fā)現(xiàn)下述一些規(guī)律： （1）承受平面載荷時，有效彈性模量E*和多孔板彈性模量E之比E*/E和有效泊松比v*與多孔板的厚度h無關(guān)，且E*/E與多孔板所受載荷的方向無關(guān)，但v*呈現(xiàn)各向異性，其值隨著載荷方向的變化而變化。 （2）承受彎曲載荷時，E*/E和v*呈現(xiàn)各向同性，兩者在板厚與管孔中心距之比h/p＜2時，隨著多孔板的厚度變化而發(fā)生顯著的變化，但當(dāng)h/p＞2時這種變化非常緩慢。當(dāng)多孔板取較厚的厚度時，彎曲載荷作用下的計算結(jié)果接近平面應(yīng)力狀態(tài)下的計算值。

因此Sampson認為，板厚與管孔中心距的比值h/p=2是薄板和厚板的分界線。同年，Leven[8]通過實驗驗證了Sampson的結(jié)論。

1962年，O’Donnell等[9]在Sampson研究的基礎(chǔ)上對h/p≥2的三角形布管的多孔厚板提出了有效彈性常數(shù)和管孔削弱系數(shù)μ的關(guān)系曲線，1966年ASMEⅢ和隨后的ASMEⅧ-Div.2采用了這些曲線。

1969年，Meijers[10]對三角形布管、正方形布管的薄板 （h/p＜0.1）和厚板 （h/p＞2）承受平面載荷與彎曲載荷的情況做了研究，并得到了彎曲載荷作用下薄板和厚板的有效彈性常數(shù)。之后改進了彎曲載荷作用下薄板 （h/p→0）、厚板 （h/p→∞）與中間范圍 （0＜h/p＜∞）有效彈性常數(shù)的確定方法[11]。這些成果已被很多壓力容器設(shè)計標(biāo)準(zhǔn) （英國BS 5500、法國CODAP、歐盟EN 13445和ISO等）所采用。

1.2 正方形布管管板的有效彈性常數(shù)及后續(xù)研究

20世紀(jì)60年代前，人們研究的是三角形布管管板的等效方法，60年代后開始研究正方形布管管板的等效方法。與三角形布管管板各向同性的有效彈性常數(shù)相比，正方形布管管板的有效彈性常數(shù)呈現(xiàn)各向異性，表現(xiàn)在對角線方向d和中心距方向p具有不同的有效彈性常數(shù)，如圖2所示。

圖2 正方形布管示意圖

1960年，Bailey和Hicks[12]通過對不同管孔削弱系數(shù)μ的正方形布管的多孔板進行拉伸剪切實驗，得到了當(dāng)量實心板的有效彈性常數(shù)設(shè)計曲線，發(fā)現(xiàn)正方形布管的當(dāng)量實心板有效彈性常數(shù)呈現(xiàn)各向異性。1967年O’Donnell[13]對正方形布管的多孔板進行了研究，使用理論方法證實了正方形布管的當(dāng)量實心板彈性常數(shù)的各向異性，表現(xiàn)在中心距方向與對角線方向的有效彈性常數(shù)不同。

1971年，Slot和O’Donnell[14]研究了承受平面應(yīng)力、平面應(yīng)變和一般平面應(yīng)變條件的三角形布管與正方形布管的多孔薄板和承受一般載荷的多孔厚板，發(fā)現(xiàn)對于正方形布管來說，管孔削弱系數(shù)μ在0.2≤μ≤0.4時比μ趨近于1時 （無限接近于不開孔板）的各向異性更為顯著。文章給出了三角形布管當(dāng)量實心板在不同泊松比時的有效彈性常數(shù)E*/E、v*與μ之間的關(guān)系圖，以及不同泊松比時正方形布管對角線方向和中心距方向的有效彈性常數(shù)Ed*/Ed、vd*、Ep*/Ep、vp*與μ之間的關(guān)系圖。最后將結(jié)果與Sampson光彈法實驗結(jié)果、Meijers理論計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)三者吻合很好，如圖3所示。之后許多研究者做了相關(guān)的實驗，實驗結(jié)果表明Sampson的研究成果是準(zhǔn)確的，而 Malkin與Horvay由于采取了幾何近似，其計算值是不很準(zhǔn)確的。

圖3 Slot和O’Donnell的研究結(jié)果（與Meijers、Sampson的結(jié)果對比）

1972年，Slot[15]分別對承受平面載荷、反平面剪切載荷和熱載荷的多孔厚板進行大量的分析與相應(yīng)的實驗，給出了大量的對比圖表。1974年Slot和Branca[16]從非彈性角度入手，使用有限元方法模擬承受平面載荷和反平面剪切載荷下的三角形布管多孔板，研究了高溫高壓所導(dǎo)致的多孔板非彈性狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系。

1973年，O’Donnell[17]對一系列按照三角形和正方形排列開孔的鋁制梁進行實驗，模擬多孔板平面應(yīng)力、平面應(yīng)變和一般平面應(yīng)變下的受載狀態(tài)，通過實驗與理論對比，得知可將厚板受載看作一般平面應(yīng)變狀態(tài)，非常薄的管板承受平面載荷時可看作平面應(yīng)力狀態(tài)。

對于不同的管孔削弱系數(shù)μ，尤其是當(dāng)管孔削弱系數(shù)μ極大或者極小時，對當(dāng)量實心板的有效彈性常數(shù)的影響是比較大的。1974年P(guān)orowski和O’Donnell[18]對三角形布管下不同管孔削弱系數(shù)的管板進行了研究，對削弱系數(shù)在0.05＜μ＜1范圍內(nèi)同時承受不同載荷的管板進行分析，研究了不同管孔削弱系數(shù)對管板的削弱程度；1975年兩人[19]對正方形布管的管板做了同樣的研究。

1977年，Porowski和O’Donnell[20]對管孔帶處的塑性應(yīng)變做了研究，通過有限元方法計算了不同管孔削弱系數(shù)下承受剪切載荷等載荷時的多孔板應(yīng)力。

1978年，Porowski和O’Donnell[21]利用有限元方法對承受壓力載荷和復(fù)雜熱載荷的多孔板進行了研究，提出了三角形布管與正方形布管管板的軸對稱分析時所用的彈性矩陣，如式 （3）所示：

同時，還對各載荷情況下管孔的周邊應(yīng)力分布做了研究，給出了各種載荷情況下確定管孔周邊峰值應(yīng)力的局部應(yīng)力因子曲線。

Sampson通過光彈法實驗并分析結(jié)果后認為，板厚與管孔中心距比值h/p=2是薄板和厚板的分界線。因此確定多孔板當(dāng)量實心板有效彈性常數(shù)可根據(jù)h/p的值來進行區(qū)分。綜合了不同研究的實驗和計算結(jié)果，可將板厚范圍及相應(yīng)的有效彈性常數(shù)確定方法劃分如下。

（1）薄管板 （h/p＜0.1）：根據(jù)Meijers的研究成果[10-11]，結(jié)合實驗值確定有效彈性常數(shù)。

（2）厚管板 （h/p＞2）：根據(jù)Slot和O’Donnell的研究成果[14]，結(jié)合實驗值確定有效彈性常數(shù)。

（3）中間值管板 （0.1＜h/p＜2）：根據(jù)Meijers的研究成果[10-11]， 結(jié)合Sampson[7]與 O’Donnell[17]的實驗結(jié)果確定有效彈性常數(shù)。

1989年，Osweiller[22]對過去幾十年來當(dāng)量實心板有效彈性常數(shù)的研究和發(fā)展做了全面的回顧，并把當(dāng)量實心板有效彈性常數(shù)的研究分為三階段。

（1）第一階段為1948年—1959年，主要使用等效簡化方法來確定有效彈性常數(shù)，為經(jīng)驗階段。此時由于理論不完善導(dǎo)致不同研究者的計算結(jié)果有較大的差異。

（2） 第 二階段 為 1960年—1962年 ， 以Sampson光彈法實驗研究成果為代表，通過實驗得到了三角形布管管板在承受平面載荷和彎曲載荷時有效彈性常數(shù)和管孔削弱系數(shù)之間的關(guān)系曲線。

（3）第三階段為1963年—1985年，此階段提出了更為精確的理論以及增加了計算機的使用，同時加入了之前并未考慮的正方形布管管板的有效彈性常數(shù)問題，通過大量的實驗和理論計算，得到了準(zhǔn)確的有效彈性常數(shù)計算曲線。

同時Osweiller提出，在滿足特定條件下依然可以將正方形布管的多孔板看作各向同性處理，此時正方形布管當(dāng)量實心板的各向同性有效彈性常數(shù)可以通過各向異性的有效彈性常數(shù)來表示，其計算式如式 （4）和式 （5）所示：

1996年，Ukadgaonker等[23]從力學(xué)、實驗和數(shù)值分析三個方面對換熱器管板的有效彈性常數(shù)研究歷程做了綜述，提出了未來的一些發(fā)展方向。

1.3 國內(nèi)有效彈性常數(shù)的研究成果

國內(nèi)的研究者對當(dāng)量實心板的有效彈性常數(shù)也有所研究。1981年，清華大學(xué)錢偉長和戴福隆[24]在Horvay研究基礎(chǔ)上對計算模型進行了合理簡化，并考慮了等效板梁之間的約束作用，導(dǎo)出了厚管板的有效彈性常數(shù)，如式 （6）和式 （7）所示：

式中 β——六邊形網(wǎng)格板的管孔削弱系數(shù)，且β=b/p；

b——六邊形網(wǎng)格板板梁的平均寬度；

p——管孔中心距。

將計算所得的有效彈性常數(shù)與Sampson和Slot的結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)在很大范圍內(nèi)吻合較好，通過實驗也驗證了其可靠性。

1992年，黃克智和薛明德等[25]在國外研究人員研究基礎(chǔ)上考慮了管子對管板的加強作用，在考慮管子脹接或者焊接對管板加強作用的前提下計算了管板應(yīng)力，發(fā)現(xiàn)此結(jié)果更加符合實驗結(jié)果。

2004年，謝桂蘭等[26]使用復(fù)合材料中廣泛應(yīng)用的多尺度均勻化理論計算了管板有效彈性常數(shù)，發(fā)現(xiàn)對于平面問題來說使用均勻化理論計算所得有效彈性常數(shù)與ASME相應(yīng)曲線吻合較好。

2010年，王珂等[27]通過固有頻率等效、撓度等效和應(yīng)變能等效三種方法計算了多孔板的有效彈性常數(shù)，同時將三種方法與ASME的計算結(jié)果進行對比，對比結(jié)果顯示三種方法與ASME的結(jié)果均能對應(yīng)一致，且都能處理復(fù)雜多孔管板如非圓孔管板結(jié)構(gòu)的有效彈性常數(shù)。

總之，當(dāng)量實心板有效彈性常數(shù)的理論及其主流研究方向由西方研究所引領(lǐng)，國內(nèi)關(guān)于此方面的研究很少且相對滯后。

2 當(dāng)量實心板理論在標(biāo)準(zhǔn)中的應(yīng)用

當(dāng)量實心板理論被很多標(biāo)準(zhǔn)所應(yīng)用，如美國的TEMA與ASME、英國BS 5500、法國CODAP和歐盟EN 13445等。ASME標(biāo)準(zhǔn)由于其權(quán)威性且在國內(nèi)應(yīng)用十分廣泛，因此本文僅對ASME體系進行詳細的介紹。

ASME標(biāo)準(zhǔn)中換熱器設(shè)計部分的歷史并不久，1980年ASME第一次正式推出僅限于U形管換熱器的管板設(shè)計章節(jié)，并將其作為非規(guī)定性附錄AA列入ASMEⅧ-1。在1982年冬季增補和1992年Appendix AA-2中，加入了固定管板式換熱器的管板設(shè)計方法。2003年ASME將Appendix AA列為強制性章節(jié)ASMEⅧ-1 UHX。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，ASME標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于換熱器的設(shè)計已經(jīng)分別發(fā)展為ASMEⅧ-1 UHX章節(jié)與ASMEⅧ-2的4.18章節(jié)，這兩部分的內(nèi)容基本相同，均基于相同的理論基礎(chǔ)。

ASME中換熱器的設(shè)計是基于當(dāng)量實心板理論的，其管板有效彈性常數(shù)的確定主要參考以上學(xué)者的研究，同時做了一些改進。ASME根據(jù)管板布管的實際情況，考慮了脹管與否、管板不布管帶和溫度等因素對管板的影響，采用了有效管孔削弱系數(shù)μ*來計算有效彈性常數(shù)。其中μ*的表達式為：

式中 p*——有效管孔中心距；

d*——管孔有效直徑。p*和d*的表達式分別如式 （9）和式 （10）所示：

式中 AL——不布管帶總面積；

D0——管板外排管子布管范圍圓當(dāng)量直徑；

Dt——管子公稱外徑；

E——管板設(shè)計溫度下管板材料的彈性模量；

EtT——管板設(shè)計溫度下?lián)Q熱管材料的彈性模量；

p——管孔中心距；

S——管板設(shè)計溫度下管板材料的許用應(yīng)力；

StT——管板設(shè)計溫度下?lián)Q熱管材料的許用應(yīng)力；

tt——管子公稱厚度；

ρ——脹管深度比。

前文提到1989年Osweiller提出在滿足特定條件下依然可以將正方形布管的多孔板看作各向同性處理，因此在ASMEⅧ-1 UHX章節(jié)與ASMEⅧ-2的 4.18章節(jié)中，三角形布管與正方形布管管板的有效彈性常數(shù)的求解依然按照各向同性計算，但在ASMEⅧ-2 Annex-5.E章節(jié)中，依然保留了正方形布管管板各向異性有效彈性常數(shù)的計算方法。

總之，當(dāng)量實心板理論從20世紀(jì)40年代末半經(jīng)驗等效簡化開始，經(jīng)理論的完善以及大量的實驗對有效彈性常數(shù)計算方法進行不斷的修改與完善，ASME根據(jù)前人的研究成果加以更全面的完善與補充，形成了今日ASMEⅧ-1&2章節(jié)中所使用的有效彈性常數(shù)求解方法。

3 當(dāng)量實心板理論在分析設(shè)計中的應(yīng)用

有限元法自提出后，經(jīng)幾十年發(fā)展已經(jīng)相當(dāng)成熟，工程界也越來越多地使用有限元法對換熱器進行分析設(shè)計。對于大型的換熱器來說，建模難易程度與計算規(guī)模大小是影響換熱器分析設(shè)計效率的主要因素，因此為了提高工作效率，通常會對換熱器進行一定的簡化，然后再進行分析計算。

通常來說，換熱器的簡化分析就是根據(jù)當(dāng)量實心板理論先將管板簡化，再對其他部件進一步簡化，然后再進行分析設(shè)計。換熱器的簡化算法前人研究很多。劉俊明[28]在不考慮管子支撐情況下將模型簡化成軸對稱模型進行計算。陳罕[29]將管子和管板替換成8個同心圓筒和實心板建立軸對稱模型，對環(huán)形管板的應(yīng)力進行了研究。Weiya Jin等[30]建立了當(dāng)量實心板和桿單元、管單元分別組合的模型進行計算，并進行了對比。楊國政[31]采用Beam 188和Solid 45單元分別模擬換熱管和當(dāng)量實心板，通過MPC技術(shù)連接兩者進行了模擬計算。錢才富[32]使用殼單元和梁單元分別對當(dāng)量實心板和換熱管組合建模，模擬了管板的四分之一模型。龐心宇[33]將管板等效為實心板，換熱管等效成同心圓筒，建立了軸對稱模型，對換熱器管板的應(yīng)力進行了分析。

上述的簡化算法均是建立在當(dāng)量實心板理論基礎(chǔ)之上的，不難看出當(dāng)量實心板理論在換熱器分析設(shè)計中也扮演著重要的角色。

4 總結(jié)與展望

通過對當(dāng)量實心板理論的發(fā)展歷程的回顧可知，當(dāng)量實心板理論從提出至廣泛應(yīng)用于換熱器設(shè)計并被標(biāo)準(zhǔn)采用，經(jīng)歷了經(jīng)驗簡化階段、理論實驗驗證階段和精確計算階段，是一個循序漸進、不斷改進的過程。經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，當(dāng)量實心板理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，且組合進了換熱器設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)理論部分。當(dāng)量實心板理論在換熱器的分析設(shè)計中也應(yīng)用頗為廣泛，通過對計算模型進行一定程度的簡化，可提高分析設(shè)計的效率。因此，可以預(yù)見在今后的換熱器設(shè)計中當(dāng)量實心板理論仍將扮演相當(dāng)重要的角色。

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