趙 密 王利濤 高志懂 杜修力 黃景琦

?

土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中幾類地震輸入方式的比較1

趙 密 王利濤 高志懂 杜修力 黃景琦

（北京工業(yè)大學(xué)，城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

地震作用下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的整體有限元分析需要在人工邊界處輸入地震動(dòng)。目前可能采用的地震輸入方法包括黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法、自由場(chǎng)應(yīng)力方法、自由場(chǎng)位移方法以及側(cè)邊界自由方法。由于采用近似人工邊界條件或者未完全考慮地震自由場(chǎng)，上述地震輸入方法均為近似方法。本文以大開地鐵車站二維有限元分析為例，根據(jù)規(guī)范建議的邊界位置，研究了上述地震輸入方法的精度，研究成果可為土-結(jié)構(gòu)相互作用分析的合理地震輸入提供一定參考。

土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用 地震輸入 黏彈性邊界 自由場(chǎng) 有限元分析

引言

大型地下結(jié)構(gòu)、高壩、核電站、大跨度橋梁等基礎(chǔ)設(shè)施工程的抗震分析需要考慮土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用。地震作用下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的有限元直接方法或者稱為整體式方法見專著（Wolf，1985，1988；杜修力，2009）。該方法引入虛擬邊界（稱作人工邊界）截去土體的無限域部分，取出結(jié)構(gòu)及其附近土體形成有限域，采用有限元法模擬。人工邊界處需要作如下兩方面處理：一是施加人工邊界條件來模擬散射場(chǎng)的透射或者吸收散射場(chǎng)；二是計(jì)算無結(jié)構(gòu)規(guī)則場(chǎng)地的地震自由場(chǎng)反應(yīng)，在人工邊界處實(shí)現(xiàn)自由場(chǎng)輸入。

在人工邊界條件方面，研究者已經(jīng)提出了多種方法。眾所周知的人工邊界條件是黏性邊界（Lysmer等，1969）、黏彈性邊界（Deeks等，1994；劉晶波等，1998；杜修力，2000；杜修力等，2006a；Du等，2010a）、多次透射公式（Liao等，1984；廖振鵬；2002）、無限元法（Zhao等，2009）、邊界元法（張楚漢等，2001）。自20世紀(jì)90年代至今，提出并且受到廣泛關(guān)注的方法包括：完美匹配層法（Bermúdez等，2010）、高階局部無反射邊界條件（Givoli，2004）、比例邊界有限元法（Wolf，2003）、高精度應(yīng)力型時(shí)域人工邊界條件（Du等，2010b；Zhao等，2011；趙密等，2012）等。在上述各類方法中，黏性邊界是在每個(gè)人工邊界自由度施加一個(gè)遠(yuǎn)端固定的阻尼器，物理意義清楚、容易實(shí)現(xiàn)、高頻穩(wěn)定，并且具有可用工程精度等優(yōu)點(diǎn)，適于分析復(fù)雜工程問題，已被一些商用有限元軟件采納。然而，黏性邊界未對(duì)分析模型提供剛度約束，在分析模型未受其他剛度約束條件下，計(jì)算模型可能產(chǎn)生剛體位移，計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)低頻飄移失穩(wěn)現(xiàn)象。黏彈性邊界是在每個(gè)人工邊界自由度施加一個(gè)遠(yuǎn)端固定的并聯(lián)彈簧-阻尼器系統(tǒng)，除具有黏性邊界的上述優(yōu)點(diǎn)以外，由于彈簧為分析模型提供剛度約束，因而避免了黏性邊界的低頻飄移失穩(wěn)問題。研究者們也已經(jīng)提出了基于黏彈性邊界的地震輸入方法（劉晶波等，1998；杜修力，2000；杜修力等，2006a）。黏彈性邊界及相應(yīng)的地震輸入方法已經(jīng)獲得了廣泛的工程應(yīng)用（杜修力等，2006b；陳燈紅等，2010；包銳等，2013）。

黏彈性邊界是基于全空間均勻介質(zhì)中柱面波和球面波假定推導(dǎo)得到的，對(duì)于地震作用下成層半空間場(chǎng)地等復(fù)雜模型而言是近似方法。使用者在應(yīng)用黏彈性邊界及相應(yīng)的地震輸入方法時(shí)，通常有如下兩方面困擾：一是如何確定黏彈性邊界常數(shù)，尤其在成層半空間場(chǎng)地條件下；二是方法難于在商用有限元軟件前處理階段實(shí)現(xiàn)，需要通過編程來實(shí)現(xiàn)批量輸入。

本文將上述地震輸入方法稱為黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法，首先以大開地鐵車站的二維有限元分析為例，根據(jù)規(guī)范建議的邊界位置，研究了兩類黏彈性邊界及其常數(shù)不同取值對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響。其次，數(shù)值試驗(yàn)表明，人工邊界處自由場(chǎng)占總反應(yīng)90%以上，本文采用忽略散射場(chǎng)即不施加黏彈性邊界而僅輸入自由場(chǎng)的簡化地震輸入方法，即強(qiáng)制自由場(chǎng)應(yīng)力方法或者強(qiáng)制自由場(chǎng)位移方法，研究了兩類方法的計(jì)算精度。此外，工程中可能存在僅在底部人工邊界施加黏彈性邊界，而后直接輸入入射地震動(dòng)的簡化地震輸入方法，該方法不處理側(cè)面人工邊界，即無需計(jì)算自由場(chǎng)，稱作側(cè)邊界自由方法。本文也討論了該方法的計(jì)算精度。

1 土-結(jié)構(gòu)相互作用分析的地震輸入方法

土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用時(shí)程分析模型如圖1所示。引入人工邊界截去土體的無限域部分，取出地下結(jié)構(gòu)及其附近土體形成有限域，采用有限元法進(jìn)行模擬。線彈性有限域的動(dòng)力有限元方程可以寫為：

將人工邊界處的總反應(yīng)分解為散射場(chǎng)和自由場(chǎng)兩部分，作用力、位移和速度可以分別分解為：

其中，自由場(chǎng)用上標(biāo)F表示，對(duì)于水平成層半空間場(chǎng)地和豎直入射地震動(dòng)，場(chǎng)地反應(yīng)通過一維場(chǎng)地反應(yīng)分析確定；散射場(chǎng)用上標(biāo)S表示，它是未知的。

散射場(chǎng)從有限域通過人工邊界輻射或者透射進(jìn)入無限域，采用人工邊界條件來模擬，以黏彈性邊界為例，散射場(chǎng)的作用力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以寫為：

將式（3）和式（4）代入式（5），然后代入式（2），最終代入式（1），整理得：

本文分析表明，總反應(yīng)中散射場(chǎng)的含量通常遠(yuǎn)少于自由場(chǎng)，因而從簡化地震輸入的角度考慮，可否僅考慮自由場(chǎng)輸入而不施加模擬散射場(chǎng)的黏彈性邊界，形成在人工邊界處強(qiáng)制自由場(chǎng)應(yīng)力或者強(qiáng)制自由場(chǎng)位移的簡化地震輸入方法。對(duì)于自由場(chǎng)應(yīng)力方法，式（6）退化為：

對(duì)于自由場(chǎng)位移方法，式（6）退化為：

并且在式（8）的人工邊界處強(qiáng)制自由場(chǎng)位移。

式（6）地震輸入方法的側(cè)邊界處理較底邊界復(fù)雜，因而另一種簡化地震輸入方法是側(cè)邊界自由方法，即無需計(jì)算自由場(chǎng)，令側(cè)邊界自由，底邊界按照式（6）輸入給定地震動(dòng)。

2 幾類地震輸入方法的比較研究

2.1 算例描述

以日本大開地鐵車站的地震反應(yīng)分析為例，研究地震作用下土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中上述地震輸入方法的精度。結(jié)構(gòu)的幾何常數(shù)如圖2所示，結(jié)構(gòu)埋深（結(jié)構(gòu)頂面至地表的距離）為4.8m。結(jié)構(gòu)混凝土材料的密度為2490kg/m3、彈性模量為30GPa、泊松比為0.18。沿車站縱向中柱的寬度為1m、柱間距為2.5m，二維平面應(yīng)變分析時(shí)，中柱的彈性模量折減為混凝土彈性模量的1/3.5。工程場(chǎng)地為水平成層半空間土體，場(chǎng)地的材料和幾何常數(shù)見表1。采用神戶海洋氣象站地震記錄作為平面剪切波豎直入射，輸入的地震記錄如圖3所示。土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限元模型如圖4所示。模型尺寸根據(jù)規(guī)范要求取為結(jié)構(gòu)尺寸的4—5倍，有限元網(wǎng)格密度滿足動(dòng)力分析的精度要求，不考慮土體與結(jié)構(gòu)間的接觸非線性。

圖1 地震作用下土-結(jié)構(gòu)相互作用分析模型示意圖

圖2 大開車站的幾何常數(shù)

表1 場(chǎng)地的幾何及材料常數(shù)

圖3 入射地震動(dòng)時(shí)程

圖4 大開車站的土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有限元模型

2.2 黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法的計(jì)算結(jié)果

表2 黏彈性邊界的常數(shù)

圖5 黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法的計(jì)算結(jié)果（采用文獻(xiàn)（劉晶波等，2005a）的黏彈性邊界）

圖6 黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法的計(jì)算結(jié)果（采用文獻(xiàn)（杜修力等，2006a）的黏彈性邊界）

圖7 黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法的計(jì)算結(jié)果

2.3 自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法的計(jì)算結(jié)果

為了說明自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法的可行性，首先比較采用大模型的土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析結(jié)果與無結(jié)構(gòu)存在的自由場(chǎng)結(jié)果，圖8給出左側(cè)人工邊界深度5.1m處的水平位移結(jié)果?？梢钥闯觯杂蓤?chǎng)結(jié)果基本與土-結(jié)構(gòu)相互作用的結(jié)果重合，自由場(chǎng)峰值為土-結(jié)構(gòu)相互作用峰值的93.17%，說明土-結(jié)構(gòu)相互作用的總反應(yīng)中散射場(chǎng)的含量遠(yuǎn)小于自由場(chǎng)。根據(jù)上述試驗(yàn)現(xiàn)象，考慮忽略散射場(chǎng)即不施加黏彈性邊界而僅輸入自由場(chǎng)的自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法，兩種方法的計(jì)算結(jié)果如圖9和圖10所示?？梢钥吹?，人工邊界處位移結(jié)果的誤差較小，結(jié)構(gòu)中柱頂?shù)紫鄬?duì)水平位移以及中柱中部剪力的誤差較大，各量的峰值相對(duì)誤差均大于5%，剪力誤差最高達(dá)21%，說明自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法的誤差大于黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法，在規(guī)范建議邊界位置條件下不宜采用，如要采用需進(jìn)一步增加模型尺寸。

圖8 土-結(jié)構(gòu)相互作用與自由場(chǎng)分析在左側(cè)人工邊界深度5.1m處的水平位移

圖9 自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法的計(jì)算結(jié)果

2.4 側(cè)邊界自由方法的計(jì)算結(jié)果

側(cè)邊界自由方法的計(jì)算結(jié)果如圖11和圖12所示?？梢钥吹?，人工邊界處位移結(jié)果的誤差超過了10%，結(jié)構(gòu)中柱頂?shù)紫鄬?duì)水平位移以及中柱中部剪力的誤差大于40%，說明側(cè)邊界自由方法的誤差大于黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法以及自由場(chǎng)應(yīng)力方法和自由場(chǎng)位移方法，在規(guī)范建議邊界位置條件下不宜采用。

圖10 左側(cè)人工邊界深度5.1m處水平位移頻譜（自由場(chǎng)應(yīng)力法和自由場(chǎng)位移法）

圖11 側(cè)邊界自由方法的計(jì)算結(jié)果

圖12 左側(cè)人工邊界深度5.1m處水平位移頻譜（側(cè)邊界自由方法）

3 結(jié)論

本文以大開地鐵車站二維有限元分析為例，根據(jù)規(guī)范建議的邊界位置，研究了黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法、自由場(chǎng)應(yīng)力方法、自由場(chǎng)位移方法和側(cè)邊界自由方法4類地震輸入方法的精度。研究表明，黏彈性邊界自由場(chǎng)輸入方法的精度最高，兩類黏彈性邊界方法以及不同邊界參數(shù)取值條件下，人工邊界處位移結(jié)果、結(jié)構(gòu)中柱頂?shù)紫鄬?duì)位移和中柱中部剪力的峰值相對(duì)誤差均小于5%。自由場(chǎng)應(yīng)力方法、自由場(chǎng)位移方法以及側(cè)邊界自由方法誤差較大，在規(guī)范建議的人工邊界位置條件下不宜采用，如要采用這3類方法需進(jìn)一步增加模型尺寸，即將人工邊界設(shè)置于距離結(jié)構(gòu)較遠(yuǎn)處。

包銳，周叮，劉偉慶等，2013．粘彈性人工邊界及其在盆地地震效應(yīng)研究中的應(yīng)用．世界地震工程，29（4）：133—140．

陳燈紅，杜成斌，苑舉衛(wèi)，2010．基于ABAQUS的粘彈性邊界單元及在重力壩抗震分析中的應(yīng)用．世界地震工程，26（3）：127—132．

杜修力，2000．局部解耦的時(shí)域波分析方法．世界地震工程，16（3）：22—26．

杜修力，趙密，王進(jìn)廷，2006a．近場(chǎng)波動(dòng)模擬的人工應(yīng)力邊界條件．力學(xué)學(xué)報(bào)，38（1）：49—56．

杜修力，趙密，2006b．基于黏彈性邊界的拱壩地震反應(yīng)分析方法．水利學(xué)報(bào)，37（9）：1063—1069．

杜修力，2009．工程波動(dòng)理論與方法．北京：科學(xué)出版社，1—444．

廖振鵬，2002．工程波動(dòng)理論導(dǎo)論．2版．北京：科學(xué)出版社，1—298．

劉晶波，呂彥東，1998．結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用問題分析的一種直接方法．土木工程學(xué)報(bào)，31（3）：55—64．

劉晶波，王振宇，杜修力等，2005a．波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界．工程力學(xué)，22（6）：46—51．

劉晶波，李彬，2005b．三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界．中國科學(xué) E輯工程科學(xué)材料科學(xué)，35（9）：966—980．

張楚漢，2001．混凝土壩-地基-庫水系統(tǒng)的數(shù)值模擬．北京：清華大學(xué)出版社．

趙密，杜修力，劉晶波，2012．一種高階精度人工邊界條件：出平面外域波動(dòng)問題．工程力學(xué)，29（4）：7—14.

Bermúdez A., Hervella-Nieto L., Prieto A., et al., 2010. Perfectly matched layers for time-harmonic second order elliptic problems. Archives of Computational Methods in Engineering, 17(1): 77—107.

Deeks A., Randolph M., 1994. Axisymmetric dynamic time-domain transmitting boundaries. Journal of Engineering Mechanics, 120(1): 25—42.

Du X. L., Zhao M., 2010a. A local time-domain transmitting boundary for simulating cylindrical elastic wave propagation in infinite media. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 30(10): 937—946.

Du X. L., Zhao M., 2010b. Stability and identification for rational approximation of frequency response function of unbounded soil. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 39(2): 165—186.

Givoli D., 2004. High-order local non-reflecting boundary conditions: a review. Wave Motion, 39(4): 319—326.

Liao Z. P., Wong H. L., 1984. A transmitting boundary for the numerical simulation of elastic wave propagation. International Journal of Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 3(4): 174—183.

Lysmer J., Kuhlemeyer R. L., 1969. Finite dynamic model for infinite media. Journal of the Engineering Mechanics Division, 95(4): 859—878.

Wolf J. P., 1985. Dynamic soil-structure interaction. New Jersey: Prentice-Hall.

Wolf J. P., 1988. Soil-structure-interaction analysis in time domain. New Jersey: Prentice-Hall.

Wolf J. P., 2003. The scaled boundary finite element method. New York: John Wiley & Sons Inc.

Zhao C. B., 2009. Dynamic and transient infinite elements: theory and geophysical, geotechnical and geoenvironmental applications. Berlin Heidelberg: Springer.

Zhao M., Du X. L., Liu J. B., et al., 2011. Explicit finite element artificial boundary scheme for transient scalar waves in two-dimensional unbounded waveguide. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 87(11): 1074—1104.

趙密，王利濤，高志懂，杜修力，黃景琦，2017．土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中幾類地震輸入方式的比較．震災(zāi)防御技術(shù)，12（3）： 589—598．

Comparison of Earthquake Input Methods in Soil-structure Interaction Analysis

Zhao Mi, Wang Litao, Gao Zhidong, Du Xiuli and Huang Jingqi

(The Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of Ministry of Education,Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

The earthquake input is required in the finite element analysis of the seismic soil-structure interaction. The earthquake input methods that can be used in engineering at present include the free-field input method based on viscous-spring boundary, the free-field stress method, the free-field displacement method, and the free lateral boundary method. The results from these methods are all approximate due to the approximate artificial boundary condition or no consideration of the seismic free field. In this paper, the accuracies of the results by these methods are compared by the 2-dimensional finite element analysis of the Daikai subway station where the artificial boundary position is determined according to the code. This work can give a reference on the earthquake input in the soil-structure interaction analysis.

Dynamic soil-structure interaction; Earthquake input; Viscous-spring boundary; Free field; Finite element analysis

10.11899/zzfy20170315

國家973計(jì)劃項(xiàng)目（2015CB057902），國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51678015）

2017-04-24

趙密，男，生于1980年。教授。主要從事重大工程抗震研究。E-mail：zhaomi@bjut.edu.cn