葉凱紅
摘 要:有余數(shù)的除法問題是小學(xué)數(shù)學(xué)值得研究的一個問題,很多學(xué)生對于有余數(shù)的含義模糊不清,然而這類問題是競賽中常見類型之一,這些題目源于課本,又高于課本,有一定的思考價值,理解了余數(shù)的含義,就能夠很好地解決問題。
關(guān)鍵詞:余數(shù);除法;性質(zhì)
《有余數(shù)的除法》是義務(wù)教育教科書蘇教版二年級數(shù)學(xué)下冊第一單元的內(nèi)容,是以表內(nèi)除法知識作為基礎(chǔ)來進(jìn)行教學(xué)的,是表內(nèi)除法知識的拓展和延伸。學(xué)生對于算式中最后一個多出來的數(shù)字很感興趣,今天我們就一起來研究一下這多出來的數(shù)到底是什么。
一、余數(shù)的含義
“有余數(shù)的除法的初步認(rèn)識”在教材第一節(jié)就直接展示了這樣一個問題:
把10支鉛筆分給小朋友,每人分2支,可以分給幾人?每人分3支、4支、5支呢?在小組里分一分,說一說。
通過學(xué)生動手實(shí)踐,大家慢慢懂得,這里的10÷3=3……1可以表示10支鉛筆,每人分3支,可以分給3人,還剩1支。這多出來的1也就是算式中的余數(shù)。同時還發(fā)現(xiàn)了,有的時候是沒有余數(shù)的,比如10支鉛筆每人分5支,可以分給2人,可以用算式10÷5=2表示,這時候就不會出現(xiàn)余數(shù)。那什么時候會有余數(shù),什么時候沒有余數(shù)呢?
在整數(shù)的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時,就產(chǎn)生余數(shù),所以余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要。這些認(rèn)知都不是我們教師生搬硬套給學(xué)生的,而是在學(xué)生的操作中體現(xiàn)的,使學(xué)生通過直觀操作認(rèn)識到“把一些物體平均分時,有時會有剩余”這一事實(shí)。
二、余數(shù)的性質(zhì)
余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)(a,b,c均為自然數(shù)):
(1)余數(shù)一定比除數(shù)小。
(2)被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù);
(3)如果a,b除以c的余數(shù)相同,那么a與b的差能被c整除。
例如,10和7除以3的余數(shù)都是1,所以10-7能被3整除:(10-7)÷3=1。
(4)a與b的和除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之和(或這個和除以c的余數(shù))。
例如, 28,11除以5的余數(shù)分別是3和1,所以(28+11)÷5的余數(shù)等于3+1=4:(28+11)÷5=7……4。
注意:當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時,所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。
例如, 27,29除以5的余數(shù)分別是2和4,所以(27+29)÷5的余數(shù)等于(2+4)÷5的余數(shù)1,即:(27+29)÷5=11……1。
(5)a與b的乘積除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之積(或這個積除以c的余數(shù))。
例如,28,11除以5的余數(shù)分別是3和1,所以28乘以11再除以5的余數(shù)等于3×1=3。
注意:當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時,所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。
例如,27,29除以5的余數(shù)分別是2和4,所以27乘以29再除以5的余數(shù)等于2乘以4再除以5的余數(shù)3。
小學(xué)階段,我們運(yùn)用較多的是(1)(2)兩個性質(zhì)。在今后的學(xué)習(xí)中,性質(zhì)(4)(5)可以推廣到多個自然數(shù)的情形。
三、運(yùn)用有余數(shù)的除法解決問題
在小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用余數(shù)的性質(zhì)來解決找規(guī)律的問題。
例如,公園里的彩燈按照“紅、黃、綠、白”的規(guī)律排列,請你算一算,第14只彩燈是什么顏色?第36只彩燈又是什么顏色?
按照“紅、黃、綠、白”每4只彩燈為一組的規(guī)律,我們可以發(fā)現(xiàn)14只彩燈里面一共可以組成這樣的3組,就有:14÷4=3(組)……2(只),余數(shù)2表示第4組中的第2只彩燈,是黃色。第36只彩燈可以組成36÷4=9(組),這里看不到余數(shù)了,說明這些彩燈正好組成了9組,第36只彩燈正好是第9組的最后一只,是白色。
有余數(shù)的除法在題型上千變?nèi)f化,但只要能夠清楚地認(rèn)知,明白這最后多出來的是什么,以及余數(shù)有哪些性質(zhì),就能輕松解決。
四、關(guān)于余數(shù)的困惑
我們在學(xué)習(xí)能整除的除法時了解到除法有這樣的性質(zhì):被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),商不變。也就是商不變的性質(zhì),但是在學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時產(chǎn)生了疑惑。
例如,10÷4=2……2。
如果將被除數(shù)和除數(shù)同時除以2,就變成:(10÷2)÷(4÷2)=2……1。
如果將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以2,就變成:(10×2)÷(4×2)=2……4。
余數(shù)變了!是不是就說明有余數(shù)的除法違背了商不變的性質(zhì)呢?
商不變的性質(zhì)是放在蘇教版四年級下冊《用計(jì)算器探索規(guī)律》這一單元中的,這種根據(jù)具體內(nèi)容并要求出余數(shù)的情況,實(shí)際應(yīng)用比較少。其實(shí)像900÷40,1.7÷0.2如果不用商不變的性質(zhì)把被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù),直接進(jìn)行計(jì)算,也就不會有矛盾產(chǎn)生。平時用商不變的性質(zhì)都是得到最后的商,也就是用小數(shù)、分?jǐn)?shù)或者四舍五入法取近似值的形式。
對于這樣的除法算式,我們暫且把它看成一根10米長的彩帶,每4米一份,可以平均分成2份,還多了2米。
10÷4=2……2,這里的余數(shù)2是剩余的2米彩帶。
經(jīng)過變換之后:
(1)10米長的彩帶先分成了2份,再將每一份平均分成2份。
(10÷2)÷(4÷2)=2……1,這里的余數(shù)1,是每一份中多出來的1米。(其實(shí)對原本10米的彩帶來說總共還是多出來2米)
(2)先將10米長的彩帶擴(kuò)大到原來的2倍,每8米為一份,可以平均分成這樣的2份,還多4米。
(10×2)÷(4×2)=2……4這么看來,多出來的4米就是每條原10米的彩帶都多出的2米之和。
根據(jù)上面的例子來看,我們可以發(fā)現(xiàn),其實(shí)有余數(shù)的除法并沒有違背商不變的性質(zhì)。
有余數(shù)的除法是一種“會變”的、有趣的除法,多出來的到底是什么?需要我們仔細(xì)去思考判斷,在探索中我們能體會到數(shù)學(xué)帶來的樂趣。
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