楊凱明

摘 要：思維能力是智力的核心。人們?cè)谏?、學(xué)習(xí)和工作中遇到問題，總是要“想一想”，而這樣的“想”，就是思維。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，我們可以通過厘清概念、把握實(shí)質(zhì)、變換角度、壓縮過程、綜合運(yùn)用等方法培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：計(jì)算；思維；能力

計(jì)算是一種有步驟、有目的的思維活動(dòng)，計(jì)算教學(xué)不僅僅是要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論，還要讓學(xué)生通過自己的發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐和內(nèi)化，感受結(jié)論形成的過程。通過分析與綜合、概括與抽象、具體化與系統(tǒng)化等一系列過程，對(duì)感性的材料進(jìn)行加工并轉(zhuǎn)化為理性的認(rèn)識(shí)，從根本上提高學(xué)生的素質(zhì)。那么在計(jì)算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谟?jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的幾點(diǎn)做法。

■一、厘清概念，培養(yǎng)思維的縝密性

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，思維的縝密性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一。周密的數(shù)學(xué)思維要求學(xué)生觀察問題要周到、嚴(yán)謹(jǐn)，做到有理有序，法則、公式、定律、概念等運(yùn)用自如，判斷恰當(dāng)。在計(jì)算教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生在計(jì)算過程中經(jīng)常會(huì)抄錯(cuò)題目中的數(shù)字、符號(hào)，抄錯(cuò)草稿紙上的答案，或者四則運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)漏步、少寫、運(yùn)算順序混淆等現(xiàn)象。此時(shí)，很多家長和教師都會(huì)對(duì)學(xué)生說：“你太粗心了，這么簡單的計(jì)算都算錯(cuò)！”其實(shí)，這不能簡單地認(rèn)為是粗心、不仔細(xì)，而是學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律、性質(zhì)、公式等概念混淆、模糊不清，對(duì)算式的某一特征沒有仔細(xì)觀察而主觀臆斷的決定，沒有養(yǎng)成縝密的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

在計(jì)算教學(xué)實(shí)踐中，筆者收集了學(xué)生口算時(shí)常見的幾種錯(cuò)誤題型，如：①36+64-36+64，②3.2-3.2×0.1，③■×3÷■×3，④■+■×■，⑤7÷■-■÷7。這幾種題學(xué)生往往不假思索地就寫出得數(shù)：第①題等于0，第②題等于0，第③題等于1，第④題等于■，第⑤題等于0。顯然，這5道題的答案都是不正確的，這是學(xué)生粗心算錯(cuò)的嗎？顯然，①③⑤都是受了3×4-3×4這種題型的負(fù)遷移影響，只要仔細(xì)觀察、比較、分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)36+64-36+64，■×3÷■×3與3×4-3×4是不同的，運(yùn)算順序不同，運(yùn)算法則就不同，如果前兩題加了小括號(hào)，就改變了運(yùn)算順序，計(jì)算法則與3×4-3×4并不相同。同樣的，第⑤題學(xué)生容易受思維定式及視覺效果的影響，誤以為7÷■與■÷7形式相同，算式相同。

上述學(xué)生的典型錯(cuò)誤能簡單地說成是粗心、不仔細(xì)造成的嗎？顯然不能。究其原因，還是學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律、法則等概念沒有完全理解，只是記住了表面形式就胡亂套用，沒有養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。因此，在計(jì)算教學(xué)中，我們可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)算式的表述，通過表述加深對(duì)運(yùn)算順序的理解。比如：18×36÷12可表述為18乘以36，再除以12，商是多少？計(jì)算順序是先乘后除，而18×（36÷12）則表述為18乘以36除以12的商，積是多少？運(yùn)算順序是先除法，后乘法。在計(jì)算教學(xué)中，教師要多讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的計(jì)算進(jìn)行辨別，找出錯(cuò)誤的原因。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，很多公式、性質(zhì)、運(yùn)算定律都是計(jì)算的依據(jù)，要讓學(xué)生弄清這些概念的本質(zhì)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊算式進(jìn)行觀察、比較、分析，如果不加以區(qū)別，勢(shì)必使學(xué)生產(chǎn)生混淆，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

■二、把握實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)思維的深刻性，是指能從數(shù)學(xué)的感知材料中看出數(shù)與形的本質(zhì)特征，理解它們的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)全面思考問題。在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是要讓學(xué)生深入理解算理，讓學(xué)生不僅知“算法”其然，還要知其所以然，明白計(jì)算方法的由來，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，形成計(jì)算技能。

以北師大版五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法（一）》為例?！斗?jǐn)?shù)除法（一）》重點(diǎn)是教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的計(jì)算方法，難點(diǎn)是讓學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）等于分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”的算理。那么如何讓學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）等于分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”的算理呢？

我們可以從以下幾個(gè)方面來理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理：一是分?jǐn)?shù)除法的意義；二是分?jǐn)?shù)乘、除法之間的關(guān)系；三是商不變的規(guī)律。可見，因?yàn)橐M(jìn)分?jǐn)?shù)，乘除法的意義都得到了擴(kuò)展，除法和乘法可以在一定的條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化?；谝陨险J(rèn)識(shí)，如何更好地引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，教學(xué)實(shí)踐可以有如下過程：

1. （1）板書算式1÷2，問：表示什么意思？（板書：把1平均分成2份，每份是多少？）

（2）1×■，表示什么意思？（也就是把1平均分成2份，每份是多少？）

（3）繼續(xù)追問：這兩個(gè)算式會(huì)有怎樣的關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生理解兩個(gè)算式相等的理由：①兩個(gè)算式表示的意義是一樣的，都表示把1平均分成2份，每份是多少？②兩個(gè)算式可以用同一直觀圖表示。③兩個(gè)算式的得數(shù)是相等的。

2. 出示1÷3和1×■，問：這兩個(gè)算式相等嗎？為什么？

3. 追問：8÷4和8×■呢？2÷7和2×■呢？

4. 像這樣的算式，你還能寫嗎？（學(xué)生舉例）

追問：為什么除法算式能改寫成乘法算式？有什么改寫的訣竅嗎？

用字母表示所有的算式，提問：“把a(bǔ)平均分成3份，每份是多少？”可以怎么列式？（a÷3=a×■）為什么相等？

5. 那■÷3你能算嗎？

為什么■÷3=■×■？如果用直觀圖表示，應(yīng)該是同一幅直觀圖。

追問：你能用圖來說明這樣的道理嗎？

6. 學(xué)生自主活動(dòng)，展示交流。

7. 教師動(dòng)態(tài)板演畫圖，呈現(xiàn)■÷3畫圖的全過程。

8. 歸納分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。

9. 分層次練習(xí)鞏固。

（1）看圖示變化，寫出算式。

①多媒體演示把■平均分成2份，求每份是多少。（圖1）

■endprint

圖1

②多媒體演示把■平均分成3份，求每份是多少。（圖2）

■

圖2

（2）計(jì)算下列各題，并選擇一道用畫圖的方法說明計(jì)算的道理。

■÷3 ■÷2 ■÷4

（3）填一填。

（ ）×5=■ （ ）×2=■

4×（ ）=■

（4）解決問題。（略）

從1÷2和1×■兩道算式的意義入手，發(fā)現(xiàn)兩者的意義都是“把1平均分成2份，每份是多少？”讓學(xué)生充分理解兩者的意義，明白算理；同時(shí)不斷地追問乘法和除法兩個(gè)算式為什么相等，不斷地讓學(xué)生說出兩個(gè)算式的意義。以此類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律！這樣一來，學(xué)生充分理解了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，發(fā)現(xiàn)了算法背后的本質(zhì)。練習(xí)設(shè)計(jì)層次鮮明，通過多媒體演示動(dòng)畫過程讓學(xué)生寫出相應(yīng)的除法算式。這樣的設(shè)計(jì)很好地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。

計(jì)算教學(xué)中要重視學(xué)生對(duì)算理的理解，“算理先行，理到法隨”，計(jì)算教學(xué)中“理”通“法”自然順。所以，教師應(yīng)重視計(jì)算教學(xué)中“算理”的滲透，同時(shí)多層次地設(shè)計(jì)練習(xí)題，讓學(xué)生的思維方式越來越多樣化，思維層次越來越有深度。

■三、變換角度，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性，表示思維過程的靈活程度，計(jì)算教學(xué)中主要體現(xiàn)在學(xué)生面臨不同的題目時(shí)能靈活選擇算法的能力。計(jì)算教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握一些常規(guī)算法，還要注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，這就需要教師精心設(shè)計(jì)一些練習(xí)題，并對(duì)各種算法進(jìn)行比較、分析，引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇算法，讓學(xué)生的思維在不斷地碰撞中實(shí)現(xiàn)智慧的生長、能力的提高。

例如：學(xué)生學(xué)完乘法分配律后，教師一定會(huì)讓學(xué)生通過多組練習(xí)加以鞏固。但由于前面學(xué)習(xí)過乘法結(jié)合律，學(xué)生很容易混淆這些運(yùn)算律，因此教師有必要設(shè)計(jì)幾組對(duì)比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用定律，提高學(xué)生思維的靈活性。

（1）乘法結(jié)合律與乘法分配律的對(duì)比。

88×125 88×125

=（80+8）×125 =11×8×125

=80×125+8×125 =11×1000

=10000+1000 =11000

=11000

在教學(xué)中，學(xué)生會(huì)把乘法結(jié)合律和分配律混著用，出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：

88×125

=（80+8）×125

=8×125×80

=1000×80

=80000

（2）對(duì)比相似題，選擇合適的計(jì)算方法。

67×102-67×2 67×（102-2）

=67×（102-2） =67×100

=67×100 =6700

=6700

67×100-67×2

=6700-134

=6566

通過這一題組的對(duì)比，讓學(xué)生明白，不同的題目要選擇不同的方法，有些題目需要使用運(yùn)算定律才能使計(jì)算簡便，有些題目按照運(yùn)算順序直接計(jì)算就已經(jīng)很簡便了。

（3）同題對(duì)比，優(yōu)化簡算的方法。

24×7+7×75+7

=7×（24+75+1）

=7×100

=700

24×7+7×75+7

=7×（24+75）+7

=7×99+7

=7×（99+1）

=7×100

=700

當(dāng)三組乘法算式相加時(shí)，部分學(xué)生往往不會(huì)想到三組一起用乘法分配律，因?yàn)榇蠹沂煜さ氖莾山M算式的乘法分配律。學(xué)生的思維水平參差不齊，此時(shí)教師要善于通過不同解法的對(duì)比，促進(jìn)學(xué)生自覺優(yōu)化方法，提高思維水平。

再如：小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算中，是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)運(yùn)算更簡便，還是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)更簡便？其實(shí)這要視題目而定，如：0.75-■，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算更簡便；0.75-■，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計(jì)算更簡便；0.75-■，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算都可以。這組題目，被減數(shù)不變，隨著減數(shù)的變化引起算法的靈活選擇，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

■四、壓縮過程，培養(yǎng)思維的敏捷性

在計(jì)算教學(xué)中，思維的敏捷性表現(xiàn)在計(jì)算正確的前提下的計(jì)算速度，對(duì)計(jì)算中的問題能做出準(zhǔn)確而又迅速的判斷，這也是思維品質(zhì)對(duì)提高學(xué)生計(jì)算能力的重要保證。

在日常教學(xué)中，部分教師不是很重視口算的訓(xùn)練，只要求學(xué)生算正確即可，很多可以口算的題目卻要求學(xué)生慢慢用筆算，久而久之便弱化了學(xué)生的口算能力，學(xué)生的思維敏捷性得不到訓(xùn)練，就有可能導(dǎo)致學(xué)生在今后稍復(fù)雜的題目中算不快、算不準(zhǔn)。因此，教師應(yīng)加強(qiáng)口算訓(xùn)練，口算時(shí)要求學(xué)生注意力集中，反應(yīng)快，訓(xùn)練學(xué)生的思維敏捷性；要讓學(xué)生在計(jì)算的過程中動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，有多種感官參與計(jì)算活動(dòng)，做到視算與口算相結(jié)合，激發(fā)小學(xué)生的計(jì)算興趣。在計(jì)算教學(xué)時(shí)，堅(jiān)持3～4分鐘的口算訓(xùn)練，結(jié)合新授的內(nèi)容選擇口算題，可以采取對(duì)口令、開火車、找朋友、摘蘋果、搶答、口算比賽等游戲性質(zhì)的練習(xí)形式，防止學(xué)生產(chǎn)生厭倦情緒，增強(qiáng)了趣味性，寓算于樂，使學(xué)生思維的敏捷性得到了訓(xùn)練。

學(xué)生思維敏捷性的培養(yǎng)還表現(xiàn)在使用運(yùn)算定律、法則、公式、性質(zhì)等進(jìn)行計(jì)算時(shí)，能跳躍式地省去一些非中心的環(huán)節(jié)，壓縮非必要的過程，頭腦中能出現(xiàn)關(guān)鍵的運(yùn)算步驟，使運(yùn)算自動(dòng)化。如：看到354-56-44，學(xué)生能直接寫出354-100，中間省略了一步運(yùn)用減法性質(zhì)的過程；看到69×11+31×11，學(xué)生能直接寫出100×11，中間省略了一步運(yùn)用乘法分配律的過程。

在教學(xué)實(shí)踐中，我們常會(huì)發(fā)現(xiàn)在使用運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算時(shí)，有些算式特點(diǎn)不明顯，需要對(duì)這些算式進(jìn)行加工改造，這就需要學(xué)生有敏捷的思維。因此，教師精心設(shè)計(jì)計(jì)算練習(xí)是鍛煉學(xué)生思維靈活性和敏捷性的有效手段。如：endprint

33×9+66×17+99×19

=33×9+33×2×17+33×3×19（可省略）

=33×9+33×34+33×57（可省略）

=33×（9+34+57）

=33×100

=3300

日常教學(xué)中，教師只要經(jīng)常進(jìn)行口算、簡算等有針對(duì)性的訓(xùn)練，不但能提高學(xué)生的計(jì)算速度，而且學(xué)生思維的敏捷性也會(huì)體現(xiàn)出來。

■五、綜合運(yùn)用，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維過程的創(chuàng)新程度，它表現(xiàn)為在思考問題時(shí)有一定的創(chuàng)新、獨(dú)到之處。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，也是學(xué)生今后生活、學(xué)習(xí)和參加社會(huì)活動(dòng)所必備的基本素養(yǎng)之一。

例如：比較■和■的大小，大部分學(xué)生采用先通分，再比較大小的方法，因?yàn)閷W(xué)完通分知識(shí)后，教師一般都會(huì)要求學(xué)生將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)比較大小，但也有個(gè)別學(xué)生會(huì)給出下列兩種方法：

①化成小數(shù)來比較，■=0.75，■=0.8，所以■<■；

②與1比較，■比1小■，■比1小■，■>■，所以■<■。

這兩種方法其實(shí)比通分比較大小的方法更簡單，此時(shí)教師應(yīng)表揚(yáng)用類似方法解題的學(xué)生，從而借助學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

再如：12■×■，此題計(jì)算較為復(fù)雜，大部分學(xué)生會(huì)采用一般方法，即先通分，再用分?jǐn)?shù)乘法的方法來做，但仍有很多學(xué)生得出的最后結(jié)果沒有約分。當(dāng)學(xué)生做完這道題時(shí)，筆者有意問學(xué)生有沒有更好更快的方法，結(jié)果沒有學(xué)生應(yīng)答。于是筆者出示這樣的練習(xí)，以啟發(fā)學(xué)生思維：102×2.5得（100+2）×2.5；98×2.5得（100-2）×2.5。部分學(xué)優(yōu)生馬上找到新線索：12■×■=13-■×■=1-■=■，此時(shí)剩下的學(xué)生豁然開朗。此題看似沒有乘法分配律算式的特點(diǎn)，但卻綜合運(yùn)用了乘法分配律，創(chuàng)造了簡算的條件。此題的做法打破了常規(guī)，采用了特殊的計(jì)算方法，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。

思維的獨(dú)創(chuàng)性還表現(xiàn)在要打破不良的思維定式。思維定式是思維的一種慣性，有消極的，也有積極的。積極的思維定式能促進(jìn)知識(shí)的遷移，而消極的思維定式會(huì)干擾新知的掌握。不良的思維定式主要表現(xiàn)在按照固定的思維模式去分析新知識(shí)、解決新問題。比如：在360÷60，540÷90，100÷10等計(jì)算題之后放一道“120-60”，學(xué)生往往會(huì)不假思索地錯(cuò)算成120-60=2。

總之，在計(jì)算教學(xué)中，隨處都有思維的訓(xùn)練點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，上述這五種思維能力是密切聯(lián)系、相輔相成的，教學(xué)中教師只要寓思維訓(xùn)練于計(jì)算教學(xué)，適時(shí)點(diǎn)撥、比較、分析，適度訓(xùn)練，盡可能地利用較多的機(jī)會(huì)訓(xùn)練學(xué)生的思維，就一定能讓學(xué)生的思維在計(jì)算中得到最美綻放。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，這也是全面提高學(xué)生運(yùn)算能力所必備的。endprint