龔 夢(mèng)，邵傳平

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

彈性模量是經(jīng)常要用到的一個(gè)重要力學(xué)性能指標(biāo).測(cè)量葉柄的彈性模量在研究樹(shù)木與風(fēng)場(chǎng)的流固耦合[1-3]，運(yùn)用樹(shù)木特征進(jìn)行仿生研究[4-6]以及計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)技術(shù)中實(shí)現(xiàn)具有真實(shí)感的樹(shù)的模擬[7]等方面具有重要意義.

王淑娟和謝寶元參照《木材抗彎彈性模量測(cè)定方法》標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1936.2—2009中的規(guī)定，采用三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)獲得新鮮樹(shù)枝的抗彎彈性模量，并分析了休眠期常綠喬木和落葉喬木的枝齡、含水率、密度等對(duì)抗彎彈性模量的影響[8].王麗宇等采用電測(cè)法測(cè)試了白樺木材的12個(gè)彈性常數(shù)[9].高珊、王立海、王喜平發(fā)現(xiàn)溫度對(duì)木材的抗彎性能具有顯著影響，隨著溫度的升高，木材的抗彎性能逐漸減弱；相同承載條件下，含水率越高，沒(méi)顯著影響，隨著溫度的升高，木材的抗彎性能逐漸減弱;相同承載條件下，含水率越高，木材的抗彎曲性能越強(qiáng)[10].

葉柄的彈性模量測(cè)量較少有人涉及，已知文獻(xiàn)中Nikles用多重共軛頻譜法測(cè)量了楊柳葉柄的楊氏模量和剪切模量，并得出他們與葉柄長(zhǎng)度、重量、葉片大小等成正相關(guān)[11]。胡瀟毅等在進(jìn)行動(dòng)畫(huà)模擬時(shí)通過(guò)小風(fēng)實(shí)驗(yàn)粗略測(cè)量得到某種闊葉葉柄的彈性模量值在100～500 MPa[7].本文將搭建懸臂梁集中載荷模型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)并測(cè)量新鮮構(gòu)樹(shù)葉柄的彈性模量，進(jìn)而簡(jiǎn)單分析其影響因素.

1 實(shí)驗(yàn)方法

1.1 研究對(duì)象

測(cè)量對(duì)象為圖1中5到6月杭州下沙地區(qū)新鮮采摘的構(gòu)樹(shù)葉柄.為方便測(cè)量、保證準(zhǔn)確度，需篩選相對(duì)比較筆直的葉柄進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

圖1 新鮮構(gòu)樹(shù)葉柄Figure1 Fresh paper mulberry petiole

1.2 測(cè)量原理

大撓度懸臂梁集中載荷模型如圖2，長(zhǎng)為L(zhǎng)的葉柄一端固定，構(gòu)建懸臂梁，在自由端加載. 梁加載彎曲后，從固定端起，沿梁軸的曲線坐標(biāo)S處的梁彎角φ(梁曲線切線與水平軸的夾角)滿足方程：

(1)

式(1)中x、s分別為S點(diǎn)的水平坐標(biāo)值和到原點(diǎn)弧長(zhǎng)，xm為自由端水平坐標(biāo)值，P為自由端載荷，E為待求的葉柄彈性模量，I為橫截面慣性矩.

(2)

圖2 懸臂梁集中載荷模型Figure 2 Lumped load model of cantilever beam

求解微分方程(2)，得到自由端彎轉(zhuǎn)角φm滿足方程：

(3)

自由端撓度滿足：

(4)

其中ym為每次加載后最大撓度.然后由上式(4)求出φm，再由式(3)求出A值，最后由此得到彈性模量：

(5)

構(gòu)樹(shù)葉柄截面近似圓形，相應(yīng)的截面矩計(jì)算公式：

(6)

式(6)中d為截面圓直徑.

真實(shí)葉柄直徑是變化的，用D1、D2、D3分別表示葉柄靠近葉片端、中部、基部的直徑.定義：

(7)

α在0.006～0.015之間，對(duì)I影響很小，因此本次測(cè)量中為計(jì)算方便假設(shè)葉柄粗細(xì)均勻，取3個(gè)部位直徑平均值作為有效值，即

(8)

1.3 撓度放大

加載過(guò)程中撓度變化很小，為了減小誤差，提高測(cè)量的準(zhǔn)確度，搭建簡(jiǎn)單的光學(xué)系統(tǒng)對(duì)撓度進(jìn)行示值放大.

圖3 光學(xué)放大Figure 3 Optical amplification

1.4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

實(shí)驗(yàn)時(shí)葉柄固定方法如圖4，待測(cè)葉柄(帶枝)放置于水平桌面上，用壓塊壓住樹(shù)枝部分，構(gòu)成懸臂梁.測(cè)量過(guò)程在b端(與樹(shù)葉相連端)加載荷，使葉柄彎曲.通過(guò)測(cè)量葉柄的最大撓度可間接測(cè)量相應(yīng)葉柄的彈性模量.

實(shí)驗(yàn)時(shí)采用逐漸加載，載荷從0開(kāi)始，加載增量0.5～2 g，直到自由端梁彎角近似垂直，加載范圍為0～50 g.測(cè)量每次加載后的最大撓度，最后用懸臂梁集中載荷模型計(jì)算葉柄的彈性模量.注意葉柄彈性模量在不同生長(zhǎng)階段和不同環(huán)境下具有差別，所以不同葉柄實(shí)驗(yàn)時(shí)的加載增量和范圍有所不同.

單個(gè)葉柄每次加載，均可計(jì)算出一個(gè)相應(yīng)的彈性模量.因此實(shí)驗(yàn)可測(cè)得單個(gè)葉柄的一系列彈性模量.

圖4 葉柄固定方式Figure 4 Fixation method of petiole

1.5 測(cè)量精度

葉柄個(gè)體不同，抗彎能力也不同。為了確定測(cè)量方法的精度，對(duì)葉柄在y′<0.11的范圍進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)。某葉柄(11月份)5次重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5，測(cè)量值與擬合值曲線(擬合優(yōu)度0.993)在最大誤差處的相對(duì)誤差為5.8%.我們進(jìn)行了3組這樣的實(shí)驗(yàn)，另外兩組結(jié)果分別為6.7%、6.3%,故測(cè)量精度為6.7%.

圖5 5次重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其擬合曲線，y′=ym/LFigure 5 Results of 5 experiments and fitting curve

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)測(cè)得五、六月份新鮮構(gòu)樹(shù)葉柄的彈性模量在50～600 MPa之間，平均值為166 MPa，個(gè)體間差異較大.

圖6比較不同樹(shù)上的葉柄彈性模量差異.來(lái)自同一棵樹(shù)的4、5、6號(hào)葉柄彈性模量值明顯大于來(lái)自另一棵樹(shù)的1、2、3號(hào)葉柄.

圖6 不同樹(shù)上的葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 6 Comparison of different trees

圖7中1、2、3號(hào)葉柄分別摘至同一樹(shù)枝頂部、基部、中部，從圖中可以看出樹(shù)枝基部葉柄彈性模量大于頂部，中部葉柄彈性模量在撓度<0.35時(shí)剛好處于二者之間.

圖7 同一樹(shù)枝不同位置葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 7 Comparison of different part of the same branch

圖8比較同一樹(shù)枝上直徑、密度不同的4個(gè)葉柄的彈性模量，密度接近的兩葉柄直徑較大的彈性模量也大，直徑接近的葉柄密度大彈性模量也大，即葉柄的彈性模量與其直徑和密度大小存在正相關(guān).

從圖6、7、8可以看出，單一構(gòu)樹(shù)葉柄的彈性模量會(huì)隨撓度增大而減小，圖5的重復(fù)實(shí)驗(yàn)也證實(shí)了這一點(diǎn)，這說(shuō)明它是一種非線性彈性材料.

圖8 同一樹(shù)枝不同直徑、密度葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 8 Comparison of different diameter and density on the same branch

3 結(jié) 論

通過(guò)懸臂梁自由端集中載荷實(shí)驗(yàn)測(cè)量5到6月份新鮮構(gòu)樹(shù)葉柄的彈性模量.在實(shí)驗(yàn)中采用光學(xué)放大方法放大撓度示值，減小人工誤差.對(duì)葉柄在y′<0.11的范圍進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到該方法的測(cè)量精度為6.7%.

實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)新鮮構(gòu)樹(shù)葉柄是一種非線性彈性材料，其彈性模量會(huì)隨撓度的增大而減小.假設(shè)葉柄粗細(xì)均勻，它的彈性模量值在50～600 MPa之間，個(gè)體間差異較大.同一樹(shù)枝上靠近基部的葉柄彈性模量更大，且與葉柄直徑、密度存在正相關(guān).這些差異可能與葉柄生長(zhǎng)狀態(tài)、溫度以及葉柄的含水率相關(guān)[13-14]，值得深入研究.

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