◇李梅先

0 是小學(xué)數(shù)學(xué)中不可缺少但又極其特殊的數(shù)。說(shuō)它特殊，主要是0 在小學(xué)數(shù)學(xué)中的作用特殊，比如在直尺上，0 表示起點(diǎn)；在溫度計(jì)上，0 表示零上溫度與零下溫度的分界線； 在數(shù)軸上，0 表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；在統(tǒng)計(jì)物體個(gè)數(shù)時(shí)，0 表示一個(gè)物體也沒(méi)有；在計(jì)數(shù)時(shí)，0 用來(lái)占位……0 的這些不可替代的特殊功能，決定了對(duì)0的關(guān)注要遠(yuǎn)超其他數(shù)，與0 有關(guān)的問(wèn)題在教學(xué)中頻頻出現(xiàn)；對(duì)0 的詮釋也非同一般，與0有關(guān)問(wèn)題的解決還需另辟蹊徑。特殊的數(shù)與特殊的功能，特別的問(wèn)題與特別的解決辦法，難免會(huì)引發(fā)與0 相關(guān)問(wèn)題的困惑和爭(zhēng)議，小學(xué)數(shù)學(xué)教師面對(duì)這類問(wèn)題也不禁感嘆道：“都是0 惹的禍！”0 到底惹了什么禍？迷茫中，筆者搜集整理了備受教師關(guān)注的與0 相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題，并對(duì)此一一展開探尋，以期能為同行排疑解惑。

一、0為什么是自然數(shù)？

1993年之前，我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書指出：表示物體個(gè)數(shù)的 1、2、3、4、5 …… 都是自然數(shù)；1993年之后，我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書補(bǔ)充指出：一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示，0也是自然數(shù)。為什么要把0 納入自然數(shù)的范疇？主要原因有二。其一，便于國(guó)際交流。世界上多數(shù)國(guó)家，尤其是教育發(fā)達(dá)國(guó)家都把0定義為自然數(shù)，為了國(guó)際交流的方便，國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局于1993年12月27日發(fā)布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) 》（GB3100 ～3102-93）第 311 頁(yè)《量和單位》，規(guī)定自然數(shù)集 N＝{0，1，2，3……}。在 《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》2016年6月第7 版中也把自然數(shù)定義成：零和大于零的整數(shù)，即0、1、2、3、4、5……其二，滿足數(shù)學(xué)需要。高中數(shù)學(xué)教材中指出，有限集合中元素的個(gè)數(shù)是可以用自然數(shù)來(lái)表示的，空集是有限集合，而空集的元素個(gè)數(shù)為0，這就要將0 納入自然數(shù)范疇，以滿足空集教學(xué)的需要。

二、0為什么不是最小的一位數(shù)？

由于受到將0 劃為自然數(shù)的影響，部分教師認(rèn)為最小的一位數(shù)是0，而不應(yīng)該是1。其實(shí)，自然數(shù)概念的完善，并不影響最小一位數(shù)的改變。首先，不妨看看有關(guān)定義。《數(shù)學(xué)（算術(shù)理論部分）》（上海教育出版社，1979年6月第 1 版，第 10 頁(yè)）指出：用一個(gè)數(shù)字記出的數(shù)（不是0），叫作一位數(shù)。例如：1、3、9……在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是0），這個(gè)數(shù)就叫作幾位數(shù)。其次，不妨進(jìn)行假言推理。如果最小的一位數(shù)是0，最小的兩位數(shù)就是00，最小的三位數(shù)就是000……依此而論，豈不荒謬至極？

三、0是余數(shù)嗎？

分東西時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是剛好分完，一個(gè)不剩；二是有剩余，當(dāng)余數(shù)比除數(shù)小時(shí)，就不能繼續(xù)分了。這兩種情況，分別對(duì)應(yīng)余數(shù)等于0和余數(shù)不等于0 兩種數(shù)學(xué)描述。所以，在數(shù)論中“整除”與“余數(shù)是0”是等價(jià)的概念，即“余數(shù)是0”就是“一個(gè)不?！钡囊馑肌＠?，所有的正整數(shù)除以3，根據(jù)余數(shù)可以把所有的正整數(shù)分成3類，即余數(shù)是0、余數(shù)是1、余數(shù)是2。為什么會(huì)提出“0 是余數(shù)嗎”的疑問(wèn)呢？這可能與平時(shí)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言描述有關(guān)。如把“沒(méi)有剩余的除法”說(shuō)成“沒(méi)有余數(shù)的除法”，把“有剩余的除法”說(shuō)成“有余數(shù)的除法”。這種把除法分成有或沒(méi)有余數(shù)的描述，導(dǎo)致了認(rèn)知沖突：既然沒(méi)有余數(shù)，怎么又冒出余數(shù)是0 呢？

四、0×0為什么等于0？

0×0＝0 無(wú)疑是一道特殊的乘法算式。按照乘法的意義，0×0 表示 0個(gè) 0 相加，而 0個(gè) 0 相加是無(wú)法寫出的加法算式，又怎能知道其和為0呢？其實(shí)，0×0＝0 是經(jīng)過(guò)了“特殊—一般—特殊”的推理過(guò)程而得出的。因?yàn)?×3 或3×0 表示0+0+0，0+0+0 的和為 0，所以 0×3＝0，3×0＝0；同理可知，0×5＝0，5×0＝0；0×8＝0，8×0＝0……從這些特例中經(jīng)過(guò)合情推理得出了一般性結(jié)論：0 和任何數(shù)相乘都得0，再將這個(gè)一般性結(jié)論運(yùn)用到0×0這一更為特殊的計(jì)算中，即可知道0×0＝0。

在分?jǐn)?shù)的定義中，分母表示把單位“1”平均分成的份數(shù)，分子表示從中取出的份數(shù)。從這樣的描述中不難發(fā)現(xiàn)只是一種形式上的分?jǐn)?shù)，俗稱“零分?jǐn)?shù)”，即把自然數(shù)0 寫成了分?jǐn)?shù)的形式；它并不是一個(gè)實(shí)質(zhì)上的分?jǐn)?shù)，即其雖然把單位“1”平均分成了8 份，但其未能從中取出一份或幾份，取出的只是0 份，也就是沒(méi)有取出，顯然不符合分?jǐn)?shù)的定義。對(duì)此，有關(guān)數(shù)學(xué)專著早有明確，人民教育出版社出版的《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》第64 頁(yè)定義分?jǐn)?shù)時(shí)指出：“形如（m和n都是正整數(shù)，且 n＞1）的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)?！?/p>

六、在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，為什么一般不包括0？

為什么小學(xué)數(shù)學(xué)教材在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，都將0 排除在外？ 是不能研究還是沒(méi)有研究?jī)r(jià)值？從 0×1＝0、0×2＝0、0×3＝0……中，發(fā)現(xiàn) 0 是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0 的因數(shù)。由此看來(lái)，在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，如果把0 納入進(jìn)來(lái)，還是可以研究的，只是失去了應(yīng)有的研究?jī)r(jià)值。

七、0為什么不能做除數(shù)、分母或比的后項(xiàng)？

八、計(jì)算結(jié)果中的1.50是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？

在教研活動(dòng)中，老師們經(jīng)常問(wèn)：7.5×0.2＝1.50的結(jié)果到底是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？小數(shù)乘法中判斷積的小數(shù)位數(shù)，應(yīng)以計(jì)算法則為準(zhǔn)，至于積的末尾是否畫掉是下一步的問(wèn)題。因此，在出練習(xí)題時(shí)，最好不要出末尾有0 來(lái)判斷積的小數(shù)位數(shù)的題目，因?yàn)檫@樣的考查沒(méi)有多大的意義。學(xué)生在具體計(jì)算時(shí)，只要按計(jì)算法則先確定積的小數(shù)位數(shù)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再根據(jù)計(jì)算的要求去掉小數(shù)部分末尾的0 即可。