徐洪香，劉秀娟，石月巖，宓 穎

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線性代數(shù)教學(xué)改革及創(chuàng)新應(yīng)用能力的培養(yǎng)

徐洪香，劉秀娟，石月巖，宓 穎

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001)

主要從教學(xué)思維模式、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、考試形式和成績(jī)?cè)u(píng)定等方面進(jìn)行深入討論，提出了鼎新傳統(tǒng)教學(xué)模式、內(nèi)容、手段等方面的方法，強(qiáng)調(diào)以面向應(yīng)用為目標(biāo)，以探求知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)為主的思維模式，探尋啟發(fā)式、類比式、案例式的教學(xué)模式，充分應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)等教學(xué)手段，通過(guò)考試形式的多樣性和成績(jī)?cè)u(píng)定的靈活性，全面反映學(xué)生的綜合水平。是以，通過(guò)線性代數(shù)的教學(xué)改革，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和參與性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

線性代數(shù)；教學(xué)改革；創(chuàng)新應(yīng)用能力

線性代數(shù)屬于工科數(shù)學(xué)教學(xué)的三大骨干課程之一，不僅是高等職業(yè)院校開(kāi)設(shè)的首要基礎(chǔ)理論課，還是碩士研究生（工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等）的入學(xué)必考科目。這門(mén)課程具有邏輯性、抽象性、理論性強(qiáng)、課時(shí)少、內(nèi)容多等特點(diǎn)，尤其是和以前的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系較少，學(xué)生學(xué)起來(lái)尤為困難。而由于一些學(xué)生的基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，教學(xué)中內(nèi)容的安排受數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)內(nèi)容的影響較大，偏重于基本理論和基本概念的講解，沒(méi)有根據(jù)這些學(xué)生的水平和需要組織教學(xué)，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)效果較差，對(duì)應(yīng)用性訓(xùn)練不足，輕視了對(duì)學(xué)生們創(chuàng)新應(yīng)用能力的培養(yǎng)[2]。作為長(zhǎng)期從事線性代數(shù)課程教學(xué)的教師，在教學(xué)過(guò)程中，我們一直在思考與探索，如何激勵(lì)學(xué)生面對(duì)各種抽象的定義、定理，能給學(xué)生一種啟迪、一種思維方法，面對(duì)各種實(shí)際問(wèn)題不再束手無(wú)策。故而應(yīng)當(dāng)對(duì)傳統(tǒng)的線性代數(shù)課程的教學(xué)思維模式、內(nèi)容及方法進(jìn)行改革，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想、方法及內(nèi)容，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會(huì)生活中的應(yīng)用，從而對(duì)這門(mén)課產(chǎn)生興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，著重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用能力。

一、鼎新傳統(tǒng)的教學(xué)思維形式

構(gòu)建以探求知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)為主的教學(xué)思維模式。線性代數(shù)課程應(yīng)該符合遼寧工業(yè)大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱我校）人才培養(yǎng)目標(biāo)的要求，應(yīng)定位在學(xué)生已駕馭一定的基本概念及理論的前提下，具有解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新和應(yīng)用能力[4]。

傳統(tǒng)的教學(xué)思維過(guò)程是：給出定義—證明定理和性質(zhì)—運(yùn)用方法和技巧運(yùn)算—應(yīng)用。教師為主體，以傳授知識(shí)為主，按定義、引理、定理、推論的邏輯順序進(jìn)行，注重分析、推理、舉例計(jì)算幫助理解概念和定理。因?yàn)檎n時(shí)少、內(nèi)容多等緣故，往往沒(méi)有應(yīng)用學(xué)習(xí)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，造成學(xué)生思維模式固定,無(wú)法拓寬其思路,忽視運(yùn)用所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力訓(xùn)練，不清楚學(xué)習(xí)線性代數(shù)的用途，不能學(xué)以致用，阻礙了學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造性思維能力的形成。是以，要鼎新一直以來(lái)的教學(xué)形式，構(gòu)建一個(gè)以探求知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)為主的教學(xué)思維模式：提出問(wèn)題—觀察和分析問(wèn)題—驗(yàn)證—?dú)w納結(jié)論、定理和性質(zhì)—證明—解決問(wèn)題。它以學(xué)生為主體，以傳授數(shù)學(xué)思想、方法和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題為主。先提出問(wèn)題引起學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象的觀察分析，抓問(wèn)題的本質(zhì)，歸納結(jié)論，證明結(jié)論，進(jìn)而解決提出的問(wèn)題。這類教學(xué)思維形式非常容易引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興致，學(xué)習(xí)才更有動(dòng)力，同時(shí)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力進(jìn)一步得到提高。

二、鼎新傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容

探尋啟發(fā)式、類比式、案例式的講授形式。

（一）教學(xué)要合理借助幾何直觀背景，降低學(xué)生抽象思維的難度

學(xué)習(xí)一條基本概念、一條定理或證明，如果借助幾何圖形、幾何語(yǔ)言解釋其直觀含義或證明的直觀思路，有助于學(xué)生從抽象到有形的過(guò)程，降低抽象思維的難度。

如：①二階與三階行列式的幾何意義：二階行列式等價(jià)于兩個(gè)二維向量構(gòu)成的平行四邊形的面積；三階行列式等價(jià)于三個(gè)三維向量構(gòu)成的平行六面體的體積；

②向量組相關(guān)性的幾何意義[3]：

線性無(wú)關(guān)，且向量組

線性相關(guān)等價(jià)于三直線

相交于一點(diǎn)；

教材中很多知識(shí)都有其直觀的幾何意義，借助合理的幾何直觀背景，使學(xué)生易于理解掌握所學(xué)知識(shí)。

（二）注重引入實(shí)際應(yīng)用或應(yīng)用背景，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的趣味性和實(shí)用性

現(xiàn)今社會(huì)生活、生產(chǎn)實(shí)踐中存在大量的材料，只須我們充分發(fā)掘，精心設(shè)計(jì)，就可以給出很多具備生活味濃厚的應(yīng)用實(shí)例或應(yīng)用背景，以使學(xué)生體味數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，老師介紹關(guān)鍵的定義、定理、例題時(shí)引入應(yīng)用實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生在一個(gè)迷人的敘述和解決問(wèn)題中學(xué)習(xí)知識(shí)，了解數(shù)學(xué)的來(lái)源背景，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。如：

①學(xué)生課表、列車時(shí)刻表、產(chǎn)品的售價(jià)和重量對(duì)應(yīng)矩陣表示問(wèn)題；

②信息編碼中的編制與破譯問(wèn)題對(duì)應(yīng)逆矩陣問(wèn)題；

③多次轉(zhuǎn)機(jī)飛機(jī)航線問(wèn)題對(duì)應(yīng)矩陣的乘冪問(wèn)題等等[1]。

（三）通過(guò)案例式教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)建模的思想融入到課堂教學(xué)中

“教數(shù)學(xué)”是為了讓學(xué)生理解“數(shù)學(xué)的思想”。因此，教學(xué)過(guò)程中靈活采用案例式教學(xué)模式，這是融入數(shù)學(xué)建模思想的一種非常有效的途徑。老師有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平制造實(shí)際問(wèn)題的情景，依照數(shù)學(xué)建模的步驟，老師提出問(wèn)題，讓學(xué)生自己分析、假設(shè)，自己尋找數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、規(guī)律，進(jìn)而利用計(jì)算機(jī)等輔助手段解決實(shí)際問(wèn)題，這種通過(guò)師生間互動(dòng)、學(xué)生間互動(dòng)的教學(xué)方式，能使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)氛圍是平等的、寬松的、新奇的、有趣味性的，同時(shí)實(shí)實(shí)在在感受線性代數(shù)課程“源于實(shí)踐、用于實(shí)踐”的本質(zhì)。

教學(xué)案例的選擇十分重要，選擇的教學(xué)案例不但要根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目的要求，還要充分考慮案例是否實(shí)用、是否有趣味性、能否達(dá)到良好教學(xué)效果、不同專業(yè)學(xué)生是否有針對(duì)性等特點(diǎn)。如：

①對(duì)經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的學(xué)生引入金融公司支付基金流動(dòng)問(wèn)題、投入產(chǎn)出問(wèn)題等案例；

②對(duì)電子信息工程類專業(yè)的學(xué)生引入平板穩(wěn)態(tài)溫度分布問(wèn)題、電路設(shè)計(jì)問(wèn)題等案例；

③對(duì)交通工程類專業(yè)的學(xué)生引入交通流分析問(wèn)題等案例，等等[1]。

通過(guò)選擇學(xué)生熟悉的、感興趣的案例，使學(xué)生能更快的理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教材中很多知識(shí)點(diǎn)非常適合案例式教學(xué)。如：線性方程組是否有解問(wèn)題的研究；向量組是否線性相關(guān)問(wèn)題的研究；矩陣乘法等知識(shí)點(diǎn)都適合用案例式教學(xué)模式。

三、鼎新傳統(tǒng)的教學(xué)手段，靈活采用多媒體教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

目前，我校線性代數(shù)課程安排40學(xué)時(shí)，而內(nèi)容較多，特別是矩陣的初等變換運(yùn)算占用了大量的時(shí)間。教學(xué)手段還是老師玩粉筆，新的計(jì)算機(jī)技術(shù)基本上不進(jìn)課堂，課堂上的信息量較少，呈現(xiàn)出沉悶的方式，老師基本上是為完成教學(xué)內(nèi)容而教學(xué)，很少與學(xué)生互動(dòng)，對(duì)部分內(nèi)容較少進(jìn)行詳細(xì)的分析和講解，抽象的內(nèi)容也不能直觀地反映。尤其是案例式教學(xué)內(nèi)容，涉及分析、假設(shè)、歸納、論證、解決這樣一個(gè)完整的建模過(guò)程，內(nèi)容較多，如果老師采用傳統(tǒng)教學(xué)手段，很難體現(xiàn)符合學(xué)生思維的猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證、分析和綜合的過(guò)程。是以，靈活的多媒體輔助教學(xué)手段非常必要，通過(guò)多媒體課件的形式，把教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)通過(guò)相互間的關(guān)聯(lián)，使整個(gè)知識(shí)體現(xiàn)的建立過(guò)程有更清晰的認(rèn)識(shí)。復(fù)習(xí)課和習(xí)題課也通過(guò)生動(dòng)的多媒體動(dòng)畫(huà)展示，抽象的知識(shí)具體化，即增強(qiáng)教學(xué)趣味性，又增加課堂信息量。

有很多案例式教學(xué)內(nèi)容根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要，做推廣和擴(kuò)展性研究，因而建立的數(shù)學(xué)模型就更為復(fù)雜，求解相當(dāng)麻煩。那么，教學(xué)中適時(shí)利用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是十分必要的。如：板式熱導(dǎo)體穩(wěn)態(tài)溫度分布的問(wèn)題是將板分成多個(gè)正方形，只要測(cè)量矩形板四周的溫度，就可以確定板上各點(diǎn)的溫度。通過(guò)建立階數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的四元線性方程組，結(jié)合平板的邊界條件就可以求解方程組[1]。平板分割越細(xì)，求出的解越精確，而建立的方程組的階數(shù)就越高，方程組越難求解，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用Matlab強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)、分析和演示功能，不但可以快速求解高階線性方程組，而且可直觀地繪制溫度分布圖形，教學(xué)效果非常好。

四、考試形式多樣性、成績(jī)?cè)u(píng)定靈活性，全面反映學(xué)生的綜合水平

目前，我校線性代數(shù)課程采用期末閉卷考試和平時(shí)考核兩種方式。其中，85%為期末成績(jī)，15%為平時(shí)成績(jī)。閉卷考試的考核重點(diǎn)是對(duì)學(xué)生的基本概念、定理把握程度的考察，要求學(xué)生完成考卷中的一些計(jì)算或證明。平時(shí)成績(jī)主要考核學(xué)生的作業(yè)和上課出席情況，基本上沒(méi)有與學(xué)生階段性對(duì)知識(shí)理解掌握程度聯(lián)系起來(lái)，這種考核方式只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生死記硬背，被動(dòng)學(xué)習(xí)，沒(méi)有學(xué)習(xí)興趣，所以目前的考核方式存在一定的弊端。是以，有必要改革目前的考核方式，即：閉卷和開(kāi)卷靈活應(yīng)用：基本概念、定理和公式的理解等基本理論部分掌握程度仍然采用閉卷考核方式；開(kāi)卷部分主要考察學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，通過(guò)應(yīng)用性、綜合性較強(qiáng)且能通過(guò)編程或利用Matlab求解的實(shí)際案例，要求學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)建模的步驟完成小論文或活動(dòng)報(bào)告，可獨(dú)立完成或分組完成，著重考核學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析假設(shè)、選擇數(shù)學(xué)方法、解決問(wèn)題的應(yīng)用創(chuàng)新能力。

筆試與口試靈活應(yīng)用：課堂增強(qiáng)提問(wèn)環(huán)節(jié)，重點(diǎn)知識(shí)隨時(shí)提問(wèn)，加強(qiáng)口試環(huán)節(jié)的訓(xùn)練。同時(shí)，每一章節(jié)內(nèi)容安排小測(cè)驗(yàn)，加強(qiáng)階段性知識(shí)環(huán)節(jié)的掌握。

成績(jī)?cè)u(píng)定靈活化：期末成績(jī)約占70%，閉卷考核基礎(chǔ)理論部分；平時(shí)成績(jī)約占30%。平時(shí)成績(jī)可根據(jù)課堂作業(yè)、課堂提問(wèn)、小測(cè)驗(yàn)、小論文或活動(dòng)報(bào)告等考核方式。各部分所占比例可按課堂作業(yè)占30%，課堂提問(wèn)占10%，小測(cè)驗(yàn)占30%，小論文或活動(dòng)報(bào)告占30%的份額分配。只有通過(guò)這種多樣性的考核方式以及靈活性的成績(jī)?cè)u(píng)定方法，才能全面考核學(xué)生的綜合實(shí)際水平。

五、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)線性代數(shù)教學(xué)改革，既可以讓學(xué)生們鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又可以讓他們嘗試?yán)碚撀?lián)系實(shí)際，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際中去，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

[1] 黃玉禱，彭濤. 線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用典型案例[J]. 蘭 州大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,45(3)：123-125.

[2] 郭竹梅. 應(yīng)用型本科院?！熬€性代數(shù)”課程教學(xué)改革探討[J]. 吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)，2011,27(4)：29-31.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2014: 2-115.

[4] 夏建國(guó). 技術(shù)應(yīng)用性本科院校辦學(xué)定位的特征分析[J]. 中國(guó)高教研究，2008(6): 58-60.

(責(zé)任編校：付春玲)

2016-05-26

徐洪香(1963-)，女(滿族)，遼寧綏中人，副教授。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/21.1566.C.20171106.1459.002.html

10.15916/j.issn1674-327x.2017.06.032

G642.41

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1674-327X (2017)06-0108-03